《二次函数与一元二次方程》

北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》第五节二次函数与一元二次方程(1)1、二次函数式(a,b,c是常数,a≠0),y叫做x的__________.它的图象是一条抛物线.它的对称轴是直线

,顶点坐标是（,）

2、二次函数的解析式中一般式:

顶点式:

交点式:二次函数课前热身、耐心填一填3.抛物线

的对称轴是_______,

开口方向是______,顶点坐标是___________.4.抛物线y=2(x-2)(x-3)与x轴的交点为______和,

与y轴的交点为___________.5.已知抛物线与轴交于A(-1,0)和(1,0)并经过点M(0,1),则此抛物线的解析式为___________x=-1向上（-1,-5）(2,0)(0,12)课前热身、耐心填一填(3,0)【例】我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.用心想一想,马到功成【例】竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么:用心想一想,马到功成

（1）h和t的关系式是什么？

（2）图象上的每一个点的横、纵坐标分别代表什么含义？

（3）小球经过多少秒后落地？

你有几种求解方法？与同伴

进行交流.【例】竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么:用心想一想,马到功成

(1)h和t的关系式是什么?

解:由题意可知:由图象可得:所以h与t的关系式为:【例】竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么:用心想一想,马到功成

（2）图象上的每一个点的横、纵坐

标分别代表什么含义?

解:图象上的每一点的横坐标表

示小球运动的时间,纵坐标

表示的是在这一瞬时时间里,

小球的运动速度.【例】竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么:用心想一想,马到功成

（3）小球经过多少秒后落地？你有

几种求解方法？与同伴进行交

流.解法思路:8s.可以利用图象直接得出,也可以解方程得出分别求出二次函数的图象与x轴的交点的坐标,并作出草图.比一比,看谁快思路点拨:与x轴交点就是求当y=0

时这个方程的解,然后写成点的坐标.（1,0）图象与x轴无交点（-2,0）和（0,0）(1)每个图象与x轴有几个交点？(2)一元二次方程有几个根?

验证一下,一元二次方程有根吗?(3)二次函数的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程的根有什么关系？观察下列二次函数的图象.议一议、取长补短二次函数与一元二次方程的联系如果二次函数的值为y,求相应的自变量x,就是求相应的一元二次方程的根合作探索例如:如果已知二次函数的值为-1,求自变量x值,就是求一元二次方程的根反之.解方程,又可以看做已知二次函数的值为-1,求自变量x值归纳整理:二次函数的图象和x轴交点有三种情况:

1、有两个交点,

2、有一个交点,

3、没有交点.二次函数的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程的根有什么关系？当二次函数的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程

的根.议一议、取长补短二次函数的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程的根有什么关系？一元二次方程的根一元二次方程根的判别式有两个交点有两个相异的实数根有一个交点有两个相等的实数根没有交点没有实数根归纳整理、理清关系二次函数的图象与x轴的交点例、不画图象,判断下列函数的图象与x轴是否有公共点,并说明理由.∴此方程有两个不相等的实数根．∴该抛物线与x轴有两个交点.∴此方程没有实数根．∴该抛物线与x轴没有公共点.

练一练,解:【例】一个足球被从地面向上踢出,它距地面的高度h(m)可以用公式来表示．其中t(s)表示足球被踢出后经过的间．（1）t=1时,足球的高度是多少?（2）t为何值时,h最大？（3）球经过多长时间球落地?

（4）方程的根的实际意义是什么?你能在图上表示吗?（5）方程的根的实际意义是什么?你能在图上表示吗？教材题变形,拓展延伸！【例】一个足球被从地面向上踢出,它距地面的高度h(m)可以用公式来表示．其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间．（1）t=1时,足球的高度是多少?（2）t为何值时,h最大?解:(1)t=1时,h=14.7

教材题变形,拓展延伸！(2)∵∴当t=2时,h最大【例】一个足球被从地面向上踢出,它距地面的高度h（m）可以用公式来表示．其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间．（3）球经过多长时间球落地？（4）方程-4.9t2+19.6t

=0的根的实际意义是什么?你能在图上表示吗？解:教材题变形,拓展延伸！

（3）对于球落地意味着h=0

即,解得t1=0（舍去）,

t2=4．即足球被踢出后经过4s后球落地.(4)

方程的根的实际意义是球离地和落地的时间,图上表示为抛物线与x轴交点的横坐标【例】一个足球被从地面向上踢出,它距地面的高度h（m）可以用公式来表示．其中t（s）表示足球被踢出后经过的间．（5）方程的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗？解:教材题变形,拓展延伸！

(5)解方程得t=1,t=3表明球被踢出1秒和3秒时,离地面的高度都是14.7米图上表示为抛物线与直线h=14.7

的交点的横坐标例:已知二次函数的图象与x轴有交点,

求k的取值范围.

点拨:①因为是二次函数，因而k≠0;②有交点，所以应为△≥0．错解:由△=(－7)2－4×k×(－7)=49+28k＞0,得．正确解法:

此函数为二次函数,∴k≠0,又与x轴有交点,

∴△=(－7)2－4×k×(－7)=49+28k≥0,得,即且k≠0拓展延伸,知识升华大胆尝试,练一练！1．抛物线与x轴的交点坐标

. 2．抛物线与x轴的交点个

个．3．抛物线与x轴只有一个交点,m=

4．二次函数的图象与x轴有两个交点,则k的取值范围

．5．若a＞0,b＞0,c＞0,△＞0,那么抛物线经过

象限．(2,0)(-5,0)08一、二、三且1、二次函数的图象和x轴交

点的坐标与一元二次方程

的根有什么关系？归纳小结、课后反思2、本节课你有什么收获？3、本节课你还有哪些困惑？课内拓展延伸习题2.5

1,2题.(选作)补充思考题:若二次函数的函数值恒为正,则需满足

,若二次函数

的函数值恒为负,则需满足

．北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》第五节二次函数与一元二次方程（2）函数的图象如下图所示,为该图象的对称轴,根据图象信息,你能得到关于系数a,b,c的一些什么结论?仔细观察、大胆联想解:（1）a＞0（2）-1＜c

＜

0（3）对称轴:（5）由（1）,（4）得:b＜0(6)由（1）,（2）,（5）得:abc＜0(7)因为:x=1时,y＜0.所以有:a+b+c＜0(8)因为:x=-1时,y＞0.所以有:a-b+c＞0(9)由图象可知:（4）1.抛物线经过点（0,0）与（12,0）,坐标是3,求这条抛物线的表达式

2．若a＜0,b＞0,c＜0,△＜0,那么抛物线

经过

象限．3.在平原上,一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y（m）与飞行时间x（s）的关系满足．（1）经过_____s,炮弹达到它的最高点,最高点的高度是_____m．（2）经过____s,炮弹落在地上爆炸．4.一元二次方程的根就是二次函数5.一元二次方程的根就是二次函数三、四52510x轴横

y=

h横与直线_______交点的_________坐标.与____交点的____坐标.课前热身、耐心填一填(1)用描点法作二次函数的图象；你能利用二次函数的图象估计一元二次方程

的根吗？(2)观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标；由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间.用心想一想,马到功成(如何更准确估计近似值？)你能利用二次函数的图象估计一元二次方程

的根吗?(3)用等分计算的方法确定方程的近似根为:x1≈-4.3,x2≈2.3.用心想一想,马到功成(1)用描点法作二次函数图象;利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.(3)观察估计抛物线和直线y=3

的交点的横坐标;由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7.(4)借助等分计算的方法确定方程的方程的近似根为:x1≈-4.7,

x2≈2.7.(2)作直线y=3;教材题变形,拓展延伸！(如何更准确估计近似值？)(1)原方程可变形为;

利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.(3)观察估计抛物线和x轴的交点的横坐标;由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7.(2)用描点法作二次函数的图象;创新解法利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.(4)借助计算器确定方程的近似根创新解法为:x1≈-4.7,x2≈2.7.x-4.5-4.6-4.7-4.8y-1.75-1.04-0.310.44x2.52.62.72.8y-1.75-1.04-0.310.44_利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.(1)用描点法作二次函数的图象;

(2)观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标;

由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-1与0之间,另一个在0与1之间,分别约为-0.4和0.8.大胆尝试,练一练！

方程的近似根为:x1≈-0.4,x2≈0.8.(3)确定方程的解;利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.(1)用描点法作二次函数的图象;(2)观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标;由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-1与0之间,另一个在2与3之间,分别约为-0.2和2.2.（3）确定方程的近似根为:x1≈-0.2,x2≈2.2.做一做:知识拓展、迁移运用（1）填空:利用图象解一元二次方程,也可以这样求解:在平面直角坐标系中画出抛物线y=

和直线y=-x,其交点的横坐标就是该方程的解．（