刚体的平动、定轴转动与平面运动

第6章

刚体的平动、定轴转动与平面运动※

刚体的平行移动※

转动方程、角速度与角加速度

※

转动刚体内各点的速度和加速度※

求平面图形内各点速度的基点法、速度投影定理及速度瞬心※

刚体平面运动分解为平动和转动※用基点法求平面图形内各点的加速度※结论与讨论§6.1刚体的平行移动平移的实例§6.1刚体的平行移动平移的实例§6.1刚体的平行移动平移的实例特征：如果在物体内任取一直线，在运动过程中这条直线始终与它的最初位置平行，这种运动称为平行移动，简称平动或移动。曲线平动：如果刚体上各点的运动轨迹为曲线§6.1刚体的平行移动直线平动：如果刚体上各点的运动轨迹为直线★

刚体平动时，其上各点的轨迹的形状完全一样。★

刚体平动时，其上各点的轨迹的形状相同；在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。刚体的平动可归结为研究刚体内任一点的运动。此图中的均为零例题1已知：OA＝l；＝

t求：T型杆的速度和加速度OABC解：T型杆作平动，建立图示坐标系，取M点为研究xM例题2已知：O1A＝O2B＝l；O1A杆的角速度

和角加速度。求：C点的运动轨迹、速度和加速度。解：板运动过程中，其上任意直线始终平行于它的初始位置。因此，板作平移。1、运动轨迹C点的运动轨迹与A、B两点的运动轨迹形状相同，即以O点为圆心l为半径的圆弧线。2、速度vC=vA=

vB=l3、加速度例题2已知：O1A＝O1B＝l；O1A杆的角速度

和角加速度。求：C点的运动轨迹、速度和加速度。定轴转动实例特征：如刚体在运动时，其上有两点保持不动。§6.2转动方程、角速度与角加速度特征：如刚体在运动时，其上有两点保持不动。

＝f(t)刚体转动的运动方程刚体转动的角速度刚体转动的角加速度讨论〔1〕匀速转动=常量＝0+t〔2〕匀变速转动=常量n为转速，r/min§6.3转动刚体内各点的速度和加速度M0MORS＝RvR——转动半径

★转动刚体内任一点的速度的大小，等于刚体的角速度与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而指向转动的一方。速度定轴转动刚体内各点速度分布情况实例MOaanav加速度结论〔1〕每一瞬时，刚体内所有各点的速度和加速度的大小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。〔2〕每一瞬时，刚体内所有各点的加速度与半径间的夹角都有相同的值。思考题

试计算杆端A点和C点的速度、加速度，并画出其方向。OABCaab例题3已知：h;vo求：OA杆的转动方程、角速度和角加速度解：建立图示坐标系xv0OAhxy例题4已知：r1=150mm，求：AB杆的角速度和角加速度；B点的加速度。r2=200mm,R=450mm,

θ＝60o，A点的全加速度aA=1.2m/s2。r1r2ABORaAθ解：由于A,B两点到固定点O的距离保持不变，因此，AB杆的运动为绕O轴的定轴转动。将A点的加速度在切向和法向投影aAnaAB点的加速度B点的全加速度r1r2ABORaAθaBnaBθaAnaA例题5设两个齿轮各绕定轴O1和O2转动。其啮合圆半径各为R1和R2,齿数各为z1和z2,角速度各为ω1和ω2,A和B分别为两个齿轮的啮合圆的接触点,两个齿轮之间没有相对滑动。R1ω1R2ω2vAvBABω1R1R2ω2vAvBABO1O2O1O2所以vA=vB，并且方向相同

vA=ω1R1；vB=ω2R2由于齿轮在啮合圆上的齿距相等，它们的齿数与半径成正比，那么主动轮和从动轮的两个角速度的比值称为传动比所以得到计算传动比的根本公式α1R1＝α2R2求两个齿轮的传动比。已知：OA=O1B=l=2r,AB=OO1

,A点的加速度水平且为aA，齿轮B与AB焊接在一起。求：此时轮O1角速度和角加速度例题6OAaACBO1O1C1解：将A点的加速度分解例题7已知:;

v;r求：卷盘的角加速度Orv解：由定轴转动公式对此式求导：半径的表达式：

几个有意义的问题

几个有意义的问题

几个有意义的问题

几个有意义的问题刚体的平面运动——刚体上处于同一平面内各点到某一固定平面的距离保持不变。§6-4

刚体平面运动的概述和运动分解刚体的平面运动——刚体上处于同一平面内各点到某一固定平面的距离保持不变。§6-4

刚体平面运动的概述和运动分解★刚体平面运动可简化为平面图形在其自身平面内的运动§6-4

刚体平面运动的概述和运动分解A1A2SAzxyA1A2

——平动A刚体平面图形S刚体的平面运动——刚体在运动过程中，其上任一点到某一固定平面的距离保持不变。平面图形上的任意直线－这一直线的运动可以代表平面图形的运动，也就是刚体的平面运动。确定直线AB或平面图形在Oxy参考系中的位置，需要3个独立变量(xA,yA,)。其中xA,yA确定点A在平面内的位置；确定直线AB在平面内的位置。

3个独立变量随时间变化的函数，即为刚体平面运动方程：★

刚体平面运动分解为平移和转动★

基点、平移系与平面图形的转动★

刚体平面运动分解为平移和转动★

基点、平移系与平面图形的转动★

刚体平面运动分解为平移和转动★

基点、平移系与平面图形的转动★

刚体平面运动分解为平移和转动★

基点、平移系与平面图形的转动★

刚体平面运动分解为平移和转动★

基点、平移系与平面图形的转动

刚体平面运动分解为平移和转动基点、平移系与平面图形的转动刚体平面运动分解为平移和转动的根本方法

选择基点－任意选择；

在基点上建立平移系(特殊的动系)－在刚体平面运动的过程中，平移系只发生平移;刚体平面运动(绝对运动)可以分解为跟随平移系的平移(牵连运动)，以及平面图形相对于平移系的转动(相对运动)。

刚体平面运动分解为平移和转动

平移和转动与基点之间的关系

平移的轨迹、速度与加速度都与基点的位置有关。

刚体平面运动分解为平移和转动

平移和转动与基点之间的关系

转动角速度与基点的位置无关称为平面图形的角速度、角加速度。y´x´ABvAvAvBAvBvAvBAyxOvAvAS§6.5求平面图形内各点速度的基点法、速度投影定理及速度瞬心vB=vA+vBAvBA＝．AB平面图形上任意一点的速度，等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。一.求平面图形内各点速度的基点法其投影式为上式中6个量中，应4个，此两投影式只能求解2个未知量。vA30°AB例题8已知：

AB=l=2m;

vA=2m/s求：（1）杆端B的速度vB（2）AB杆角速度AB解：取A点为基点vBvAvBAABvA30°AB解：取B点为基点ABvBvAB例题9已知：

AB=l=200mm;

vA=200mm/s求：（1）杆端B的速度vB（2）AB杆角速度ABvB例题10

已知：曲柄－滑块机构中，曲柄OA＝r，以等角速求：1、滑块的速度vB；

2、连杆AB的角速度AB

。度

0绕O轴转动，连杆AB＝l。在图示情形下连杆与曲柄垂直。解：取A点为基点OABvAvAvBAvB例题11已知：曲柄－滑块机构中，曲柄OA＝r，以等角速度求：连杆AB的中点M的速度vM

。

0绕O轴转动，连杆AB＝l。在图示情形下连杆与曲柄垂直。OABvAMvAvMAvM解：取A点为基点例题12已知：OA=OO1=r，BC=2r，∠OAB=45°求：连杆此瞬时C点的速度vC

。O1O0BCA解：(1)机构的运动分析vAvBvBAvAABC(2)取A为基点，研究B点O1O0BCAvAvBABC(3)再取B为基点，研究C点vCvBvCBBAABvAvAvBvBA速度投影法将上式向AB轴投影速度投影定理：平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。vA30°ABvB解：由速度投影定理例题13已知：

AB=l=200mm;

vA=200mm/s求：杆端B的速度vB

解：由速度投影定理例题14

已知：曲柄－滑块机构中，曲柄OA＝r，以等角速求：1、滑块的速度vB；度

0绕O轴转动，连杆AB＝l。在图示情形下连杆与曲柄垂直。OABvAvB§6-5求平面图形内各点速度的瞬心法◆

瞬时速度中心的概念◆

应用瞬时速度中心确定刚体平面运动的速度——速度瞬心法◆几种特殊情形下瞬时速度中心位置确实定平面图形S，基点A，基点速度vA,平面图形角速度

。

过A点作vA的垂直线AN，AN上各点的速度由两局部组成：跟随基点平移的速度vA－牵连速度，各点相同；相对于平移系的速度vMA－相对速度，自A点起线性分布。ACvAvAvCANvMAM

因此C

点的绝对速度vC＝0。C

点称为瞬时速度中心，简称为速度瞬心。令ACvAvAvCANvMAM速度瞬心的特点

1、瞬时性－不同的瞬时，有不同的速度瞬心；

2、唯一性－某一瞬时只有一个速度瞬心；

3、瞬时转动特性－平面图形在某一瞬时的运动都可以视为绕这一瞬时的速度瞬心作瞬时转动.CAvABvBvDD

刚体平面运动时，平面图形上各点的速度分布情况，与图形绕定轴转动时各点的速分布情况相类似，可看成为绕速度瞬心的瞬时转动。S几种特殊情形下瞬时速度中心位置确实定AvABvB90o90oC第二种情形平面图形上两点的速度矢量的方向，这两点的速度矢量方向互不平行。第一种情形vO平面图形沿一固定外表作无滑动的滚动，那么图形与固定面的接触点就是其速度瞬心。CSAB第三种情形平面图形上两点的速度矢量的大小与方向，而且二矢量互相平行，并且都垂直于两点的连线。vAvB90o90oSAB平面图形上两点的速度矢量的大小与方向，而且二矢量互相平行、方向相反，但二者都垂直于两点的连线。vAvB90o90oCC第四种情形平面图形上两点的速度矢量的大小与方向相同，而且二矢量互相平行、方向相同，但二者都不垂直于两点的连线。或两者大小相等且垂直于二点的连线。SAB90o90oSABvAvB90o90o瞬时平动该瞬时，图形上各点的速度分布如同图形作平动的情形一样。※但加速度不同。vBvAvA30°AB解：由其速度分布可知其瞬心为C点vBCAB例题15已知：

AB=l=200mm;

vA=200mm/s求：（1）杆端B的速度vB（2）AB杆角速度ABODCBAvO例题16

已知：半径为R的圆轮在直线轨道上作纯滚动。轮心速度为vO。求：轮缘上A、B、C、D四点的速度。由vO＝R

得到解：圆轮与地面接触点A，由于没有相对滑动，因而在这一瞬时，A点的速度vA＝0。A点即为速度瞬心。假设这一瞬时的角速度为

。解：由其速度分布可知其瞬心为C点CvMOABvAvBMAB例题17

已知：曲柄－滑块机构中，曲柄OA＝r，以等角速求：连杆AB的的角速度及其中点M的速度vM

。度

0绕O轴转动，连杆AB＝l。在图示情形下连杆与曲柄垂直。例题18已知：OA=OO1=r，BC=2r，∠OAB=45°求：连杆此瞬时C点的速度vC

。O1O0BCAvAvBABCvC解：由其速度分布可知ABC的瞬心为O1点O1B例题19

已知：半径为R的圆轮在直线轨道上作纯滚动。求：圆轮的角速度。O0ABCrabRvAvBvCEC解：对机构进行运动分析AB杆作瞬时平动由速度投影定理得圆轮瞬心在E点OBCAωPω确定瞬心ACEBDFHωωPACEDB(a)(b)(c)图(b)、(c)两机构中CD杆的速度瞬心分别为()。(A)D、C(B)D、P(C)H、P(D)H、CDPvAvC

齿轮C固定在齿条B上运动，并带动活动齿条D。已知：ω＝2rad/s，r＝1m，求:杆AC

的角速度及齿条DE的速度。例题20解:由A、C点的速度确定P为AC杆的速度瞬心。30°OACBDEωr4r由于轮C的速度瞬心在B点，那么有OABDEωrR求：D点的速度。

曲柄OA以匀角速度ω绕O轴转动，鼓轮轴沿水平直线轨道作纯滚。已知：OA=AB＝2r，R=r，=30°例题21vBvAC解：在图示系统中，OA杆作定轴转动，AB杆和鼓轮作平面运动，两者的速度瞬心分别为C和E点。vDAaASBaAaBaBA§6-6求平面图形内各点的加速度平面图形上任意一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动切向加速度和法向加速度的矢量和。ORaOC例题22

已知：半径为R的圆轮在直线轨道上作纯滚动。求：圆轮瞬心点的加速度。ORaOvOCaO解：圆轮瞬心在C点取圆心O为基点例题23

已知：A点的速度为vA,加速度aA，轮A作纯滚，杆AB=l求：（1）AB杆的角速度和角加速度；（2）B端的速度和加速度。vARB45°AvBCAB解：由A、B速度的分布可知AB杆瞬心在C点aAvARB45°AAB(2)取A点为基点，进行加速度分析aBaA在B