《指数函数和对数函数》单元检测试卷及答案

《指数函数和对数函数》单元检测试卷一、单选题1．已知函数，则的图象大致为（）A．B．C．D．2．已知函数，则（）A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数3．函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是（）A．B．C．D．4．已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（）A． B．C． D．5．已知集合，，则（）A． B． C． D．6．设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则（）A． B． C． D．7．如果方程的两根为、，则的值为（）A． B． C． D．8．若，则（）A． B． C． D．9．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（）A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天二、多选题10．已知函数，，，则下列四个结论中正确的是（）A．的图象可由的图象平移得到B．函数的图象关于直线对称C．函数的图象关于点对称D．不等式的解集是11．设是定义在上的偶函数，且它在上单调递增，若，，，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数“为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是A．是偶函数 B．是奇函数C．在上是增函数 D．的值域是三、填空题13．函数在的零点个数为________．14．=______．15．函数且的图象恒过定点A，若点A在直线上（其中m，n＞0），则的最小值等于__________.16．设是定义在R且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是____________四、解答题17．已知函数.（1）当时，求；（2）求解关于的不等式；（3）若恒成立，求实数的取值范围.18．已知函数（且）．（1）求的解析式，再判断的奇偶性；（2）解关于的方程．19．已知函数．（1）作出函数的图象；（2）若，且，求证：．20．已知函数．（1）若的定义域为（是自然对数的底数），求函数的最大值和最小值；（2）求函数的零点个数．21．如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．22．已知函数，a常数.（1）若，求证为奇函数，并指出的单调区间；（2）若对于，不等式恒成立，求实数m的取值范围。答案一、单选题1．已知函数，则的图象大致为（）A．B．C．D．答：B分析：因为，所以A错；因为，所以C错；因为，所以D错，故选：B．2．已知函数，则（）A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数答：A分析：函数的定义域为，且即函数是奇函数，又在都是单调递增函数，故函数在R上是增函数．故选A.3．函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是（）A．B．C．D．答：D分析：当时，为增函数，当时，且，故A,B不符合.当时，为减函数，当时，，故C不符合，D符合.故选：D.4．已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（）A． B．C． D．答：D分析：注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根即可，令，即与的图象有个不同交点.因为，当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；当时，如图3，当与相切时，联立方程得，令得，解得（负值舍去），所以.综上，的取值范围为.故选：D.5．已知集合，，则（）A． B． C． D．答：D分析：由得所以,所以；所以．故选：D．6．设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则（）A． B． C． D．答：C分析：设是函数的图像上任意一点，它关于直线对称为（），由已知（）在函数的图像上，∴，解得，即，∴，解得，故选C．7．如果方程的两根为、，则的值为（）A． B． C． D．答：C分析：由题意、是关于的方程的两根，∴，∴，故选：C．8．若，则（）A． B． C． D．答：B分析：设，则为增函数，因为所以，所以，所以.，当时，，此时，有当时，，此时，有，所以C、D错误.故选：B.9．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（）A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天答：B分析：因为，，，所以，所以，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，则，所以，所以，所以天.故选：B.二、多选题10．已知函数，，，则下列四个结论中正确的是（）A．的图象可由的图象平移得到B．函数的图象关于直线对称C．函数的图象关于点对称D．不等式的解集是答：ABC分析：对于A，因为，所以的图象可由的图象平移得到，所以A正确；对于B，设，则，，因为，所以的图象关于直线对称，B正确；对于C，设，则，，因为，所以的图象关于点对称，所以C正确；对于D，由，得，化为，，若，则；若，则，所以D错误．故选：ABC11．设是定义在上的偶函数，且它在上单调递增，若，，，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．答：AC分析：因为，，所以．因为在上单调递增，所以．因为是偶函数，所以，，．所以．故选：AC12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数“为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是A．是偶函数 B．是奇函数C．在上是增函数 D．的值域是答：BC分析：，，，则不是偶函数，故错误；的定义域为，，为奇函数，故正确；，又在上单调递增，在上是增函数，故正确；，，则，可得，即．，，故错误．故选：．三、填空题13．函数在的零点个数为________．答：分析：由题可知，或解得,或故有3个零点．14．=______．答：分析：．15．函数且的图象恒过定点A，若点A在直线上（其中m，n＞0），则的最小值等于__________.答：8分析：且令解得，则即函数过定点，又点在直线上，，则，当且仅当时，等号成立，故答案为：8．16．设是定义在R且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是____________答：8分析：由于，则需考虑的情况，在此范围内，且时，设，且互质，若，则由，可设，且互质，因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此，因此不可能与每个周期内对应的部分相等，只需考虑与每个周期的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，且处，则在附近仅有一个交点，因此方程的解的个数为8．四、解答题17．已知函数.（1）当时，求；（2）求解关于的不等式；（3）若恒成立，求实数的取值范围.答：（1）；（2）当时，的解集为，当时；（3）.分析：（1）当时，（2）由得：或当时，解不等式可得：或当时，解不等式可得：或综上所述：当时，的解集为；当时，的解集为（3）由得：或①当时，，或，解得：②当时，，或，解得：综上所述：的取值范围为18．已知函数（且）．（1）求的解析式，再判断的奇偶性；（2）解关于的方程．答：（1），奇函数；（2）.分析：（1）令，则，∴，由，得，∴，即，∴，又，∴为奇函数．（2）由（1）得，∴，解得，解集为.19．已知函数．（1）作出函数的图象；（2）若，且，求证：．答：（1）图象见解析；（2）证明见解析.分析：（1），其图象如图所示．（2）由图知，在上是减函数，在上是增函数，故结合条件知必有．若，则，，所以；若，则由，得，即，所以．综上知，总有．20．已知函数．（1）若的定义域为（是自然对数的底数），求函数的最大值和最小值；（2）求函数的零点个数．答：（1）最大值为11，最小值为2；（2）2个分析：（1）因为的定义域为，设，则在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，则．故函数的最大值为11，最小值为2；（2）函数，，因为，所以是偶函数．当时，在上连续不间断，且单调递增，又，，则函数在上存在唯一的零点，由于函数为偶函数，则函数在上也存在唯一的零点．综上，函数在定义域内零点的个数为2个．21．如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．答：（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+（百米）.分析：解法一：（1）过A作，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，.因为PB⊥AB，所以.所以.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，连结AD，由（1）知，从而，所以∠BAD为锐角.所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此，Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.设为l上一点，且，由（1）知，，此时；当∠OBP>90°时，在中，.由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+（百米）.解法二：（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3.因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为.因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为，直线PB的方程为.所以P（−13，9），.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，连结AD，由（1）知D（−4，9），又A（4，3），所以线段AD：.在线段AD上取点M（3，），因为，所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.设为l上一点，且，由（1）知，，此时；当∠OBP>90°时，在中，.由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规