人教A版数学选修21培优教程讲义第一章常用逻辑术语12121

1．2.1充分条件与必要条件充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系peq\o(□,\s\up3(01))⇒qpeq\o(□,\s\up3(02))eq\o(\s\up0(⇒),\s\do0(/))q条件关系p是q的eq\o(□,\s\up3(03))充分条件peq\o(□,\s\up3(05))不是q的充分条件q是p的eq\o(□,\s\up3(04))必要条件qeq\o(□,\s\up3(06))不是p的必要条件1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若p是q的必要条件，则q是p的充分条件．()(2)若p是q的充分条件，则綈p是綈q的充分条件．()(3)“x＝1”是“x2＝x”答案(1)√(2)×(3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)(教材改编P10T4(1))“x＝3”是“x2＝9”的________条件(填“充分”或“必要(2)若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的________条件．(3)“a>0，b>0”是“ab>0”(4)“若p，则q”的逆命题为真，则p是q的________条件．答案(1)充分(2)充分(3)充分(4)必要探究1充分条件与必要条件的判断例1在下列各题中，分别判断p是否为q的充分条件或必要条件，并说明理由．(1)p：x2＝2x＋1，q：x＝eq\r(2x＋1)；(2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；(3)p：a<b，q：eq\f(a,b)<1；(4)p：ab≠0，q：直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交．[解](1)∵x2＝2x＋1eq\o(\s\up0(⇒),\s\do0(/))x＝eq\r(2x＋1)，x＝eq\r(2x＋1)⇒x2＝2x＋1，∴p是q的必要条件，且p不是q的充分条件．(2)∵a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0，a＋b＝0eq\o(\s\up0(⇒),\s\do0(/))a2＋b2＝0，∴p是q的充分条件，且p不是q的必要条件．(3)由于a<b，当b<0时，eq\f(a,b)>1；当b>0时，eq\f(a,b)<1，故若a<b，不一定有eq\f(a,b)<1；当a>0，b>0，eq\f(a,b)<1时，可以推出a<b；当a<0，b<0，eq\f(a,b)<1时，可以推出a>b.所以p不是q的充分条件，且p不是q的必要条件．(4)由ab≠0，即a≠0且b≠0，此时直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交；又当ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交时，a≠0且b≠0，即ab≠0，所以p是q的充分条件，且p是q的必要条件．拓展提升充分条件、必要条件的判定方法(1)定义法：直接判断p⇒q和q⇒p是否成立，然后得结论．(2)等价法：利用命题的等价形式：p⇒q⇔綈q⇒綈p，q⇒p⇔綈p⇒綈q，p⇔q与綈p⇔綈q的等价关系．对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3)集合法：对于涉及取值范围的判断题，可从集合的角度研究，若两个集合具有包含关系，则小范围⇒大范围，大范围eq\o(\s\up0(⇒),\s\do0(/))小范围．(4)传递法：由推式的传递性：p1⇒p2⇒p3⇒…⇒pn，则p1⇒pn.【跟踪训练1】在下列各题中，分别判断p是否为q的充分条件或必要条件，并说明理由．(1)p：|a|≥2，a∈R，q：方程x2＋ax＋a＋3＝0有实根；(2)p：sinα>sinβ，q：α>β；(3)p：四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．解(1)当|a|≥2时，如a＝3，则方程x2＋3x＋6＝0无实根，而方程x2＋ax＋a＋3＝0有实根，则必有a≤－2或a≥6，可推出|a|≥2，故p不是q的充分条件，p是q的必要条件．(2)当α＝eq\f(π,2)，β＝eq\f(3π,4)时，sinα＝1，sinβ＝eq\f(\r(2),2)，此时sinα>sinβ，而α<β，故充分性不成立；而当α＝eq\f(3π,4)，β＝eq\f(π,2)时，sinα＝eq\f(\r(2),2)，sinβ＝1，此时α>β，而sinα<sinβ，故必要性也不成立．故p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．(3)四边形的对角线相等eq\o(\s\up0(⇒),\s\do0(/))四边形是矩形；四边形是矩形⇒四边形的对角线相等，故p是q的充分条件，p不是q的必要条件．探究2利用充分条件与必要条件求参数的取值范围例2已知集合A＝{y|y＝x2－3x＋1，x∈R}，B＝{x|x＋2m≥0}；命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且綈p是綈q的必要条件，求实数m[解]由已知可得A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＝\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))))2－\f(5,4)，x∈R))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥－\f(5,4)))))，B＝{x|x≥－2m}，则∁RA＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,4)))，∁RB＝(－∞，－2m)，因为綈p是綈q的必要条件，所以∁RB⊆∁RA，所以－2m≤－eq\f(5,4)，解得m≥eq\f(5,8)，所以m的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,8)，＋∞)).[解法探究]此题有没有其他解法？解由已知可得A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＝\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))))2－\f(5,4)，x∈R))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥－\f(5,4)))))，B＝{x|x≥－2m因为綈p是綈q的必要条件，所以p是q的充分条件，∴A⊆B，∴－2m≤－eq\f(5,4)，∴m≥eq\f(5,8)，即m的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,8)，＋∞)).[条件探究]如果把例2中“必要”改为“充分”，其他条件不变，如何解答？解由已知得A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥－\f(5,4)))))，B＝{x|x≥－2m}．因为綈p是綈q的充分条件，所以p是q的必要条件，所以B⊆A，所以－2m≥－eq\f(5,4)，解得m≤eq\f(5,8)，即m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,8))).拓展提升利用充分、必要条件求参数的思路根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，先将p，q等价转化，再根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．【跟踪训练2】已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若M是N的充分条件，求a的取值范围．解由(x－a)2<1，得a－1<x<a＋1，由x2－5x－24<0，得－3<x<8.∵M是N的充分条件，∴M⊆N.于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1≥－3，,a＋1≤8，))从而可得－2≤a≤7.故a的取值范围为[－2,7]．探究3充分条件与必要条件的实际应用例3在下面电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件？[解]如题图(1)，闭合开关A或闭合开关C，都可使灯泡B亮．反之，若要灯泡B亮，不一定非要闭合开关A.因此，闭合开关A是灯泡B亮的充分不必要条件；如题图(2)，闭合开关A而不闭合开关C，灯泡B不亮．反之，若要灯泡B亮，开关A必须闭合，说明闭合开关A是灯泡B亮的必要不充分条件；如题图(3)，闭合开关A但不闭合开关C，灯泡B不亮．反之，灯泡B亮也不必闭合开关A，只要闭合开关C即可，说明闭合开关A是灯泡B亮的既不充分也不必要条件．拓展提升充分、必要条件实际应用的解题策略将问题转化为数学模型，分清条件与结论为解题关键．(1)p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立，但是如果没有p，q也可能成立”．(2)q是p的必要条件是指“要使p成立必须要有q成立”，或者说“若q不成立，则p一定不成立”；但即使有q成立，p未必会成立．【跟踪训练3】《三国演义》中曹操败走华容道是这样描写的：曹操投南郡，除华容道外，还有一条便于通行的大路，前者路险，但近50余里；后者路平，却远50余里，曹操令人上山观察敌情虚实，回报说：“小路山边有数处起烟，大路并无动静．”曹操说：“诸葛亮多谋，故使人于山僻烧烟，使我军不敢从这条山路上走，他却伏兵于大路等着，吾已料定，偏不中他计．”结果致使曹操败走华容道，请用数学知识解释这种现象．解“诸葛亮多谋”是“虚则实之，实则虚之”的充分条件，“虚则实之，实则虚之”是“小路山边有数处起烟，而大路并无动静(有伏兵却没动静)”的充分条件，因为诸葛亮多谋是事实，所以曹操认为诸葛亮必然运用兵法“虚则实之，实则虚之”，曹操不以调查事实为依据，而诸葛亮抓住了曹操的这一心理，所以致使曹操败走华容道．1.充分与必要条件的判断方法判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”的真假.若p⇒q，qeq\o(\s\up0(⇒),\s\do0(/))p，则p是q的充分不必要条件；若peq\o(\s\up0(⇒),\s\do0(/))q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q，q⇒p，则p是q的充分条件，也是q的必要条件(也称充要条件)；若peq\o(\s\up0(⇒),\s\do0(/))q，qeq\o(\s\up0(⇒),\s\do0(/))p，则p是q的既不充分也不必要条件.2.等价转化法的应用一般地，根据命题间的等价关系，若“p⇒q且peq\o(\s\up0(⇐),\s\do0(/))q”等价于“綈p⇐綈q且綈peq\o(\s\up0(⇒),\s\do0(/))綈q”，即“p是q的充分不必要条件”等价于“綈p是綈q的必要而不充分条件”.3.集合观点的应用若p，q对应的数集分别为P，Q，当P⊆Q时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，这可以总结为“小范围推出大范围”，简记为：“小充分，大必要”.1．已知命题“若p，则q”，假设其逆命题为真，则p是q的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析逆命题“若q，则p”为真命题，则p是q的必要条件．2．设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是()A．x>1B．x<1C．x>3D．x<3答案A解析x>2⇒x>1，但x>1eq\o(\s\up0(⇒),\s\do0(/))x>2.3．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是()A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件C．“ac<bc”是“a<b”的充分条件D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件答案B解析若a＝b，则ac＝bc；若ac＝bc，则a不一定等于b，故“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件．4．“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的________条件．(填“充分”或“必要”)答案必要解析a，b，c成等比数列⇒b2＝ac.5．下列说法是否正确？请说明理由．(1)x＝1是(