逆向思维在中学物理解题中的应用(完整版)实用资料

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逆向思维在中学物理解题中的应用逆向思维在中学物理解题中的应用（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）摘要：逆向思维即不按习惯的思维方向，从其反向进行思考的一种思维方式。对于某些物理问题，当用常规的方法解决较为繁难时，若打破常规，逆向思考，往往会化繁为简，化难为易。本文通过实例分析了逆向思维在物理解题中的几种具体应用。关键词：逆向思维物理解题应用逆向思维，又称“反向思维”或“求异思维”，是相对于习惯性思维的另一种思维方式。它的基本特点是：从已有思路的反方向去思考、分析问题。表现为逆用定义、定理、公式、法则；逆向进行推理，反向解决问题。逆向思维反映了思维过程的间断性、突变性与反联结性，它有利于克服思维定势，防止思维僵化。应用逆向思维解题，对于促进学生更好地理解知识，培养学生思维的灵活性、变通性，提高学生分析问题和解决问题的能力等，都有着至关重要的作用。然而，对于多数的中学生，往往不习惯于或者不善于逆向思维。因此，在物理的解题教学中，教师可根据实际，有意识地对学生进行逆向思维的训练，引导和培养学生的逆向思维意识和习惯，帮助学生克服思维定势，引导学生从正向思维过渡到正、逆双向思维，从而开阔学生的解题思路，使思维活动进入一个新的境界。物理解题中如何有效地应用逆向思维呢？本文就结合具体实例对逆向思维的运用作一些分析。一、注重课本中正逆思维的联结，培养逆向思维意识在物理学中，有些重大的发明、重要物理概念和定律的引入或阐述，常常需要运用逆向思维，这为在授课过程中对学生进行逆向思维的训练提供了素材。如奥斯特发现电流的磁效应，就是从小磁针的转动推出周围存在磁场进而发现电流可以产生磁场。法拉第在此基础上运用逆向思维“电可以生磁，磁也可以生电”，从而得出法拉第电磁感应定律的。又如力的合成和分解，运动的合成和分解等概念。若能恰当地引导学生进行“由此及彼，再由彼及此”的思考，提出相反的思路，就能帮助学生建立双向联结，知识就容易得到引申和扩充，技能就会产生积极的迁移。同样在习题的教学中也能使逆向思维得到训练。例：一个5N的力，可分解为（）A10N和10N的两个力B10N和20N的两个力C100N和110N的两个力D200N和200N的两个力分析：由力的分解具有任意性可知，5N的力可进行任意情况的分解，但分解的力到底有多大，则不太容易考虑。因力的分解是力的合成的逆运算，力的合成时，两个力的合成的最大值和最小值是容易知道的。因此，对题目中各选项中给出的两个力进行合成分析，则容易作出判断。10N和20N及100N和110N的两种情况下，合力的最小值均为10N。故正确选项为AD说明：有些物理问题从正面考虑有困难时，应从问题的反方向考虑。二、从正反两方面应用公式、定理，有助于知识的理解，同时强化了逆向思维学生能将由物理规律概括出的公式从左到右熟练地写出不难，如果学生还善于将物理公式从右到左熟练地逆向运用，才是对规律、公式真正理解和掌握的重要标志之一。许多教材内容的发展和深化，就是物理公式逆向运用的结果。例如，动量定理，物理所受合外力的冲量等于它动量的变化，即Ft=p/-p。反过来，p/-p=Ft，则表示对于求动量的变化也可通过求合外力的冲量得出；再如动能定理，通过求合外力做功可知动能的变化，反过来，通过求动能的变化也可以求出合外力做功。例：以速度v0平抛出一个质量为1kg的物体，并在抛出后5s落地，求它在3s内动量的变化。分析：物体运动过程中只受重力作用，而重力是恒力，由动量定理得，△P=mgt=30kgm/s此类问题不要因为求动量变化，就急于求初末动量而再求其差值，这样不但求动量比较麻烦，而且动量是矢量，求矢量的差也是比较麻烦的。三、将运动过程逆过来，通过变换物理过程，常常可以把复杂的问题简单化变换物理过程，就是把运动过程反演过来。我们在解决匀变速直线运动时，尤其是匀减速直线运动（且末速度为零）时，我们常将其反过来作为以同样加速度做匀加速直线运动，可以简化解题过程。例1：一辆汽车以2m/s2的加速度刹车后做匀减速直线运动，它停止运动前的最后1s内通过的位移是____m。分析：此题若按匀减速直线运动知识求解，需要列方程组求解，过程比较复杂，若把匀减速直线运动看作反向的初速度为零的匀加速直线运动，则前1s位移S=at2/2=1m例2：如图所示，两物块并排固定在水平面上，一子弹以速度v水平射入，若子弹在木块中做匀减速运动，穿过两木块时速度刚好为0，且穿过每块所用时间相等，则两木块的厚度之比d1:d2为（）A1：3B１：４C3:1D4:1分析：把此过程看成反向的初速为0的匀加速直线运动。设穿过每块木块所用的时间为t，则d2=1/2at2，d1+d2=1/2a(2t)2，解方程得d1:d2=3:1，故正确答案选C说明:类如此题的物体沿斜面匀减速上滑到最高点，以及竖直上抛运动到最高点的问题，用逆向思维的方法求解问题往往比较简便。四、运用逆向思维转换物理对象，间接解决物理问题，在运用中训练逆向思维解决物理问题时一般先选取研究对象，当选取某一研究对象感到思维困难时，可将对象进行合理转换，会给问题分析带来方便。而且，通过灵活转换研究对象，能使学生在训练逆向思维的同时体会到事物之间相互联系、相互影响的哲学思想。例：如图所示电路中，电源电动势为E，内阻为r，当滑动变阻器R3的滑动触头自左向右滑动时（）A电压表示数变大B电流表示数变大CR1消耗功率变大DR2消耗功率变大分析：当滑动变阻器触头向右滑动时，R3减少，引起外电路的总电阻减少，由I=E/(R+r)得，总电流增大；由U=E-Ir知，路端电压减少，即电压表示数减少，A错。R2、R3两端电压U23=E-I（R1+r），因总电流增大，故U23减少，流过R2的电流IR2减少，而流过电流表的电流IA=I-IR2，且I增大，IR2减少，所以IA增大，故B对。因流过R1的电流增大，流过R2的电流减少，故R1消耗功率变大，R2消耗功率变小，选项CD错误。说明：电路动态变化问题不仅考查了电路知识，更考查了学生分析问题的能力和方法，只有找出整体与局部的辨证关系，才能作出正确的判断，在本题中对于外电压和R3部分的分析都体现了通过不变部分来分析变化部分的思想方法。五、运用逆向方法，变换角度思考，有助于快速解决问题有些题目用常规方法解决比较复杂，如果换个角度去思考，则往往会使问题快速得解。如求解牛顿定律问题时，常规思维是分解力，但一些问题，只对力进行分解，显得繁难，我们可以转换思维角度，分解加速度，做起来就比较简捷。例：如图a所示，电梯与水平面夹角为300，当电梯加速向上运动时，人对电梯的压力是其重力的6/5，人与梯面间的摩擦力是其重力的多少倍？分析：对人受力分析，重力mg，支持力FN，摩擦力F（摩擦力方向一定与接触面平行，由加速度方向方向可推知F水平向右），分解加速度，由牛顿第二定律得水平方向：F=ma=macos300竖直方向：FN-mg=masin300又因为FN=6/5mg联立解方程得F=√3/5mg说明：此题通过分析受力情况发现力都是垂直的，所以采用分解加速度的方法，简化了解题过程。六、将解题结果逆向反推，有助于得到正确的结果学生解题常常会想当然，往往又没有验证答案的习惯。利用反证法，有助于判断解题结果正确与否。例：如图所示，质量为m的小求固定在细杆ab的一端，小车静止在水平面上，下列说法正确的是（）A、细杆对小球的作用力大小为mg，方向竖直向下B、小球对细杆的作用力大小为mg，方向竖直向下C、小球对细杆的作用力大小为mgcosθ,方向沿ab杆向下D、细杆对小球的作用力大小为mgcosθ，方向垂直ab杆向上分析：本题学生易错选C，如果把答案再仔细想一下，这样的条件小车会保持静止状态吗？七、逆向分析问题，有助于理清解题思路一般的思维方式即正向思维就是从已知量出发，根据题意，把问题分成几个简单的部分来考虑。再按照题意和有关物理规律及物理概念，找出已知和未知量之间的关系，从而得到结论的思维方式。逆向思维则是从待求量入手按照题意逐层次反向推导，直到利用题中给出的已知条件能够将问题解决为止。思维模式是：例：如图（a）所示，在前进的车厢的竖直后壁上放一物体，要使物体不下滑，车厢至少要以20m/s2的加速度前进，求物体与车壁间的动摩擦因素。（g=10m/s2）分析：初学者会认为这个题目条件过于简单，无从下手。其实，我们只要从结论出发进行逆推，找出所需要的条件列式即可。⑴要求μ，由公式F=μFN，必须求出摩擦力和弹力。⑵要求摩擦力和弹力，可由题目的运动状态：要使物体不下滑，对物体受力分析如图(b)⑶由牛顿运动定律得FN=ma，F=mg，再返回代入滑动摩擦力公式即可。将上述分析过程反向写出，即可得出解题步骤如下：设物体的质量为m，受力分析如图(b)水平方向：FN=ma竖直方向：F=mg由摩擦力公式F=μFN得μ=F/FN=mg/ma=0.5说明：逆向思维就是将结论作为条件，从结论出发，逆向分析其物理过程的一种思维方式。对于较复杂的问题，利用逆向思维可以将分析推理过程简单化。简单的说，就是当不知道从哪里算起的时候，就从题目的要求去倒推，看看要计算出最终的结果需要什么条件，需要什么找什么，直到题目已知条件满足要求，这个题就解开了八、利用可逆性原理，破解物理学难题可逆性原理为求解物理学难题开辟了一条途径，用常规方法不易解决或无法解决的问题首选这一原理进行分析时，往往能快速、准确地找到答案。例：如图所示，一个三棱镜的横截面是直角三角形，且角A为300，AD=2/3AC，棱镜材料的折射率为√2，把此棱镜放在真空中，一束单色光射向AC面上的AD部分，其中有一部分光经棱镜后垂直于BC面射出，在图中画出一条由AD部分射入，最后垂直BC面射出的光线的完整的光路图，并在图中标出界面处反射角和折射角的度数。分析：显然，因不知入射角有多大，在AD部分先作入射光线会无从下手。根据光路可逆原理，假设光线垂直于BC面入射，找出它在AD部分射出的光线即可。如图所示，AB面上的入射角为600，大于棱镜的临界角（C=450），发生了全反射；在AD面上的入射角为300，根据折射定律n=sini/sinr，求出折射角为300，完成光路图。通过以上分析可看出，对于某些物理问题，用常规的方法解题比较麻烦时，若能打破常规，逆向思考问题，往往会收到化繁为简，化难为易的效果。因此，逆向思维是解决物理题目的一种有效方法，同时对于培养学生思维的灵活性和创造性是十分有效的。参考文献：中学物理教学参考2021年4月中学生理科月刊2003年10月解题中的一种思维方法——微元法上海市曹杨中学（200333）钭方健“微元法”通俗地说就是把研究对象分为无限多个无限小的部分，取出有代表性的极小的一部分进行分析处理，再从局部到全体综合起来加以考虑的科学思维方法。高中物理中的瞬时速度、瞬时加速度、感应电动势等等，都是用这种方法定义的，还有单摆的周期公式的推导，也用到了这种方法。从数学上讲，是一种微分的思想方法，但在高三物理总复习中，用“微元法”来解有些问题，简捷明了是一种普适的好办法。下面从三方面，谈谈“微元法”在解题中的应用。一、合理“取样”，从局部求整体当物体各部分的运动情况相同时，取其中一小部分作为研究对象，是利用“微元法”解题的一种思维方法。[例1]一质量均匀分布的细圆环，半径为R，质量为m，设该环均匀地带正电，总带电量为Ｑ，现将此环平放在绝缘的光滑水平桌面上，匀强磁场的磁感强度为Ｂ，方向竖直向下。当此环绕通过其中心的竖直轴以ω的角速度顺时针方向匀速旋转时，环中的张力等于多少？（电苛间的作用力忽略不计）分析与解：如图1，取环上微小的一段圆弧，质量为m。，设其张角为2θ，由于环旋转，那么电苛随环运动形成电流，小圆弧因而受到磁场对它的安培力，方向沿半径向外。又小圆弧做匀速圆周运动，必须有向心力。所以环中必定存在张力T，小圆弧所受张力T在沿半径方向的分力和安培力的合力，提供了小圆弧运动的向心力。得到：①②图1③由以上三式,并且当θ很小时，sinθ≈θ求得：二、“化变为恒”、“化曲为直”求瞬时速度图2a图2b[例2]如图2a，以不变的速率v图2a图2b分析与解：如图2b所示，当绳与水平成θ角时，小船处在A点。现经一段很短的时间△t(△t→0)，小船被绳由A拉至B。期间绳的长度变化△S＝S-S'，则。而在这段时间内，由于AO与BO间的夹角很小，故小船的位移可作下列近似计算，。由于在极短的时间内，船的运动是匀速直线运动，所以船在A处的瞬时速度无限接近△t内的平均速度。由以上分析可知，小船在A处的瞬时速度为[例3]三个物体A、B、C，用绳连接挂在两个定滑轮上，A、B质量相等且整个装置左右对称，设某一瞬间A、B的下降速度为，在这一瞬间绳OD、OE间的夹角为2α,求此时刻物体C的上升速度。分析与解：图3，实线代表某一时刻绳与物体所在的位置，虚线代表经极短时间后绳物体的位置。是物体C在极短时间内的位移，以E的圆心，以为半径，在上截取EF=，就是物体A在极短时间内的位移，本来是圆弧，但β→0，可以看成是直线，并且垂直，这样=，又因为在极短的时间内物体C可以是匀速直线运动，即：图3从上面的计算知道，只要用“微量法”，“化变为恒”、“化曲为直”作出一个直角三角形，就可以直接求出物体的瞬时速度。[例4]如图4a，长为Ｌ的直棒一端可绕固定轴Ｏ转动，另一端Ａ搁在升降平台上，平台以速度Ｖ匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为多少？图4a图4b如图4b，用“微量法”作出直角三角形，即得：三、找“联系点”、“联系物”求相关速度[例5]如图5a，一轻质细杆长为L，一端可绕固定轴O转动，另一端系一小球A，一物块高为h卡在水平面与细杆之间，此时OA杆与水平面成θ角，物块向右的速度为vB，求A球此时的速度大小。分析与解：杆与物块的接触点是vB与vA的“联系点”，我们可以假设接触点处有一小滑环C固定在物块上。如图5b,当OA杆绕O轴转动一个很小的角度到达OA’，可以看出环C是既绕O轴的转动又沿杆子滑动，最后到达B点，因为转动的角度很小，可以认为CC’垂直OA’，从直角三角形得到，VC=VBsinθ。故图5a图5b[例6]如图6直棒AB两端分别靠在竖直墙和水平地面上，接触处均光滑，当直棒滑到与水平面成θ角时，Ａ点向下移时动的速度为υ，则此时Ｂ点的移动速度为多少？分析与解：要求出VB这里的“联系物”是棒，根据微量法作出直角三角形和，分别得到如下两式：sinθ=V棒／v①cosθ=V棒／VB②故VB=vtgθ图6例7、如图7，A、B两物体用绳相连，在水平面上运动，当物体A的速度为υ，则物体B的速度VB=？分析与解：明显这里的“联系物”是绳子，由直角三角形，得到如下两式：cosα=V绳／VB①conβ=V绳／υ②故VB=υconβ／cosα图7从以上几个例子看出,如果有几个物体连接在一起，先求出“联系点”或“联系物”的速度，再用微量法，作出直角三角形，求出要求的瞬时速度。通讯地址：上海市祁连山南路353号上海市曹杨中学邮政编码：200333SUBJECT信息学竞赛中的思维方法广东省韶关一中陈彧【关键字】KEYWORDS信息学思维方法【摘要】本文将借鉴一些数学思维理论，探讨思维方法在信息学竞赛中的地位和作用，并介绍信息学竞赛中的几种思维方法，包括：试验猜想及归纳、模型化、分类及分治、类比。其中将引用大量的例题进行思维过程的分析，大部分的例题是1999年NOI、IOI试题，具有广泛的代表性。最后总结本文讨论的目的及启迪。【引论】“奥林匹克是思维的体操”。同其它学科竞赛一样，信息学竞赛是在丰富的知识、一定的实践能力的基础上，思维与思维的竞赛。优秀的选手往往具有快速、敏捷的思维。因此，在我们不断探讨方法、总结经验的同时，有必要尝试探索系统的思维方法，以达到启迪思路的目的。注意思维方法并不是解题方法，我们重在对思考问题的过程的讨论，而不是对解决问题的算法的总结。在对思维方法的具体讨论之前，让我们来看看数学家G·波利亚在1944年提出的“怎样解题表”REF_Ref471366266\r\h[1]：……你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用的上的定理？看看未知数！试想出一个具有相同未知数的或相似未知数的熟悉的问题。这里由一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？回到定义去。如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？……如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？……尽管这张表是为解决数学问题而设计的，但是它给我们的启迪是多么深刻！信息学与数学的联系是何等的紧密，而数学思维又是一门成熟的理论，它给我们的探讨带来宝贵的启示。【正文】思维方法是多种多样、因人而异的。本文将选取其中最具代表性的几种。首先，我们试按传统的“纵向”、“横向”标准，将本文要讨论的信息学竞赛思维的几种一般方法划分为：纵向：试验猜想及归纳、模型化（化归）。横向：分类及分治、类比。其中模型化及类比是这里重点介绍的思维方法，当然此外我们也会多少涉及一些其它的思维方法，如递归、筛选、最优策略、逆向思维等等也都是我们常见、熟悉的，但因篇幅所限而略去。试验、猜想及归纳我们每个人的知识构成不同，解决问题的经验不同，思维的品质不同，甚至性格各异，面对陌生的问题时，产生的直觉、“灵感”就五花八门、各种各样。在分析问题时，我们会往往不止一次地做猜测：“会不会是这样”、“这不就是某某问题吗”。这些就是在个人知识、经验、智力的作用下的一种猜想思维。有时，当问题过于复杂，“老鼠拉龟”——无从下手，无法联系自己的知识时，我们往往希望“尽己所能，先解决规模更小的问题，找找问题是否存在规律吧”。这种“缩小规模”、“找规律”的想法就是试验思维。试验和猜想经常是结合在一起的。不要认为这些思维是“不正规”、不是“名门正道”的，相反，它体现的是人的思维的火花的跳跃的美。归纳的过程是对试验猜想的总结或证明。归纳通常是严格的。不过，竞赛是紧张、紧迫的，在竞赛中的严格的归纳是不简单的、少见的。来看一个猜想的例子，IOI’99第一题《小花店》（详见REFeg9\h[例题7]），经验丰富的选手也许未到题目看完就猜测解题的方法是动态规划，这个猜想的形成诱导他快速地完成题目分析，从而最终确定算法。这个猜想来源于扎实的基本功、广泛的实践和丰富的经验：选手对动态规划的实践较多，思考时可以自然的与做过的例题类比而做出猜想。所以猜想决不是“瞎猜”。另一种猜想来源于试验。这里有一个最“经典”的例子：[例题1]m,n∈N,1<=m,n<=k<=109,且(n2-mn-m2)2=1，输入k，求m,n使m2+n2最大。(NOI’95)从数据的规模可“猜想”本题一定蕴含着更为简单的数学关系，但是题目的数学关系不明显，数学分析的难度太大。而用简单的两重循环枚举可以很方便的算出小数据的情况。K123,45,6,78,9,10,11,1213…M1235813…N112358…通过这些试验，我们猜想符合条件的m,n成Fibonacci数列。实际上：n2-mn-m2=-(m2+mn-n2)=-[(m+n)2-mn-2n2]=-[(m+n)2-n(m+n)-n2]更多的猜想来自类比。总之，猜想是一种合情的推理，它有利于对思路的正确诱导。REF_Ref471366391\r\h[2]模型化——“你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？”客观世界是纷繁复杂的，当我们面对一个新问题时，通常的想法是通过分析，不断的转化和转换，得到本质相同且熟悉的或抽象的、一般的一个问题。这就是化归思想。把初始的问题或对象称为原型，把化归后的相对定型的模拟化或理想化的对象或问题称为模型。模型和原型必须是本质相同，是等价的。模型化的方向主要有图论模型、数学模型和规划（动态规划）模型。图论模型化是我们最常使用的思想。图论中有许多成熟的算法。把陌生的问题转化为抽象的图论问题，也是许多选手爱干的事情。原因是，通过图论化，本来复杂、凌乱的数据关系简洁、明了了，问题求解的思路也清晰了。[例题2]《最优连通子集》在坐标平面内的整点集中，称距离为1的两点相邻。若S是一个整点集，R、T是S中的点，若在S中存在互不相同的点序列R-Q1-Q2-…-Qk-T，其中任意相邻两项的点相邻，则称Q1-Q2-…-Qk为整点集S中连接R与T的一条道路。又若对于S中任何两点都有且只有一条连接的道路，则称S为单整点集。现给定S并给S中所有点赋一个权，求单整点集B，B是S的子集且B的权和最大。(NOI’99)这道题的题目本身便复杂得不得了，似乎在刻意构造一堆复杂关系。因此我们就有对它进行“简化”的自然愿望。我们很容易就可以想到图。但是“图”并没有题中“单整点集”的特殊性质——“对于任意两个点有且仅有一条道路”。注意到这个性质恰好等价于“图中没有圈”，而树就是没有圈的图。当建立“树”模型的思想确立后，问题就被简化了。随之而来的是树的遍历、树的计数等一系列与树有关的算法。于是整道题的思路迅速清晰了许多。一种思路是：“最优连通子集”一定是以原“单整点集”某个点为根的一棵深度搜索树上的一棵子树。因此对原“单整点集”进行一次遍历同时计算每棵子树的最大权和即可。c***m[例题3]《猫捉老鼠》c***m如右图是一个笼子，*是障碍，其中猫的初始位置已知，鼠的运动轨迹已知。鼠每秒走一步，猫每秒走S步，问猫能否捉住鼠？(GDOI’97)猫要捉住鼠，必须在鼠之前到达鼠的运动轨迹上的某个位置。由此必须算出猫到达鼠的轨迹上所有位置的最短时间。我们也许会联想起最短路径的“标号法”（又是一种猜想）。这是从问题的“未知”方面的考虑。再从“已知”的方面考虑，猫在笼中行走，步长已知，则当它的位置确定时下一步能到的位置也确定。这样，把格子看作顶点，一步能到达的格子间有边连接，得到一张图。易知这样的图和原问题是等价的。至此模型化完成，解题思路轮廓已成。在这个思维过程中不仅体现了模型化，而且带有猜想和双向思维的味道。再举一个复杂一些的例子。[例题4]《补丁vs错误》一个软件存在n个错误(1<=n<=20)，需要若干补丁，但是每个补丁只在软件包含一些错误而不包含另一些错误时才可使用，且每个补丁只修复其中一部分错误，同时又可导致另一些错误。每个补丁的运行时间不同，现在希望修复软件所有错误且耗时最少。(IOI’99中国队选拔赛)因为涉及耗时“最少”的问题，我们自然想起最短路径。为了达到这个目的，我们尝试对问题模型化。n个错误的状态（存在或没有）的组合可以简洁地用二进制数表示，所有可能状态组成了图的顶点。顶点之间的有向边表示可以使用某个补丁而达到另一种状态。边权就是补丁的运行时间。于是问题抽象成求源点（2n-1）到终点（0）的一条最短路径。这个模型和原型完全等价，而又体现了原型的“本质”所在，是“完美”的。REF_Ref471403515\r\h[3]通常，有关离散量，数据之间的关系错综复杂的问题，可以考虑图论模型化。如果图论化成功，就容易得知算法的大概复杂度，是多项式级、指数级、还是阶乘级。建立图论模型必须注意：模型和原型的本质越接近越好。这是因为，如果模型比原型（的本质，下略）更特殊，就有可能丧失解或得不到解；如果模型比原型更一般，则可能得到的算法的复杂度过高，容易超时，也得不到解。请看下面的例子：[例题5]《隐藏的字码》给定一个字码词典words.inp和一个文本text.inp。文本中将包含若干字码。每个字码的字母按顺序但不一定是连续地出现在文本里。现在要在文本中辨认出这些字码。不同的辨认方式将得到不同的字码，要求文本中包含字码的子序列（覆盖序列）无交叉、重叠，且所有字码的总长最大。如有4个字码为RuN,RaBbit,HoBbit,StoP，文本为StXRuYNvRuHoaBbvizXztNwRRuuNNP，则划线部分为3个覆盖序列，包含了3个字码RuN、RaBbit、RuN，总长为12。(IOI’99)该题要求一组包含字码量最多的覆盖序列。通过分析我们知道，“右侧最小”覆盖序列（就是说它的任何前缀都不是覆盖序列）在文本中都是可确定的。于是我们考虑把每个“右侧最小”覆盖序列作为顶点，顶点间的边表示两个序列没有互相交叠。每个序列包含的字码长度对应顶点的值。问题转化为求图中的最长链。显然，如此图论化是不行的：我们都知道最长路径没有好算法。为什么图论化后问题的复杂度会升得如此之高呢？这是因为，原型中，覆盖序列是有顺序的，是呈“线性”排列的。而图是“立体”的，图的顶点间没有什么“先后顺序”。把“线性”的转化为“立体”的，模型与原型非但不等价，反而更一般化了，必定会使问题的复杂度升高一个档次。不过，并非所有的模型化都是严格等价的，模型仅是原型的一个类比，我们通常都不能脱离原型来设计具体的算法。比如REFeg2\h[例题2]中，“单整点集”实际上比树还要特殊：它是根至多有4个子节点，其余节点最多有3个子节点的树，且节点间还有更复杂的关系。我们撇开了这些限制，得到的树的模型当然与原型不严格等价，它比原型更一般。但是这个模型和原型是如此的相似，它们的“本质”是一致的。但是如果把“单整点集”理解成图，模型就太过一般化以至失去了它的作用。又如REFeg3\h[例题3]，并不是任意一张图都可以转化为“笼子”的结构，也就是说“笼子”和图不是严格等价的，但这也不妨碍对问题的求解。在数学模型中，使用得最多的是各种组合数学模型。组合数学的难度是非常大的，建立组合数学模型要有很好的数学功底，最能体现思维的严密性。同时还涉及分类、分治、递归等思维。各种各样的计数问题都可考虑建立组合数学模型，最常用的组合数学模型是递归关系。直接利用递归关系计数是可行的，但先对递归关系进行求解再计数可大大降低复杂度。REFeg1\h[例题1]就是以组合数学中的Fibonacci数列做模型。最“经典”的组合数学模型莫过于Catalan数了。Catalan数的一个原型是这样的：[例题6]有n个数的连乘积k1k2k3…kn，插入足够的括号，使每一个子乘积恰好是两个因子的乘积。例如，乘积k1k2k3k4能用括号括成((k1k2)(k3k4))或(((k1k2)k3)k4)或((k1(k2k3))k4)或(k1((k2k3)k4))或(k1(k2(k3k4)))，注意我们不允许改变ki的次序。求用括号括n个数乘积k1k2k3…kn的方式数an。建立递归关系，通常要设法把原问题分割成若干规模更小（分治）、性质相同（递归）的子问题。易知，a2=1，a3=2（((k1k2)k3)及(k1(k2k3))），令a0=0,a1=1，考虑n个数乘积的最后乘积（最外层括号），此最后乘积涉及两个子问题（分治）的乘积：((k1k2…ki)(ki+1ki+2…kn))，分别用括号括这两个子问题的方式数为ai及an-i（递归），故解决两个子问题共aian-i种方式，其中i能从1开始一直到n-1。对于所有的i相加，我们得到递归关系(n>=2)：an=a1an-1+a2an-2+…+aian-i+…+an-1a1…………（*）这就是Catalan数的递归关系了。求解这个递推关系我们可得Catalan数的解REF_Ref471494309\r\h[4]：有许多计数问题都可以归结为Catalan数的递归关系（*）式。也即是说，Catalan数存在丰富的原型。例如：[凸多边形问题]将一个凸n边形用n-3条互不相交的对角线分割成n-2个三角形，求分法总数。[数的计数问题]有n个节点的二杈树共有多少。采用分治、递归等方法，容易得到这两例的递归关系同样是（*）式。组合问题千变万化，求解的方法各种各样，模型化只是其中一种方向，有时仅仅是求解过程中的一步，但通过这些例子可见它的作用之大。规划（数学规划）模型是数学模型的一类。因其常见，故独立列出。我们熟悉的规划模型主要包括整数规划及动态规划模型。整数规划是所有变量均取整数的规划问题，这类问题的算法通常是阶乘级的。动态规划的决策、状态变量也是取整数的，但它的算法复杂度却是多项式级的。带约束的多变量的求解问题，特别是约束条件中有满足某个函数的最大（小）值，可考虑建立规划模型。建立规划模型时，动态规划是首选，如果选整数规划，则要注意算法的优化。[例题7]《小花店》现有F束花要从左至右插在V个花瓶里(1<=F<=V<=100)。花与瓶分别用1~F与1~V的整数标识。花要按花的标识数从小到大排列。不同的花插在不同的瓶子里产生不同的美学价值(-50到50之间)。求最大美学价值及其一种摆放方式。(IOI’99)这实际上就是对一系列整数变量的求解，目标函数是“最大值”型的。所以可以建立规划模型：这是整数规划，如果分阶段决定xi，模型就向动态规划转化了。[例题8]《棋盘分割》从一个矩形棋盘（一刀）割下一块矩形棋盘并使剩下部分也是矩形，将剩下部分继续如此分割，割了（n-1）次后，得到n块矩形棋盘。棋盘每个格子有一个分值，现要把棋盘按上述规则割成n块矩形棋盘，使各矩形棋盘的均方差最小。(NOI’99)许多选手都选择了动态规划或搜索算法。为什么呢？这是因为，虽然题目仅要求一个最优值，但应该想到，均方差是由切的方法来决定，也就是n-1个变量，代表每一“刀”的位置。所以题目隐含着对这n-1个变量的求解。故比起其它模型来，问题更类似于规划模型。问题求解的核心，就是这隐含的n-1个变量的取值。一般来说，搜索总能容易想得到，当然也要注意优化，而若能加入阶段的概念，把这n-1个变量的求解人为地划分为n-1个阶段，则自然会向建立动态规划模型靠拢。分类及分治分类与分治来源于我们解决问题总是希望“大事化小，小事化了”的愿望。分类，就是按逻辑来划分问题的各部分。程序的模块化就是分类思想的产物之一，测试数据的设计也体现了分类的思想。分类的思维过程要保持全面、严密。对问题进行转换和转化时，要保证考虑到了问题的方方面面，不重复，不遗漏。不仅组合问题，其它任何问题也要注意。[例题9]平面上有n个点(n>1)，现要求一个面积最小的圆，它能覆盖所有这些点。一种思路是这样的：因为三点确定一个圆，覆盖所有点的圆面积变小时一定有“收缩”到使某些点恰落在圆上的趋势（可类比凸包）。所以为确定这个圆，只需枚举3个点即可，复杂度O(n3)。这个思路是有缺陷的：“收缩”趋势的确是存在的，当最终落在圆上的点不少于3个时，当然可以枚举；问题是，有没有可能最终只有2个或仅1个点落在圆上呢？若仅有1个点，则显然圆还可以再“收缩”。若仅有2个点，则“收缩”促使圆心落在这两点连线的中点，即这两点连线就是圆的直径，此时没有其它的点在圆上是可能的，如果用3点来确定这个圆反而变大了（右图）！分治在上文中曾多次提到过。分治是特殊的分类，通常与递归联系在一起。它的特点是划分后的子问题又是规模更小的原问题，这使得它的思路非常的清晰、简洁。可以说，分治思想被很好的溶入在上文的各种思想中，如组合数学、动态规划、搜索等。类比——你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用的上的定理？……试想出一个具有相同未知数的或相似未知数的熟悉的问题。这里由一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。……你能不能利用它？……一个类比的问题？单看REFtbl\h《怎样解题表》中这么多的文字都涉及类比，就可知道类比的重要。如果说前面的介绍都带有解题方法的分析的话，那么类比就是纯粹的思维方法了。事实上，一开始本文引用REFtbl\h《怎样解题表》，就是一种跨学科的类比，而前文也多次出现“类比”一词。REFeg2\h[例题2]中，为什么会想到树呢？因为把题中“单整点集”中两个点有且只有一条道路的性质类比树的性质：“树的任意两个顶点间有且只有一条道路”。REFeg3\h[例题3]、REFeg4\h[例题4]中，由于问题涉及“最短”，故类比最短路径，寻找相似，不断的把问题向目标转化，最终完成模型化。同样的问题也出现在IOI’99《交通信号灯》，也是求“最短”，所以也类比最短路径，寻找差距，再尝试消除差距，向目标转化，结果发现同样满足“无后效性”。类比可以是本质的类比，也可以是形的类比，总之只要能启发思路就行了。REFeg5\h[例题5]与IOI’98的《天外来客》有几分相似，于是想到借鉴此题的部分思想，如储存、“一次性”地读入数据、动态规划思想等。虽然不一定都有用，但启发是不小的。REFeg6\h[例题6]可说是典型例题了。凡是做组合数学时想想此题，递推关系是如何建立的，如何求解的，也许可找到不少可借鉴之处。REFeg7\h[例题8]的形式是常见的，如“求一个整数矩阵的子矩阵，使子矩阵元素的和最大”。从这也可启发把问题分割成子问题的分治思想。当然由于类比是一种不严格的思维，失败的类比也是难免的，比如REFeg5\h[例题5]与熟悉的图论模型的类比，就是不成功的。这再次证明类比仅仅是启发思路而已。要注意的是，类比必须“有物可比”。也就是说，先要重视知识、实践的积累。越丰富的知识、越广泛的实践就会带来越多可供类比的对象，思路就越开阔，启发就越大。总而言之，类比就是一种相似，由于“相似”的含义非常广泛，所以类比方法的表现形式也就丰富多样。类比也是一种寻求解题思路，猜测问题答案或结论的发现方法REF_Ref471661960\r\h[5]。尽管类比的结果不一定正确，但它是发散思维，是创造性思维的基础，有着非常重要的作用。当我们面对问题时，通常总是通过观察弄清问题，抓住题目的特征进行广泛的联想、检索和回忆，即凭借已有的知识和经验，做出直觉性的理解和判断，选择总体思路或入手的方向。能否找到合适的策略与观察问题的角度及联想范围的广窄深浅有关。当思维受阻时，就应调整思维方向，变换角度再进行分析思考，直到产生新的思路REF_Ref471661985\r\h[6]。在这个过程中，各种思维方法不是孤立地，而是辩证地运用。最后，本文对思维方法的讨论的目的，一是启迪读者的思路；二是说明平时的知识及实践积累工作才是发展个人思维的最好途径。【附录】这张表包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四个部分。这里仅仅节选了“拟定计划”一节中的部分内容。更多的例子请参见《信息学奥林匹克》1999第3期26页刊登的福建省试题《幂函数递归系数问题》。实际上这里还需解决储存量的问题(220=1,048,576)，关系到计算机储存的技巧，但这不在本文的讨论范围之内，故略去。递归关系的求解属于组合数学，不在本文讨论的范围内，故略去。在此仅讨论递归关系的确立。Catalan数的求解在各种组合数学书籍里都有，请另行参阅。《数学思维论》，P141。《数学思维论》，P242。【参考书目】《数学思维论》,任樟辉著，广西教育出版社，1996版。《信息学奥林匹克》杂志《组合数学及其在计算机科学中的应用》，庄心谷著，西安电子科技大学出版社，1989版物理解题中的递推公式分析一些同类特殊事例，确切判断出它们所共有的因果联系和特征，作出一般结论。这种由特殊推出一般的推理方法叫归纳推理。物理学中许多普遍概念和规律都主要是用归纳推理得出的。归纳推理是解决物体与物体发生多次作用后的情况，即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式。常用它来研究运动规律已知，在一定条件下连续进行的、具有共同规律而具体数量特征不同的多阶段运动问题。它具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论；再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解；或导出联系相邻两次作用的递推关系式，再把结论推广，后结合数学知识求解。

1、如图所示，质量为m的由绝缘材料制成的球与质量为M=19m的金属球并排悬挂。现将绝缘球拉至与竖直方向成θ=60°的位置自由释放，下摆后在最低点处与金属球发生弹性碰撞。在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁场。已知由于磁场的阻尼作用，金属球将于再次碰撞前停在最低点处。求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°。【分析】因绝缘球与金属球每次碰撞后，其速率将减小，从而使其偏离竖直方向的最大角度在减小。而每次两球碰撞后，绝缘球的速率是有规律性的变化，要求解本题题设条件下的碰撞次数，关键在于归纳出绝缘球在每次碰撞后的速率变化规律。【解】方法1．根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解。设小球m的摆线长度为l，绝缘球第一次碰撞前的速度为v0，碰撞后绝缘球与金属球的速度分别为v1、V1，设速度向左为正，小球m在下落过程中与M相碰之前满足机械能守恒：

，

①

m和M碰撞过程满足：mv0=MV1+mv1，

②

，

③

联立②、③得：，

由于v1<0，说明绝缘球被反弹，而后绝缘球又以反弹速度的大小和金属球M发生碰撞，设第二次碰撞后绝缘球与金属球的速度分别为v2、V2，满足：

m|v1|=MV2+mv2，④

，

⑤

由④、⑤解得：，

整理得：同理第三次碰撞后绝缘球的速率v3为：，

由以上归纳推理得到第n次碰撞后绝缘球的速率为vn，

所以：，⑥

经过第n次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°，则

，⑦

联立①、⑥、⑦代入数据解得，（0．81）n=0．586，

当n=3时，碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°。

方法2．导出联系相邻两次作用的递推关系式，再把结论推广，后结合数学知识求解。

设在第n次碰撞前绝缘球的速度为vn-1，碰撞后绝缘球、金属球的速度分别为vn和Vn-1，由于碰撞过程中动量守恒，碰撞前后动能相等，则

mvn-1=MVn+mvn，

，

解得，

由以上归纳推理得到第n次碰撞后绝缘球的速率为vn，，

再利用方法1的求解可得到结论。

2、某兴趣小组设计了一种实验装置，用来研究碰撞问题，其模型如题25图所示。用完全相同的轻绳将N个大小相同、质量不等的小球并列悬挂于一水平杆、球间有微小间隔，从左到右，球的编号依次为1、2、3……N，球的质量依次递减，每球质量与其相邻左球质量之比为k（k＜1。将1号球向左拉起，然后由静止释放，使其与2号球碰撞，2号球再与3号球碰撞……所有碰撞皆为无机械能损失的正碰。（不计空气阻力，忽略绳的伸长，g取10m/s2）（1）设与n+1号球碰撞前，n号球的速度为vn，求n+1号球碰撞后的速度。（2）若N＝5，在1号球向左拉高h的情况下，要使5号球碰撞后升高16k（16h小于绳长）问k值为多少？解：（1）设n号球质量为m，n+1，碰撞后的速度分别为取水平向右为正方向，据题意有n号球与n+1号球碰撞前的速度分别为vn、0、mn+1根据动量守恒，有①根据机械能守恒，有=②由①、②得设n+1号球与n+2号球碰前的速度为En+1据题意有vn－1=得vn－1==③（2）设1号球摆至最低点时的速度为v1，由机械能守恒定律有④v1=⑤同理可求，5号球碰后瞬间的速度⑥由③式得⑦N=n=5时，v5=⑧由⑤、⑥、⑧三式得k=⑨（3）设绳长为l，每个球在最低点时，细绳对球的拉力为F，由牛顿第二定律有⑩则⑾⑾式中Ekn为n号球在最低点的动能由题意1号球的重力最大，又由机械能守恒可知1号球在最低点碰前的动能也最大，根据⑾式可判断在1号球碰前瞬间悬挂1号球细绳的张力最大，故悬挂1号球的绳最容易断。3、如图所示,一排人站在沿x轴的水平轨道旁,原点O两侧的人的序号都记为n(n=1,2,3….每人只有一个沙袋,x>0一侧的每个沙袋质量为m=14千克,x<0一侧的每个沙袋质量m′=10千克.一质量为M=48千克的小车以某初速度从原点出发向正x方向滑行.不计轨道阻力.当车每经过一人身旁时,此人就把沙袋以水平速度u朝与车速相反的方向沿车面扔到车上,u的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n倍.(n是此人的序号数(1空车出发后,车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行?(2车上最终有大小沙袋共多少个?解:(1在小车朝正x方向滑行的过程中,第(n-1个沙袋扔到车上后的车速为vn-1,第n个沙袋扔到车上后的车速为vn,由动量守恒定律有小车反向运动的条件是vn-1>0,vn<0,即M-nm>0

②M-(n+1m<0

③代入数字,得n应为整数,故n=3,即车上堆积3个沙袋后车就反向滑行。(2车自反向滑行直到接近x<0一侧第1人所在位置时,车速保持不变,而车的质量为M+3m.若在朝负x方向滑行过程中,第(n-1个沙袋扔到车上后车速为vn-1′,第n个沙袋扔到车上后车速为vn′,现取在图中向左的方向(负x方向为速度vn′、vn-1′的正方向,则由动量守恒定律有车不再向左滑行的条件是vn-1′>0,vn′≤0即

M+3m-nm′>0

⑤

M+3m-(n+1m′≤0

⑥n=8时,车停止滑行,即在x<0一侧第8个沙袋扔到车上后车就停住.故车上最终共有大小沙袋3+8=11个.4．一个质量为M的雪橇静止在水平雪地上，一条质量为的受斯基摩狗站在该雪橇上，狗向雪橇的正后方跳下一步，随后又追赶并向前跳上雪橇；其后狗又反复地跳下、追赶并跳上雪橇，狗与雪橇始终沿一条直线运动。若狗跳离雪橇时雪橇的速为V，则此时狗相对于地面的速度为V+（其中为狗相对于雪橇的速度，V+为代数和，若以雪橇运动的方向为正方向，则V为正值，为负值）。设狗总以速度追赶和跳上雪橇，雪橇与雪地间的摩擦忽略不计，已知的大小为5m/s,的大小为4m/s,M=30kg,=10kg。（1）求狗第一次跳上雪橇后两者的共同速度的大小。（2）求雪橇最终速度的大小和狗最多能跳上雪橇的次数。（供使用担不一定用到的对数值lg2=0.301,lg3=0.477）解：（1）设雪橇运动的方向为正方向。狗第1次跳下雪橇后雪橇的速度为V1，根据动量守恒定律，有狗第1次跳上雪橇时，雪橇与狗的共同速度满足可解得将=－4m/s,=5m/s,M=30kg,m=10kg代入，得=2m/s（2）解法（一）设雪橇运动的方向为正方向。狗第（次跳下雪橇后雪橇的速度为，则狗第（次跳上雪橇后的速度满足这样，狗次跳下雪橇后，雪橇的速度为满足解得狗追不上雪橇的条件是可化为最后可求得代入数据，得狗最多能跳上雪橇3次雪橇最终的速度大小为解法（二）：设雪橇运动的方向为正方向。狗第次跳下雪橇后，雪橇的速度为，狗的速度为；狗第次跳上雪橇后，雪橇和狗的共同速度为，由动量守恒定律可得第一次跳下雪橇：第一次跳上雪橇：第二次跳下雪橇：第二次跳上雪橇：第三次跳下雪橇：第三次跳上雪橇：第四次跳下雪橇：此时雪橇的速度已大于狗追赶的速度，狗将不可能追上雪橇。因此，狗最多能跳上雪橇3次，雪橇最终速度大小为5.626m/s。5、在用铀235作燃料的核反应堆中，铀235核吸收一个动能约为0.025的热中子（慢中子）后，可发生裂变反应，放出能量和2～3个快中子，而快中子不利于铀235的裂变．为了能使裂变反应继续下去，需要将反应中放出的快中子减速。有一种减速的方法是使用石墨（碳12）作减速剂．设中子与碳原子的碰撞是对心弹性碰撞，问一个动能为的快中子需要与静止的碳原子碰撞多少次，才能减速成为0.025的热中子？解：设中子和碳核的质量分别为和，碰撞前中子的速度为，碰撞后中子和碳核的速度分别为和，因为碰撞是弹性碰撞，所以在碰撞前后，动量和机械能均守恒，又因、和沿同一直线，故有（1）（2）解上两式得（3）因代入（3）式得（4）负号表示的方向与方向相反，即与碳核碰撞后中子被反弹．因此，经过一次碰撞后中子的能量为于是（5）经过2，3，…，次碰撞后，中子的能量依次为，，，…，，有……（6）因此（7）已知代入（7）式即得（8）故初能量的快中子经过近54次碰撞后，才成为能量为0.025的热中子。6、一质量为m的小滑块A沿斜坡由静止开始下滑，与一质量为km的静止在水平地面上的小滑块B发生正碰撞，如图所示．设碰撞是弹性的，且一切摩擦均不计．为使二者能且只能发生两次碰撞，则k的值应满足什么条件?7、（20分）一倾角为θ＝45°的斜血固定于地面，斜面顶端离地面的高度h0＝1m，斜面底端有一垂直于斜而的固定挡板。在斜面顶端自由释放一质量m＝0.09kg的小物块（视为质点）。小物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝0.2。当小物块与挡板碰撞后，将以原速返回。重力加速度g＝10m/s2。在小物块与挡板的前4次碰撞过程中，挡板给予小物块的总冲量是多少？解析：解法一：设小物块从高为h处由静止开始沿斜面向下运动，到达斜面底端时速度为v。由功能关系得①以沿斜面向上为动量的正方向。按动量定理，碰撞过程中挡板给小物块的冲量②设碰撞后小物块所能达到的最大高度为h’，则③同理，有④⑤式中，v’为小物块再次到达斜面底端时的速度，I’为再次碰撞过程中挡板给小物块的冲量。由①②③④⑤式得⑥式中⑦由此可知，小物块前4次与挡板碰撞所获得的冲量成等比级数，首项为⑧总冲量为⑨由⑩得⑾代入数据得N·s⑿解法二：设小物块从高为h处由静止开始沿斜面向下运动，小物块受到重力，斜面对它的摩擦力和支持力，小物块向下运动的加速度为a，依牛顿第二定律得①设小物块与挡板碰撞前的速度为v，则②以沿斜面向上为动量的正方向。按动量定理，碰撞过程中挡板给小物块的冲量为③由①②③式得④设小物块碰撞后沿斜面向上运动的加速度大小为a’，依牛顿第二定律有⑤小物块沿斜面向上运动的最大高度为⑥由②⑤⑥式得⑦式中⑧同理，小物块再次与挡板碰撞所获得的冲量⑨由④⑦⑨式得⑩由此可知，小物块前4次与挡板碰撞所获得的冲量成等比级数，首项为⑾总冲量为⑿由⒀得⒁代入数据得N·s⒂8、如图所示，一轻绳吊着粗细均匀的棒，棒下端离地面高Ｈ，上端套着一个细环。棒和环的质量均为m，相互间最大静摩擦力等于滑动摩擦力kmg（k>1）。断开轻绳，棒和环自由下落。假设棒足够长，与地面发生碰撞时，触地时间极短，无动能损失。棒在整个运动过程中始终保持竖直，空气阻力不计。求：（1）棒第一次与地面碰撞弹起上升过程中，环的加速度。（2）从断开轻绳到棒与地面第二次碰撞的瞬间，棒运动的路程Ｓ。（3）从断开轻绳到棒和环都静止，摩擦力对环及棒做的总功Ｗ。（1）设棒第一次上升过程中，环的加速度为a环环受合力F环=kmg－mg由牛顿第二定律F环=ma环由①②得a环=（k-1）g，方向竖直向上（2）设以地面为零势能面，向上为正方向，棒第一次落地的速度大小为v1由机械能守恒解得设棒弹起后的加速度a棒由牛顿第二定律a棒=–（k+1）g棒第一次弹起的最大高度解得棒运动的路程S=H+2H1=（3）解法一棒第一次弹起经过t1时间，与环达到相同速度v’1环的速度v’1=-v1+a环t1棒的速度v’1=v1+a棒t1环的位移棒的位移解得棒环一起下落至地解得同理，环第二次相对棒的位移环相对棒的总位移X=x1+x2+……+xn+……W=kmgx得解法二设环相对棒滑动距离为l根据能量守恒mgH+mg（H+l）=kmgl摩擦力对棒及环做的总功W=-kmgl解得解題思維習題01.像12321這樣左右讀都一樣的數謂為迴文數，有人說四位迴文數都可被11整除，對嗎？為什麼？還有幾位數的迴文數一定可被11整除？02.五位婦人圍圓桌而坐，只知道趙太太在錢太太和孫太太之間、美惠在翠明和李太太之間、錢太太在美惠和愛蓮之間、翠明和翠鳳是姊妹、意文的左邊是03.如下圖，用縫衣服的針做一個間距相近的圓形釘盤，將線按順時鐘方向，隔固定間隔綁在針上，直到綁到第一根針為止，如果還有未綁線的針，則再拿線依相同的規則繼績做下去。m根針，每次隔n格時只需要幾條線？33針1格5針2格6針3格04.用火柴棒拼出n個連成一排的正方形需要多少根？拼成n×n的大正方形需要幾支火柴棒？05.雄蜂從未受精的蜂卵中孵出，所以牠有母親而無父親，雌蜂從受精的蜂卵中孵出，所以牠有雙親，一隻雄蜂往回推n代有多少祖先？其中有多少隻雄蜂？06.如果一個正方形能被分割成n個不重疊的正方形，則n稱為「好數」，好數有那些？07.一條截面是正n邊形的纜繩，想像用雙手握住它的兩端要頭尾黏在一起，但在黏之前，扭轉右手讓多邊形旋轉n分之一，如果重複這種動作t次，可以想像繩端多邊形旋轉全部的n分之t，現在將纜繩兩端多邊形對齊後黏起來，然後在外皮的每個面上塗不同顏色，需要多少種顏色？08.這是個在固定方格紙上的兩人遊戲，第一位玩家在左下角那一格作上記號，接下來玩家將記號畫在前一個記號之上方、右方、或右上方，誰先在畫到右上角那一格就贏，找出致勝之道。09.選擇大小硬幣各三枚，將它們排成一排，使硬幣連接在一起並且大小相間。移動一次必須滑動相連的兩個硬幣到這排上的新位置，不能交換它們。如何使大硬幣全部擺在一邊而小硬幣在另一邊？10.一個m×n的長方形，對角線穿過幾個方格？11.許多建築用磚的長是寬的兩倍，要將它們砌成沒有缺陷線(如下圖)的牆，牆的大小有哪些可能？缺陷線缺陷線12.某個村莊中，每天晚上人們便成對地聚集在一起閒談村裡的事。在每次交談中，每個人都將其所知的事告訴對方，請問最少經幾次交談後，村裡每個人都知道所有消息？13.拿一張紙條依同方式多次對摺後，打開觀察摺痕，有些向內而有些向外。舉例來說，摺三次得到一個摺痕序列：內、內、外、內、內、外、外，如果摺10次會得到什麼序列？14.有三個人，每個人都有兩個職業，其中司機與音樂家交惡，因為他嘲笑音樂家的長髮；音樂家和園丁常和John去釣魚；畫家向心理諮詢師買了一品脫的酒；司機和畫家的姊姊約會；Jack欠園丁5元；Joe用鐵圈打了Jack和畫家；他們之中有一個是理髮師而且任兩人工作不同。他們各是什麼職業？15.25個銅板被排成5個5個一列，一隻蒼蠅停在其中一個上並想跳上每個銅板一次，它只能跳上同行或同列的相鄰銅板，可能嗎？16.隨便取一個數，找出它所有的因數，再找出這些因數的因數個數，比較把它們加起來再平方和把它們立方後再加起來的結果。17.有些數字可以被表示成一串連續的正整數之和，例如9＝2＋3＋4、11＝5＋6、18＝3＋4＋5＋6等等，什麼樣的數字才有這種特性？又表示方法有多少種？18.9個外觀相同的小球中有一枚較輕，其餘的等重，如何用一個天平以最少次比較找出這枚較輕的球？19.拿一條細長的紙打一個簡單的結，輕輕地將它拉緊壓平，為什會成為一個「正」五邊形？20.寫下1、2、3...成一列：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...然後每逢第三個數就刪除：1 2 4 5 7 8 10 ...再將剩下的數依序累加：1 3 7 12 19 27 37 …接下來改為每逢第二個數就刪除，再將剩下的數依序累加，你發現了什麼？21.一個可以用三角形排列的點來表示的數稱之為三角形數(如下左圖)，可以用五邊形排列的點來表示的數稱之為五邊形數(如下右圖)，哪些數是三角形數？哪些是五邊形數？推廣後，哪些是n邊形數？22.取一個三位數，把它倒過來寫，用大的數減去小的，將結果再倒轉一次，然後把它們加起來，例如取123，倒成321，321－123＝198，再將198倒成891，198＋891＝1089，發生什麼事了？為什麼？23.隨便寫下一個0和1組成的數列，假如連續兩個數字相同的話，在它們下面寫個0，否則寫個1，重複這過程到只剩下一數字，這數字是什麼？24.取一組滿足三平方和相等的數，例如42＋52＋62＝22＋32＋82，組合左右兩邊的數字如42、53、68，則422＋532＋682＝242＋352＋862，為什麼？25.觀察22＋32＋62＝72 32＋42＋122＝132 42＋52＋202＝212，有一般的形式嗎？再觀察 32＋42 ＝ 52 102＋112＋122 ＝ 132＋142 212＋222＋232＋242 ＝ 252＋262＋272，有一般的形式嗎？26.兩個玩家輪流喊1、2、3、4、5之中的任一數字，誰先喊到與之前所有數字總和為31就贏了，那麼先喊的人要喊多少最有利？27.一個n層的三角格子中有多少個正三角形？28.編織機上的毛線被纏繞在梭子上，編織時一次使用數個梭子，不過換梭子和把毛線重新捲到空梭子上是無聊又不愉快的工作。如果有c個繞有同色不同重毛線的梭子，而編織時需要同時使用k個梭子，怎樣可以用完所有梭子上的毛線而不需重捲？29.觀察下表，⊕是什麼作用？表的下一列是什麼？一般性是什麼？9⊕5⊕4＝8⊕7⊕389⊕45⊕64＝68⊕87⊕43789⊕945⊕864＝868⊕787⊕9433789⊕1945⊕2864＝2868⊕3787⊕194323789⊕61945⊕42864＝42868⊕23787⊕61943123789⊕561945⊕642864＝242868⊕323787⊕7619431⊕5⊕6＝2⊕3⊕712⊕56⊕64＝24⊕32⊕76123⊕561⊕642＝242⊕323⊕7611237⊕5619⊕6428＝2428⊕3237⊕761912378⊕56194⊕64286＝24286⊕32378⊕76194123789⊕561945⊕642864＝242868⊕323787⊕76194330.唐三藏從1到9中取出兩個不同的數字，將它們的乘積告訴孫悟空，再將它們的和告訴豬八戒；要求他們兩人在不可以看到對方的數的前提下去猜這兩個數各是多少，於是兩人展開一段對話。孫悟空：「猜不到。」豬八戒：「我也猜不到。」孫悟空：「那我知道了！」豬八戒：「那我也知道了」請問兩人拿到的數各是多少？31.希望之島中央是機場，東邊的人是老實人，而西邊都是說謊者。有一天阿丁家到此島觀光，一下飛機就有導遊甲，導遊乙爭著當他們的導遊。阿丁叫導遊甲去問導遊乙住在島的那一邊，導遊甲問完之後回來說「乙說他住在島的西邊」。如果你是阿丁，你會選誰當導遊？32.你在心裡想一個不超過50的整數，並從43，57中選一個數，然後將兩數相乘的末兩位數告訴我，我就能猜透你所想的及所選的數字，你知道其中的玄機嗎？33.用等長的不銹鋼條焊接成正四面體鐵架，1層鐵架需要6條鋼條並有4個焊接點，2層需12條鋼條並有10個焊接點，3層需多少條鋼條並有多少個焊接點？6層呢？n層呢？34.在一個棋盤式方格空地上，一個守護者站在某一格子內時，以此格子為中心的平行、垂直、對角線方向都是被監控的範圍。請問至少需幾個守護者以及如何擺置才有辦法監控整個棋盤？又此時有多少個小方格被兩個以上的守護者監控？35.國王想將n位心愛的王妃安置在n×n的棋盤式後宮裡，為了讓每位王妃有自己的妃宮，要選擇n座妃宮。每位王妃都要求她的妃宮向水平、垂直及對角線方向望去，不想看到其它的妃宮，你能幫國王解決他的煩惱嗎？36.一位海盜將珠寶埋藏在一個小島上。他在島的岸邊找到兩塊明顯的大石頭(標記為A與B點)，並將島上的某三棵大王椰子樹標記為C1、C2、C3。對大王椰子樹C1，他找到兩個點A1、B1，其中A1C1A，B1C1B都是等腰直角三角形(直角都是在C1點)，而且角A1C1B，B1C1A都是鈍角。海盜將A1B與B37.一個條狀的格子由左向右編號為1、2、3、…，剛開始將三個棋子放在任意三個格子上，分別記錄為。兩個人開始輪流移動棋子，移動的方法是：(a)棋子可以移到左邊的空格裡；(b)如果左邊不是空格，棋子可以跳躍左邊的棋子(1or2)到下一個空格裡。誰先把棋子移成(1,2,3)的位置上就獲勝。請討論哪些是先手優勢，哪些又是後手優勢。要找出贏的策略來。38.十二位教授{A,B,…,L}開圓桌會議，名片依序都放在座位前。A教授最先進來但是其他人的順序不一定。A教授心神彷彿，佔了在他的名片順時針下一個座位。其他陪審員逐一進來，如他的位置仍空著，便依照安排入座，但如被佔了，便順時針方向找第一個空位坐下。這十一位進來的次序數量很多，但最後能有多少種不同的坐法？39.如果可以將正整數1,2,3,…,n填在圓周上，使得依順時鐘方向任何兩個相鄰的數之和，都能夠被它們的下一個數整除。求n的所有可能值。40.己知在32個外觀相同的金幣中有兩個是假幣，這兩個假幣的重量與真幣的重量不同(每個真幣的重量都相等；兩個假幣的重量相等)。假若至多只能用天平稱4次(天平只能顯示兩堆金幣中那堆重量較重或兩堆重量相等)。試問：如何將這32個金幣分為重量相等的兩堆？41.某一學生有100張標有數字1至100的卡片，同時也有足夠多個標有"＋"符號與"＝"符號的卡片。試問：他能構造出之等式的最大數目為何？(例如:3+8=11，2+4+6=12都是等式，一個等式中只有一個等號。每個標有號碼的卡片不可被使用超過一次，也不可以上下顛倒使用，更不可以把兩張以上的卡片拼起來當成一個數使用。)42.強盜甲及強盜乙二人要分搶來的100個金幣，他們分贓的方法如下：每次由強盜甲抓一把金幣，並如實地報出金幣的數量，然後由強盜乙決定這一把金幣歸誰所有，這樣繼續下去，直到當中有一人得九次為止，所剩的金幣歸另一人所有(依照這樣的分法也有可能沒人分到九次，金幣就分完了)，強盜甲每次可按照自己的策略抓取若干個金幣。無論強盜乙如何決定，問強盜甲保證最多可以得到幾個金幣？(除寫出答案外，請詳述強盜甲之策略，並證明他無法保證得到更多。)43.將數字1,2,3,…,64填入8×8的方格表中，每個小方格填入一個數且每個小方格填入的數都不相同。規定任意連續的二個數必須填在相鄰的小方格中。試問：依此規定填滿的方格表，其一條對角線上的數值總和最小是多少？(註：所謂相鄰的小方格是指兩個小方格恰有一個共同的邊。)44.某一個法律教授收一學生,正式授課前,他們簽了這樣的合約:「等到學生在第一場官司中贏了,才付學費給教授」,幾年後,學生學成並開始他的律師生涯.但經過一段時間,扔未有顧客光顧.這時教授似乎等得不耐煩了,便催促他的學生立即繳所欠之學費,否則便控告他欠債不還之罪.「如果告到官府去,這場官司無論是我贏了還是輸了,你都要付繳那些學費.」教授胸有成竹地對他的學生說.「假如我贏了這場官司,根據法庭的判決,你當然要付還學費給我.假如我輸了,亦即說,你的第一場官司贏了,根據我和你的合約,你同樣要付交學費給我.」這位高足聽完教授一番偉論後,不慌不忙地說:[我認為無論你贏了或輸了這場官司,我也不用繳學費.因為,若我贏了,根據法庭的判決,我不用繳交學費.若我輸了,根據我們的合約,我輸了第一場官司,那麼,扔然不用繳交學費.]請問,這學生應不應繳交學費?45.某國三個搞革命的哲學家在革命失敗後，於邊境一小鎮上被捕並關在鎮上的監獄裡。該鎮的鎮長是個同情革命的人，而有意放這三個人逃走。一天警長手上持著五個牌子走進監獄對他們說﹕我手上共有五個牌子，其中三個各寫個"放"字。另有'兩個各寫個"殺"邏輯學家字。現在我在每個人背上各掛一個牌子，你們只可看到別人背上的字，但看不到自己背上所掛的字。若誰能正確猜出自己背上的字，誰就可出獄。否則便立即處決!警長說完在人背上掛上一個<放>的牌子，臨走時吩咐獄卒看視著這三個人，不讓他們互相討論。目送警長走後，這三位哲學家看看同伴的牌子，各躊躇了一會，便異口同聲地告訴獄卒是<放>。請問這三位哲學家為什麼如此肯定自己背上的牌子是<放>呢?46.在某地流傳著這樣說法~~東村人所說的都是謊話.不久,傳到東村去了.村民很憤怒,要村長追究謠言的來源.村長是個聰明人,他勸村民不要激動並解釋說:[那謠言也可以解釋說成''東村人所說的都不是謊言''.村民不解.於是村長繼續說:[我是屬於東村的人,如果我也說:''東村人所說的都是謊話''誰是說謊者在一個荒島上，居民住著甲和乙兩個部落。這兩個部落的人在外表上長得一模一樣，因此很難從外型分別它們。但是這兩個部落的人各有不同的特性，就是甲部落的人所說的都是真話，乙部落的人所說的都是假話。一天一個探險者來到該島上，它遇到A、B、C三個土人。這三人只懂得一點點探險者的語言。探險者問土人A道:你是屬於那一部落的人﹖A土人答道:KWCMJTGPTX。探險者轉過頭來問土人B和C﹕A說什麼﹖B土人答道:A說他屬於甲部落。C土人答道:A說他屬於乙部落。請從上面的對答中，想想土人B和C屬於那一部落的人﹖真假俱樂部在真假俱樂部裡只有兩種人，一種回答問題都說真話，另一種永遠都說假話。一天中午，王老大進入俱樂部，只見所有的會員正坐著一圓上午餐，王老大因好奇心驅使，為了要知道有多少屬於講真話的人，有多少屬於講假話的人。於是，便問每一個會員一個問題﹕你屬於那一類人﹖但是每個會員都回答﹕我屬於只講真話那一類。王老大不得要領，再問每一會員﹕你左手邊的人屬於那一類﹖很奇怪每個人答覆是﹕他屬專說假話得的人。王老大回家後人仍然未能想出分辨他們的辦法。不久他靈機一動，便打電話到俱樂部去詢問該會的主席，問中午餐會共有多少個會員參加。主席答道﹕45個。王老大放下電話等候片刻再打電話給俱樂部的秘書說﹕主席說今天午餐會共有45人參加對不對﹖秘書回答﹕主席說謊，今天共有50人進午餐。於是王老大可確定，午餐中有25個會員屬說真話一類，有25人屬專說假話的一類。小朋友你能說出王老大所根據的理由嗎﹖47.將1～9不重複地填入九個空格中，使這三個分數相加＝148.一名農夫帶著一隻狼、一隻羊和一顆菜渡河，河上只有一艘小舟，而且只能戴農夫和另一樣東西，只有農夫會伐船，如果農夫不在，狼會吃羊，羊會吃菜,農夫要如何才能平安的過河，而不會有損失？49.有四人想渡河，一名法官，一名警察，一名犯人，一名平民，當法官單獨和警察在時法官會欺負警單獨和犯人在一起時，警察會欺負犯人，犯人單獨和平民起時，犯人會欺負平民，四個人都會伐船，而船一次可載二人，請問