圆周角和圆心角的关系圆周角定理的推论

九年级数学(下)第三章《圆》§3.3圆周角和圆心角的关系(2)圆周角定理的推论特征：①角的顶点在圆上.1、圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.A一、温故知新②角的两边都与圆相交.

温故知新2、圆心角与所对的弧的关系3、圆周角与所对的弧的关系4、同弧所对的圆心角与圆周角的关系一、温故知新

温故知新圆周角定理圆周角定理：

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.●OABC●OABC●OABC即∠ABC=∠AOC.

温故知新1、100º的弧所对的圆心角等于____，所对的圆周角等于_______。2、一弦分圆周角成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，则这弦所对的圆周角度数为____。3、如图，在⊙O中，∠BAC=32º，则∠BOC=

；4、如图，⊙O中，∠ACB=130º，则

∠AOB=____5、下列命题中是真命题的是（）（A）顶点在圆周上的角叫做圆周角。（B）60º的圆周角所对的弧的度数是30º（C）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。（D）120º的弧所对的圆周角是60º课前测验AOCBBAOC100º50º36º或144º64º100ºD●OBACDE问题讨论问题1：如图1,在⊙O中,∠ABC,∠ADC,∠AEC的大小有什么关系?为什么?∠ABC=∠ADC=∠AEC

若已知∠BEA与∠ADC，你又会得到什么结论？为什么？

连接BE，若AB=AC,则∠BEA与∠ADC的大小又有什么关系？⌒⌒

想一想问题2：如图1，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点，你能确定∠BAC的度数吗?BAOC图1问题3：如图2，圆周角∠BAC=90º，弦BC经过圆心O吗？为什么？∠BAC=90º●OBCA图2问题讨论

想一想问题解答1、圆周角定理的推论1：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。2、圆周角定理的推论2：用于找相等的角用于找相等的弧用于判断某个圆周角是否是直角用于判断某条线是否过圆心半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

想一想例1:如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC＝AB.BD与CD的大小有什么关系？为什么？AOCBD

解：BD＝CD.理由是：连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.

又∵AC＝AB，∴BD＝CD.E证明：连结AD.∵AB是圆的直径，点D在圆上，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，⌒⌒∴BD=DE（同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等）ABCDE例2.已知：如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,求证：BD=DE⌒⌒练习：如图，P是△ABC的外接圆上的一点,∠APC=∠CPB=60°,试判断△ABC的形状.A··PPBCO∴∠ABC=∠APC=60°(同弧所对的圆周角相等）∴∠BAC=∠CPB=60°。∴△ABC是等边三角形。同理，∵∠BAC和∠CPB都是所对的圆周角，BC⌒证明：∵∠ABC和∠APC

都是所对的圆周角。AC⌒例题精解例2、如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径。求证：AB·AC=AE·ADAOBCDE分析：要证AB·AC=AE·AD△ADC∽△ABE题后思考：

1、证明题的思路寻找方法；

2、等积式的证明方法；

3、辅助线的思考方法。练习:如图,圆O中,AB是直径,半径CO⊥

AB,D是CO的中点,DE//AB,求证:EC=2EA.⌒⌒60

30

90

90

2121

＝＝＝＝＝＝∥又＝＝＝＝的中点是证明：连接°Ð\°ÐÐ\ÐаÐÐ\°ÐÐ\^\EOCEOADEOEOADEOCOBEDOABDECOBAOCABCOOEOCODCODOEQQQABEODC2EAEC＝\⌒⌒做一做

船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁.如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”.当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁.(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？CABEPOα(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？1如图，以⊙O的半径OA为直径作⊙O1,⊙O的弦AD交⊙O1于C,则OC与AD的位置关系是_______。2在上题中,若AC=2cm,则AD=__cm。ABCDOO1OC与BD的位置关系是________。OC∥BDOC⊥AD4小结与作业1、本节课我们学习了哪些知识？2、圆周角定理及其推论的用途你都知道了吗？3、证明题思路的寻找方法如何？4、证明等积式的一般思路你掌握了吗？

课堂小结ABCDOE

如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，那么你能得到什么结论？结论：（1）AE=BE，AC=BC，AD=BD（2）AC=BC，∠CAB=∠ABC=∠D，∠ACE=∠BCE=∠DAB（3）BC2=AC2=CE·CD，AD2=DE·DCBE2=AE2=DE·CE⌒⌒⌒⌒

讨论与思考作业课本P108页随堂练习第2、3题课本109页习题3.5第1题学习评价手册（05年深圳）AB是⊙O的直径，点E是圆上一