复变函数第8讲

第八讲留第五章留 §1孤立奇 §2留§1孤立奇 1.定 2.分 3.性 1.1.定义f(z)在z0处不解析,但在z0的某个去心邻 0z d内解析,则称z为f(z)的孤立奇点 1例如f(z)=e ----z=0为孤立奇1f(z)f(z)

z-1

----z1为孤立奇sinz----z=0及z=1/np(n–1–2…)都是它的奇但lim =0,\在z=0不论多么小的去nfi¥ 邻域内,f(z)的奇点存在故z0不的孤立奇点

sinz 分以下将f(z)在孤立奇点的去心邻域内展 级数根据展开式的不同情况，将孤立点进行分类

sin=1-+-+(-sin

z2n (2n+特点：没有负幂次 1+¥

+¥zn-

zn-z

=zn!=

=+1z

+ 特点：只有有限多个负幂次1e

=1+z-

+1z-

++1z-n+特点：有无穷多个负幂次定义设z0是f(z)的一个孤立奇点，在z0的去心邻域内若f(z) 级¥ f(z)=c(z-z 0没有负幂次项，称zz为可去奇点0¥¥f(z)=cn(z-z) „0,m‡ -n=-只有有限多个负幂次项，称zz0为m级极点(iii)f(z)

c(z-z

¥ ¥n=-0有无穷多个负幂次项，称zz为本性奇点0性性z0为f(z的可去奇f(z) cn(z-z0 f(z)=n=0

zfi补充定义：f(z0c0则f(z)在z0解析z0为f(z的m(m1)级极 -f(z)=c(z-z)n( „0,m‡ -f(z)

n=-

g(z)0(z-z0limf(z)=zfi其中:g(z)c-mc-m+1(zz0c-m+2(zz02g(z)

z-

d内是解析函数且g(z0)例如f(z)

z2-3z+(z2+1)(z-z=1为f(z的一个三级极点z=–i为f(z的一级极点z0为f(z的本性奇f(z) 级数有无穷多项负幂次项f(z)=(z-z0)mj(z)其中：j(z00j(z)在z0点解析,m˛N则称zz0为f(z的m级零例如：z0与z1分别是f(z)z(z1)3的一级与三级零点.0定理f(z)(zz)mj(z)0(jz00,jz)在z0点解m˛Nf(n)(z)=0(n=0,1,2,,m-0

f(m)(z)„0事实上，j(z)

c(z-z

=j(z)„ \f(z)

c(z-z)n+m由Taylor级数的系 有f(n)(z)=0,(n=0,1,2,,m-0f(m)(z而 0=m

„0

必要性得证！充分性证略例如z0与z1均为f(z)z(z1)3的零点fz)z1)33zzf()=6(z-1)2+6z(z- )=12(z-1)+6(z-1)+(0)f(1)= f(1)=

)=6„定理

是f(z)的m级极 z0

f

的m级零点证 z0为f(z)的m级极f(z) g(z)g(z)在z解析,且g(z0)0(z-z 0\ =(z-z =(z-z)m (z„zf(z) g(z) h(z)在z解析,h(z0

0,令

则z

的m级零点zfi

f(z) f(z0

f(z)若z0

f(z

的m级零点, (zz)mj(z)j(z)在z解析,且j(z0f 0当zz0时，f(z)0

(z-z)m1j(z)=1(z-1j(z)=1(z-zmy(z)00\z0是f(z的m级极点

解析,且y(z00例求f(z)

(1+z2)(1+epz

的奇点,极 它的级解显然，z–i是(1+z2)的一级零epz1 epz\pz=Ln(-1)=i(p+2kp)=(2k+故奇点为：zk=(2k+ k=(1+epz

z=i(2k

=

z=i(2k=p[cosp(2k+1)+isinp(2k+1)]=-p„ i(2k (k0,–1,–2,)是1epz的一级零k i(2k 练习 下列函数的孤立奇点，奇点类型如果是极点 它的级数f(z)(3)f(z)

z2(ez-1)z(z2+

f(z)=ln(1+zf(z)=sinf(z)

z3-z2-z+

f(z)

z-sin(z-1)2(z-f(z)=ez-

f(z)

(sinp§2数 2.留数定 f(z)dz

f(z)在c所围成的区域内解析 未必为0，c所围成的区域内含有f(z)的奇点设f(z)

c(z-z)n,0<z- < n=-(z0是f(z的孤立奇点 c包含z0在其内部对上式两边沿任一正向简单闭曲线c逐项积分得f(z)dz=c-1 = cz-z 定义设z0为f(z的孤立奇点f(zz0的去心邻域内的级数中负幂次项(z-z0)–1的系数c–1称为f(z在z0的留数，记Res[f(z),z0.由留数定义,Res[f(z),z0]= 2.2.定理设c是一条正向简单闭曲线f(z)在c只有有限个孤立奇点z1z2,zn,除此以外,f(z)c内及c上解析,nf(z)dz=2piRes[f(z),zk nk证明用互不包含,互不相交的正向简单闭曲线(k12,n)将c内孤立奇点zk围绕起来由复合闭路定理得 cf(z)dz= f(z)dz+ nf(z)dz=n

f(z)dz++n

fn

k

f(z)dzDcDcz1=2piRes[f(z),zkkn故f(z)dz2piRes[f(zzknk求f(z沿闭曲线c的积分，转化为求在c的留数的计算规求Res[f(z),z0]f(z在z0的去心邻域内展开成对求留数更为有利以下就三类孤立奇点进行讨论n(i)若zz0为可去奇点c-10Resf(zz0n展(ii)若z=z0为本性奇点 f(z)Res[f(z),z0]=c-

n=-

cn(z-z0(iii)若zz0为极点时，求Res[f(z),z0有以下几条规则规则 若z0是f(z)的一级极点，Res[f(z),z0]=lim(z-z0)f(z) zfi规则

若z0f(z)的m级极点， dm- mRes[f(z),z0]m

(m-

zfiz0

m-1(z-z0

f(z)

规则 设f(z)=P(z)，P(z),Q(z)在z处解析Q(z) P(z00,Q(z00,Q(z00， z是f(z)的一级极点,且Res[f(z),z]=P(z0 Q(z0证明规则II：由条-m-f(z)=c-m(z-z0

2-++c-2(z-z0-

1-+c-1(z-z0-+c0+c1(z-z0)+, (c-m„以zz0m乘上式两(z-z)mf(z)=

+ (z-z)++ (z-z)m- +c(z-z)m 两边求m1阶导数dm-dzm-

{(z-z0)m

f(z)}=(m-1)!c-

+m!(z-

)+

dm-

(z-z)mf(z)=(m-

,移项得(5)式zfi

0

m-1 证明规则Q(z0

0及

)0,z0

Q(z)

的一级极点 因此 = j(z) j(z)

)„Q(z) z-f(z)

z-

g(z) g(z)j(z)P(z)在z0解析且g(z0Res[f(z),z]=lim(z-z)f(z)= P( zfi

zfi

Q(z)-Q(z00=P(z0 Q(z)„0

z-Q(z例 计

5z-2dz.z(z-1)2解fz

5z2 zzz1)2

2的内部有一个一z0和一个二级极点z由规Res[f(z),0]=limzf(z)=lim5z-2=-zfi由规Res[f(z),1]=

zfi0(z-d{(z-

5z-2zfi1(2-1)! z(z-=lim(5z-2)¢=lim2=zfi zfi \ f(z)dz=2piRes[f(z),0]+2piRes[f(z),1]=例 计

c-

=fz)有4个一级极–1,–i都在圆c内由规则

P(z)= =z\z4-z

Q(z) 4z3 4z2=2pi{Res[f(z),-1]+Res[f+Res[f(z),i]+Res[f(z),-4

-1

1= 例 计

z

解f(z)cosz有一个三级极点z由规Res[f(z),0]=

2d[zd

f(z)]zfi

(3-1)!dz=1lim(cosz)¢=-2zfi \

coszdz=2piRes[f(z),0]=2pi(-1)=-piz23z2z例 计算=ntanp

(n˛N解tanpz=sinpz ,令cospz=cosp解得pz=kp+p即 z=k+1(k=0,–1, (cosp =-psinpz „ z=k+ z=k+ zk1为一级极,由规则III得Restanpz,k+1=sinpz

=- (k=0,

(cospz)¢ tanpzdz=2pi

z=k+p Restanpz,k+1=2pi-2np

z

2k+12

2 f(z)=P(z)=z-sinQ(z) P(0)

=0(0)

=0,P)=cos

=1„0z0是P(z)的三级零点,f(z的三级极点由规则I,Resz-sinz,0= limz-sinz¢ 1

(3-1)!zfi0

=-若将f(z)作Laurent级数展z-sinz=1[z-(z-