2023学年完整公开课版反证法

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·选修1-2推理与证明第三章§4反证法第三章课堂典例探究2课时作业3课前自主预习1课前自主预习1.了解反证法是间接证明的一种基本方法；了解反证法的思考过程、特点．2．感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用．1.间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的方法．反证法就是一种常用的__________证明方法．反证法间接2．反证法(1)概念：假定命题结论的__________成立．在这个前提下，若推出的结果与__________、__________、__________矛盾，或与命题中的__________相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这样的证明方法叫作反证法(有时也叫归谬法)．(2)形式：由证明p⇒q转向证明：¬q⇒r⇒……⇒t，t与假设或某个真命题矛盾，¬q为假，推出q为真．反面定义公理定理已知条件3．反证法的证题步骤包括以下三个步骤：(1)作出否定结论的假设(反设)——假设命题的结论不成立，即假定原命题的反面为真；(2)逐步推理，导出矛盾(归谬)——从假设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；(3)否定假设，肯定结论(存真)——由矛盾结果，断定假设不真，从而肯定原结论成立．1.用反证法证明问题的本质反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定假设，达到肯定原命题正确的一种方法．用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论．也就是说，反证法是由证明p⇒q转向证明¬q⇒r⇒……⇒t，t与假设或与某个真命题矛盾，¬q为假，推出q为真的方法．从逻辑角度看，命题“若p，则q”的否定是“若p，则¬q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么“若p，则¬q”为假，因此可知“若p，则q”为真．可以看出，反证法与证逆否命题是不同的．由于受“反证法就是证逆否命题”的错误影响，在否定结论后的推理过程中，往往一味寻求与原题设的矛盾，而不注意寻求其他形式的矛盾，这样就大大限制和影响了解题思路．归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木．推理必须严谨．导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾．2．反证法的适用对象作为一种间接证明方法，反证法尤其适合证明以下几类数学问题：(1)直接证明需分多种情况的；(2)结论本身是以否定形式出现的一类命题——否定性命题；(3)关于唯一性、存在性的命题；(4)结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题；(5)条件与结论联系不够明显，直接由条件推结论的线索不够清晰，结论的反面是比原结论更具体、更容易研究的命题．1.应用反证法证明时，可作为条件使用的有(

)①结论的否定，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论．A．①② B．①②④C．①②③ D．②③[答案]

C2．使用反证法证明三角形中最多只有一个内角是直角时，正确的假设是(

)A．三角形中有两个内角是直角B．三角形中有三个内角是直角C．三角形中至少有两个角是直角D．三角形中没有一个内角是直角[答案]

C[解析]

至多有一个的否定是至少有两个．3．(2014·山东理，4)用反证法证明命题“设a、b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(

)A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根[答案]

A[解析]

至少有一个实根的否定为：没有实根．课堂典例探究

如图，AB、CD为圆的两条相交弦，且不全为直径．求证：AB、CD不能互相平分．[分析]

本题考查用反证法证明题目的能力，反设后根据圆内接四边形的性质得出矛盾，结论得证．用反证法证明结论为否定的问题[证明]

假设AB、CD互相平分，则四边形ACBD为平行四边形．∴∠ACB＝∠ADB，∠CAD＝∠CBD．∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠ACB＋∠ADB＝180°，∠CAD＋∠CBD＝180°.∴∠ACB＝90°，∠CAD＝90°.∴对角线AB、CD均为直径，与已知矛盾．∴AB、CD不能互相平分．[方法规律总结]

应用反证法的注意事项1．用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的思路步骤，其次注意反证法是在条件较少、不易入手时常用的方法．2．注意否定命题时，要准确无误．3．用反证法证题时，必须把结论的否定作为条件使用，否则就不是反证法．有时在证明命题“若p，则q”的过程中，虽然否定了结论q，但是在证明过程中没有把“¬q”当作条件使用，也推出了矛盾或证得了结论，那么这种证明过程不是反证法．4．用反证法证题，最后要产生一个矛盾命题，常见的主要矛盾有：(1)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论相矛盾；(2)与假设矛盾；(3)与已知条件矛盾；(4)与公认的简单事实矛盾．矛盾是在推理过程中发现的，不是推理之前设计的．平面上有四个点，没有三点共线．证明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形．[证明]

假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，记这四个点为A、B、C、D．考虑△ABC，则有点D在△ABC之内或之外两种情况．(1)如果点D在△ABC之内(图1)，根据假设以D为顶点的三个角都是锐角，其和小于270°，这与一个圆周角等于360°矛盾．(2)如果点D在△ABC之外(图2)，根据假设∠BAD、∠B、∠BCD、∠D都小于90°，其和小于360°，这和四边形内角之和等于360°矛盾．综上所述，原结论成立．[分析]

本题中，含有“至少存在一个”，可考虑使用反证法．

用反证法证明“至多”、“至少”类命题

[方法规律总结]

1.当命题中出现“至少……”、“至多……”、“不都……”、“都不……”、“没有……”、“唯一”等指示性词语时，宜用反证法．2．用反证法证题，必须准确写出命题的否定，把命题所包含的所有可能情形找全，范围既不缩小，也不扩大．常用反设词如下：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x0不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x0成立至少有n个至多有n－1个p或q¬p且¬q至多有n个至少有n＋1个p且q¬p或¬q

求证：方程2x＝3有且只有一个根．[分析]

本题中“有且只有”含有两层含义：一层为“有”即存在；另一层为“只有”即唯一性，证明唯一性常用反证法．[证明]

显然x＝log23是方程的一根，假设方程2x＝3有两个根b1、b2(b1≠b2)．则2b1＝3,2b2＝3.两式相除，得2b1－b2＝1.用反证法证明存在性、唯一性命题∵b1≠b2，∴b1－b2≠0.如果b1－b2>0，则2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相矛盾．如果b1－b2<0，则2b1－b2<1，这与2b1－b2＝1相矛盾．所以假设不成立．从而2x＝3的根是唯一的．故2x＝3有且只有一个根．[方法规律总结]

1.证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以宜用反证法证明．2．若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立．已知直线m与直线a和b分别交于A、B且a∥b，求证：过a、b、m有且只有一个平面．[证明]

∵a∥b，∴过a、b有一个平面α.又m∩a＝A，m∩b＝B，∴A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α，又A∈m，B∈m，∴m⊂α.即过a、b、m有一个平面α假设过a、b、m还有一个平面β异于平面α.则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β这与a∥b，过a、b有且只有一个平面相矛盾．因此，过a、b、m有且只有一个平面．准确写出反设 已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求证：a>0，b>0，c>0.[错解]

假设a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0，abc≤0与题设条件a＋b＋c>0，abc>0矛盾．∴假设不成立，∴原命题成立．[辨析]

错解没有弄清原题待证的结论是什么？导致反设错误．“求证：a>0，b>0，c>0”的含义是“求证a、b、c三数都是正数”，故反设应为“假设a、b、c中至少有一个不大于0.”[正解]

假设a、b