2019-2021北京重点校高一（上）期中数学汇编：单调性与最大（小）值

2019-2021北京重点校高一(上)期中数学汇编

单调性与最大(小)值

一、单选题

1.(2020•北京•首都师范大学附属中学高一期中)已知函数/(X)=X2—2X,g(x)=ar+2(«>0),若对任意

总存在x2a—1,2],使得〃x,)=g(w)，则实数”的取值范围是()

A.fo,-B.->3

I2」12」

C.(0,3]D.[3,+Q0)

2.(2020.北京.清华附中高一期中)下列函数中，在定义域内单调递增的是()

A.B.y=>/xC.y=|x|D.y=x+』(x>0)

XX

3.(2020•北京四中高一期中)下列函数中，在区间(0,+oo)上为减函数的是()

A.y=x2-2xB.y=|x|C.y=2x+\D.y=-y/x

4.(2020.北京JOI中学高一期中)下列函数中，在区间(1,+oo)上为增函数的是().

2

A.y=-3x-lB.y=-C.y=x2-4x+5D.y=|x-1+2

x

5.(2019•北京市第十三中学高一期中)已知偶函数的定义域为R,当xe[0,+a>)时，〃x)单调递增，则

2),〃乃，〃一3)的大小关系是()

A./(^)>/(-2)>/(-3)B./(^)>/(-3)>/(-2)

C./(^)</(-2)</(-3)D./(^)</(-3)</(-2)

6.(2019•北京・首都师范大学附属中学高一期中)已知函数〃力=以2一》，若对任意为,9€[2,一),且x产

不等式[/(%)-/5)](占-々)>0恒成立，则实数。的取值范围是(〉

A.(g,+8)B.；，+8)c.；,+8)D.

、2

7.(2019.北京市第十一中学高一期中)函数〃力=1的单调递减区间为()

A.(-oo,+co)B.(-oo,0)u(0,+oo)

C.(YO,0),(0,~KO)D.(0,+e)

8.(2019・北京・101中学高一期中)设函数/(x)在(-co,+ao)上有意义，且对于任意的x,有，CO-于

(y)|V|x-y|并且函数f(x+1)的对称中心是(-L0),若函数g(x)-f(x)=x,则不等式g(2x-x2)+g(x-2)<

0的解集是().

A.(-<x),l)o(2,+oo)B.(1,2)

C.(F,T]U(2,"O)D.(-1,2)

9.（2019•北京・人大附中高一期中）下列函数中，在区间（0,2）是增函数的是（）

A.y=-x+lB.y=x?-4x+5C.y=\［xD.y=-

10.（2021•北京・人大附中高一期中）已知函数f（x）是定义在［1-2见向上的偶函数，气，马耳0,何，当x产X?

时，［〃X）-〃%）］（5-%）<。，则不等式〃xT）4/（2x）的解集是

A.-1、B.C.0,-D.

L3J123」L3JL2J

二、双空题

{x,x>a

JC

—x+2x,x<a

①若玉eR且xwO,使得/（l+x）=/（l—x）成立，则实数。的取值范围是.

②若函数“X）为R上的单调函数，则实数。的取值范围是.

12.（2019•北京市第十三中学高一期中）函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当史0时，函数f（x）的图象是由一

段抛物线和一条射线组成（如图所示）.

①当xe［T,l］时，y的取值范围是；

②如果对任意（b<0）,都有ye［-2,l］,那么b的最大值是.

13.（2019•北京•人大附中高一期中）对于区间［a,句（a<b）,若函数y=/（x）同时满足：①“力在句上是单调

函数；②函数y=/（M，x4a,句的值域是［“，目，则称区间［a,可为函数的“保值”区间.（1）写出函数y=f的

一个“保值”区间为；（2）若函数/（》）=犬+加（加工0）存在“保值”区间，则实数加的取值范围为

14.（2019•北京・人大附中高一期中）已知函数/（x）=VT^+而3,则函数“X）的最大值为；函数〃x）

的最小值为.

三、填空题

15.（2020.北京.清华附中高一期中）函数/食）=/+狈-1在［2,3］上不单调，则实数a的取值范围为.

16.（2020•人大附中高一期中）自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线等这些现象中都有相似的

曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应

用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为〃x）=ae'+%（其中a,b是非零常数，无理数

e=2.71828...）

（1）如果为单调函数.写出满足条件的一-组值：。=,b=.

(2)如果外力的最小值为2,则。+人的最小值为.

(2020•北京八中高一期中)已知函数f(x)=L-L(a>0,x>0),若在1,2上的值域为；，2

17.贝lj"=

ax

18.(2020•北京・101中学高一期中)函数f(x)(/>0),在区间(0,+8)上的增数，则实数r的取值范围

[x,0<x</

是.

19.(2019•北京市第十三中学高一期中)对于函数/(x)=：(x>0)的定义域中任意4,々(工产W)有如下结论：

①〃办+々)=〃为)+〃&)②"?二色)>0@/(詈)<〃*)；"々)

上述结论中正确结论的序号是.

20.(2019・北京•人大附中高一期中)若函数〃力=/-2(。-1b+2在区间(1,4)上不是单调函数，那么实数。的取

值范围是.

四、解答题

21.(2020•北京J01中学高一期中)己知/(x)是定义在R上的单调递减函数，对任意实数〃?，〃都有/(〃?+〃)=

/(/n)+/(n).函数g(x)=2(x-d).定义在R上的单调递增函数〃(x)的图象经过点A(0,0)和点8(2,2).

(1)判断函数/*)的奇偶性并证明；

(2)若土€[—1,2],使得/(g(r)-l)+/(&+，〃)<()(i为常实数)成立，求"?的取值范围；

(3)设/⑴=一1,耳(x)=/(x)-x,玛(x)=g(x),F3(x)=h(x)-h(2-x),许=志(，=。，1，2...100).若

%=|&㈤一鼻口)|+|居他)一号㈤|+…+|居(九0)-居(先)|(1，2,3)，比较必,也,此的大小并说明理由.

22.(2020•北京四中高一期中)二次函数〃x)满足/(0)=1,再从条件①和条件②两个条件中选择一个作为已知，

求：

(1)求/⑴的解析式；

(2)在区间卜15上，函数f(x)的图像总在一次函数y=2x+w图像的上方，试确定实数，"的取值范围.

条件①：/(x+l)-/(x)=2x；

条件②：不等式f(x)<x+4的解集为(-1,3).

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

23.(2020•北京交通大学附属中学高一期中)己知函数”外=奴2+法+i(a,%为实数)XeR.

（1）若，（T）=0,且函数的值域为求/（x）的解析式；

（2）在（1）的条件下，当了目-2,2］时，g（x）=/（x）-履是单调函数，求实数人的取值范围；

（3）若〃x）为偶函数，且a>0,设F*）=，；（x）go'防+〃>。，判断尸（加）+尸（〃）是否大于零，请

说明理由.

24.（2019•北京市陈经纶中学高一期中）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品

的年收益/（x）与投资额x成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益g（x）与投资额x的算术平方根成

正比，其关系如图2.

⑴分别写出两种产品的年收益“X）和g（x）的函数关系式；

（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多

少万元？

25.（2019•北京・汇文中学高一期中）定义在R上的函数Ax）同时满足下列两个条件：

①对任意xwR,有f（x+2）2/（x）+2；

②对任意xeR,有〃x+3）V/（尤）+3.设g（x）=/（x）-x.

（1）证明g（x+3）4g（x）4g（x+2）.

（2）若"4）=5,求，（2020）的值.

26.（2019•北京・汇文中学高一期中）（1）证明：函数/（x）=x+：在（0,2］上是减函数；

（2）设常数ae（L9）,求函数/（x）=x+?在x«l,3］上的最大值和最小值.

27.（2019•北京・北师大实验中学高一期中）如果定义在［0,1］上的函数/（x）同时满足：

®f⑴>0；

射⑴=1

③若X/20,X2N0且X/+X2S1,则/（X/+X2）>f（X/）+f（X2）成立.那么就称函数/（X）为“梦幻函数

（1）分别判断函数/（无）=X与g（x）=2x,XG［O,1］是否为“梦幻函数”，并说明理由；

（2）若函数/（x）为“梦幻函数”，求函数/（X）的最小值和最大值；

28.（2019•北京・北师大实验中学高一期中）已知函数”力=・昔.

（1）求内（1）］的值；

（2）若f（x）>1,求x的取值范围；

(3)判断函数在(-2,+oo)上的单调性，并用定义加以证明.

参考答案

1.D

【解析】

根据二次函数的性质求出f(x)在[T2]时的值域为[-1,3],再根据一次g(x)=«r+2(a>0)为增函数，求出

g(W)e[2-a,2a+2],由题意得值域是g(x)值域的子集，从而得到实数〃的取值范围.

【详解】

解：•••函数f(x)=V-2x的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x=l对称

时，f(x)的最小值为/(1)=-1,最大值为/(-1)=3,

可得/(3)值域为[7,3]

又；g(x)=or+2(a>0),e[-l,2],

；.g(x)为单调增函数，g(xj值域为[g(-l),g(2)]

即g(赴)e[2-a,2a+2]

VVx,e[-l,2],训e[T，2],使得〃%)=8(々)，

\=a23

[2«+2>3

故选：D.

【点睛】

本题着重考查了函数的值域，属于中档题.解题的关键是将问题转化为值域的包含关系问题.

2.B

【解析】

根据初等函数的性质逐一判断即可.

【详解】

对于A,的增区间为(—,0)和(0,口)，在定义域内不具备单调性，故A错误；

X

对于B,y=&在定义域[0，+8)内单调递增，故B正确；

对于C,在(-«,0)内单调递减，在(0，+8)内单调递增，故C错误；

对于D,y=x+;(x>0)在(0,1)内单调递减，在(1，+¥)内单调递增，故D错误；

故选：B.

3.D

【解析】

求出每一个选项的函数的单调减区间即得解.

【详解】

A.y=N-2x,函数的减区间为(YO,D，所以选项A不符；

B.)，=|x|,函数的减区间为(-8,0),所以选项B不符；

C.y=2x+1,函数是增函数，没有减区间，所以选项C不符；

D.y=-«,函数的减区间为(0,+oo),所以选项D符合.

故选D

【点睛】

本题主要考查函数的单调区间的判定方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

4.D

【解析】

结合一次函数，二次函数及反比例函数的图象及图象变换分别进行判断即可.

【详解】

由一次函数的性质可知，产-3x-l在区间(1,+8)上为减函数，故4错误；

2

由反比例函数的性质可知，产一在区间(1,+8)上为减函数，

X

由二次函数的性质可知，尸N-4X+5在(-8,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，故C错误；

由一次函数的性质及图象的变换可知，尸|x-l|+2在(1,+8)上单调递增.

故选D.

【点睛】

本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题.

5.B

【解析】

根据偶函数的性质，结合单调性即可选出答案.

【详解】

因为“X)为偶函数，所以〃-2)=/⑵，/(-3)=/(3).又当xe[0,y)时，/(x)单调递增，且万>3>2,所以

〃乃)>"3)>/(2),即/⑺〉/(-3)>/(-2).

故选：B.

6.C

【解析】

易知/(x)在[2,一)上是增函数，然后利用二次函数的性质求解.

【详解】

因为对任意内,々W[2,4<O),且占*々，不等式[/(百)一/(9)](3一%2)>0恒成立，

所以“X)在[2,+a))上是增函数，

a>0

所以1.解得aw:,

—K24

[2a

所以实数0的取值范围是［；，+8

故选：C

7.C

【解析】

先求定义域，再利用反比例函数图象求单调减区间.

【详解】

=：的定义域为(F,0)7(0,依)，

图象如图所示：

所以/(x)=：的单调递减区间为(—,0),(。,”)，

故选：C

【点睛】

本题主要考查了利用函数的性质求函数的单调区间，注意单调区间不能并，属于基础题.

8.A

【解析】

由已知可知兀0为奇函数，从而可得g(㈤也为奇函数，然后结合I/U)式y)|<|x-y|,得从而可得g(x)

x-y

单调递增，结合单调性及奇函数的定义可求.

【详解】

由函数火工+1)的对称中心是G1,0),可得负x)的图象关于(0,0)对称即人为为奇函数,

''g(x)-fix)^x,

g(7)y-X)-k，X)-4吆(x),

:对于任意的X,y&R,有IAx)：Ay)|V|x-)，l，

二lg(x)-g(y)-(x-)')l<|x-y|,

.|g(x)-g(y)-(x-y)|

一

即|g(x)-g(y)_“<i,

x-y

，o<g(x)-g(y)<2；

x-y

由对任意实数X,y(xwy)有g"二:")>o得g(x)单调递增，

•••g(2x-x2)+g(x-2)<0,

g(2x-x2)V-g(x-2)=g(2-x),

.'.2x-x2<2-x,

整理可得，/-3尤+2>0,

解可得，x>2或x<l,

故选A.

【点睛】

本题主要考查了利用函数的奇偶性及单调性求解不等式，解题的关键是结合单调性定义判断出函数g(x)的单调性.

9.C

【解析】

直接判断一次函数、二次函数、反比例函数、基函数在区间(0,2)上的单调性即可得到结果.

【详解】

y=-x+l、y=x2-4x+5,y=：在区间(0,2)是减函数，

y=«在区间(0,2)是增函数.

故选C.

【点睛】

一次函数的单调性判断：y^kx+b(k^0),当/>0时在R上递增，当氏<0时在R上递减；

二次函数的单调性判断：y=«?+bx+c(a=0),当。>0时在(-8,-/)上递减，在［一卷,+8)上递增；当"<0时在

(-—马上递增，在［-5,+8)上递减.

10.C

【解析】

先根据偶函数的定义域关于原点对称求出加，再根据偶函数的对称性和题设给的xw［0,向的增减性解题即可

【详解】

1•,/(x)是定义在［1-2孙向上的偶函数，；.1-2〃2+机=0,解得加=1,/(x)的定义域为［-1,1］

又QVjpW当工户了2时，［/(占)-/(々)］(5一》2)<°

丁•/(x)在X£[0,1]单调递减,

x-1

再由偶函数的对称性可知〃x-l)4/(2x)o2xe[-l,l],解得xe0,1

L|L」

答案选C

【点睛】

本题考查偶函数的基本性质、利用偶函数的性质解不等式，易错点为解题过程中忽略f(x)所有括号中的取值都必

须在定义域内

11.a>laVO或。=1

【解析】

①由/(l+x)=/(l-x)知，函数“X)关于直线x=l对称，结合图像可知a的取值范围；

②8(力=-/+23在(75,1)上单增，/?(司=》在/?上单增，结合图像知，aVO或者a=l

【详解】

①由"l+x)=f(l—x)知，函数“X)关于直线X=1对称,

又二次函数g(x)=-d+2x,开口向下，对称轴为x=l,结合图像：

由玉eR,使得“l+x)=/(l-x),知a>1

②8(力=一/+2%在(-«>,1)上单增，/心)=左在/?上单增，结合图像知，“VO或a=l

【点睛】

结论点睛：函数对称性常用结论：

(1)函数“力满足〃a+x)=〃a—x),则函数图像关于直线x="对称；

(2)函数“X)满足〃-x+a)=-/(x+a),则函数图像关于点3。)中心对称；

12.[1,2]-2

【解析】

①根据f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，结合图象可得y的取值范围.

②当xK)时，设抛物线的方程为y=ax2+bx+c,求解解析式，根据f(x)是定义域为R的偶函数，可得xVO的解析

式，令y=l，可得x对应的值，结合图象可得b的最大值.

【详解】

由图象可知，当X=0时，函数在上的最小值Win=1,

当》=±1时，函数在［T,l］上的最小值Nmax=2,

所以当函数y=/(x)的值域为［1,2］；

当xw［(),3］时，函数f(x)=-(x—1>+2,当xe［3,+o>)时，函数〃x)=x-5,

当/(x)=l时，%=2或%=7,

又因为函数为偶函数，图象关于y轴对称，

所以对于任意xe［a,0s<0),要使得ye［—2,l］,则aeR,b=—7或匕=—2,

则实数匕的最大值是8=-2.

故答案为［1,2］；-2

【点睛】

本题主要考查函数的奇偶性和函数的图象的应用，意在考查考生对概念的理解能力与应用能力、数形结合能力，求

解此类函数图象判断题的关键：一是从已知函数图象过特殊点，列出关于参数的方程，从而求出参数的值；二是利

用特殊点法来判断图象.本题还可以利用函数的单调性来判断函数的图象.总之，有关函数的图象判断题，利用

“特殊点”与“函数的性质”，即可轻松破解.

13.［0,1］-1,一和(。,£|

【解析】

(1)由条件可知/(X)在区间以上是单调函数，根据“X)的值域判断出b>aN0,由此得到廿篙“从而求解

出4,6的值；

(2)设存在的“保值"区间为［a,〃］,考虑两种情况：a<b<0,0<a<b,根据单调性得到关于机等式，由此表

示出机并求解出m的范围.

【详解】

(1)因为〃X)=x2,所以“X)的值域为［0,物)，

所以0。<儿所以。(力在［a,句上单调递增,

f=a［a1=afa=0,

所以QI1//所以厂解得b=1'所以一个“保值”区间为r［°，1］;

⑵若则/(x)在［凡句上单调递减，所以m=所以cr-\-m-b

b1+m=a

所以/一〃之=〃一Q=(a)(。+人)，所以a+/?=-l,b=-l-a,

所以加=+—5，

又因为。<Z?W0,所以a<—1—所以—J,

所以，weT,一g

a2+m-a

当时，则〃x)在,网上单调递增，所以所以

b2+m-b

所以/一/=。一b=("b)(a+。)，所以a+〃=l,b=l-a,

，(1Y1

rr)r\rVIXm=-a~+a=-\a——+—,

I2)4

又因为OWav。，所以0«。＜1一Q,所以〃£°，；)，

综上可知：机€

故答案为［0,1］；

【点睛】

本题考查新定义背景下的二次函数的定义域、值域与单调性的综合问题，难度较难.处理这类问题的关键是：将定

义内容与己学知识产生联系，运用己学知识解决问题.本例中的保值区间实际就是函数的定义域与值域以及函数的单

调性的结合.

14.202

【解析】

根据“X)的函数结构，考虑将“X)平方(注意定义域)，利用二次函数的最值分析方法求解出［/(X)丁的最值，

即可求解出“X)的最值.

【详解】

因为［f(x)］2=(+^/IT3)2=4+244-(X+1)2(X6［-3,1］)

当X=-l时，［f(x)］2取最大值8,所以f(x)max=2夜

当X=1时，［f(X)F取最小值4,所以f(X)min=2.

故答案为2忘；2.

【点睛】

本题考查含根号函数的最值的求解，难度一般.常见的含根号函数的值域或最值的求解方法：若只有一处含有根号，

可考虑使用换元法求解函数的值域或最值；若是多处含有根号，可考虑函数本身的特点，通过平方、配凑等方法处

理函数，使其更容易计算出值域或最值.

15.(-6,-4)

【解析】

由题可得对称轴满足2＜-］＜3,求出即可.

【详解】

可得“X）的对称轴为X=-g

•."（X）在[2,3]上不单调，则2<-恭3,解得-6<a<4

故答案为：（-6,T）.

16.1-12

【解析】

（1）取。=1,结合函数是单调函数，利用复合函数的单调性求解b的值即可；

（2）根据/（x）的最小值为2,分类讨论确定。>0,b>0,结合基本不等式进行求解即可.

【详解】

（1）令a=l,则f（x）=e'+如

Qy=e，是增函数，y=e-，是减函数，

要使/3=/+从-，是单调函数，

只需6=—1.

综上，当。=1时，b=—1时，/（x）=e*-eT为增函数.

（2）当她,0时，/（X）为单调函数，此时函数没有最小值，

当”<0,bvO,7（x）有最大值，无最小值，

所以，若/（X）有最小值为2,则必有。>0,b>0,

此时/（x）=ae'+be\.2'Jae'xhe~x=2\[ab=2,

即\[ab=1,即必=1,

则a+/7..2^/i石=2,当a=6=1时等号成立，

即a+6的最小值为2.

故答案为：L-1,2

【点睛】

利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为

正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立

（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用2或V时等号能否同时成立）.

17.

5

【解析】

根据函数/。）=工-，（。>0,》>0）在〈，2上单调递增，求出函数的最值，列方程组可解得结果.

ax.

【详解】

由题意知函数f（x）=L-L（a>0,x>0）在2，2上单调递增，

ax2

=即，;5,解得a

/⑵=2---=2

la2

故答案为：y.

【点睛】

本题考查了由函数解析式得单调性，根据单调性求最值，属于基础题.

18.Z..1

【解析】

作出函数/。>0）的图象，数形结合可得结果.

x,O<x</

【详解】

解:函数/（幻=卜［，Q0）的图像如图.

x,O<x<r

Y~Xt

由图像可知要使函数/。）='…（/>0）是区间（0,一）上的增函数，

x,0<x<t

则A」.

故答案为心1

【点睛】

本题考查函数的单调性，考查函数的图象的应用，考查数形结合思想，属于简单题目.

19.③

【解析】

根据函数的解析式易得①错误，通过举出反例证明②错误，利用作差法比较大小，得到匕故③

正确.由此可得正确答案.

【详解】

解:对于①J（芭+均）=不上j（不）+/（三）=：+

显然/（%+々）打（%）+〃々）,故①不正确；

对于②，取X|=1,々=2,则/（芭）=1J㈤=g,

可得/(占)-/伍)

再一X21—2

对于③/里斗2玉+々

x}+x22X}X2

\/(0+/(电)_(十

2%工2(%+引，

*.*X|>0,w>0XWK],\―([一_―v0,

后-心吟。,

\/矍詈J㈤7㈤，故③正确.

故答案为:③

【点睛】

本题以一个具体函数为例,要验证几个等式和不等式是否成立，着重考查了函数的解析式和简单性质等知识，属于基础

题.

20.(2,5)

【解析】

根据二次函数的对称轴以及开口方向与单调性的关系，判断出二次函数的对称轴在区间(1,4)内，由此计算出«的取

值范围.

【详解】

因为函数f(x)=x2-2(a-l)x+2在区间(1,4)上不是单调函数，

所以对称轴x=a-l位于区间(1,4)上,即l<a-l<4,所以2<a<5.

故答案为(2,5).

【点睛】

判断二次函数的单调性，可以通过二次函数的开口方向以及对称轴来进行分析：开口向上，在对称轴左侧单调递

减，在对称轴右侧单调递增；开口向下，在对称轴左侧单调递增，在对称轴右侧单调递减.

21.(1)/(x)为奇函数；证明见解析；(2)(-(3)M,=>M2；答案见解析.

【解析】

(1)根据奇函数的定义进行证明即可；(2)根据奇函数将不等式转化为了(g(f)-D</(-&-,〃)，再根据单调性将

/脱去，等价为机>2产-10/+1,最后转化为最值问题解题即可；(3)根据函数的单调性及特殊值分

别计算"「用2，知3,最后比较大小即可.

【详解】

(1)/*)是R上的奇函数.证明如下：

因为任意实数优，”都有+=+,

所以f(0+0)=f(0)+,(0),所以"0)=0,

从而对VxWR,恒有/(-x+x)=/(-x)+/(x),

所以/(-x)+/(x)=/(O)=O,

所以/(-x)=-/(x),所以/(x)为奇函数.

(2)由(1)知，f(x)为R上单调递减的奇函数，

由f(g(t)-1)+/(8r+m)<0得f(g(t)-l)<-f(8t+m)=f(-St-m),

所以gQ)-m>2t2-10t+l.

523

令〃Q)=2/-lOr+l,则〃⑺=2Q—-)2——.

22

当小€［-1,2］时，h(t)min=h(2)=-l\.

所以永e,使得f(g(t)-l)+f(8t+m)<0成立，

等价于于e［-1,2］,使得m>力⑺成立,

所以〃z>所)1nm=-11,所以〃7的取值范围是(-11,-KO).

(3)依题意，易证尸/(x)=/(x)-x在R上单调递减，

所以陷=山(4)-£(%)|+闺他)-耳(伪)|+…+山(媪)-E(%)|

=片(％)-6(4)+耳(4)一百(4)+…+6(々9)-耳(400)

=耳(耳)-V(4ao)=E(O)-E(I)=(/(O)-o)-(/(D-i)=(o-o)-(-i-i)=2.

因为g(x)=2(x72)=-2(xV)2+］在［0』单调递增，在口，1］单调递减，

2222

所以a=比(4)一用国)|+|玛(&)一型4)|+…+|6(编o)-玛他9)|

=F2(bl')-F2(b0')+F2(b2)-F2(bl)+...+F2(b50')-F2(big)+

下(%)一亮(瓦1)+巴(4|)-6(%)+...+玛(%)一下(Aoo)

=-F2(btt)+F2(bSH)+F2(b5„)-F2(bim)=-F2(,())+F2(^)+F2(^)-F2(l)

=—0d1---0=1.

22

由〃(x)在R上单调递增，易证K(x)=/?(x)-人(2-x)在R上单调递增，

所以%=国(4)-玛(4)|+内⑸一取4)|+.•.+国(%)-原％)|

=g(4)-工(4)+玛。2)-卜(4)+…+玛(400)一居(%)

=居(编的)-居(瓦)=5⑴-居(O)=(九⑴一"2-1))一S(0)—〃(2))=0-(0—2)=2,

所以

【点睛】

函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函

数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化

繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题

目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解

决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

22.条件选择见解析；(1)f(x)=x2-x+i；(2)tn<-\.

【解析】

(1)选择①：设出二次函数的解析式，根据条件①，结合待定系数法求出f(x)的解析式；

选择②：根据一元二次不等式与二次函数的关系求出f(x)的解析式；

(2)由题意可知V一31+1>加，构造函数g(x)=V-3x+l,由gOKn>机得出川的范围.

【详解】

解(1)由flO)=1,可设fix)=ax2+bx+1(存0).

选择①，则有/(%+1)-/(%)=a(x+\)2+/?(%+1)+1-(ax2+bx+1^=2ax+a+b-2x

f2ci—2,[tz=1,与

由题意，得,八解得，，故"X)=X2-X+1

[a+o=0,

选择②，则/(x)<x+4可化为奴2+(6-]»一3<0.

由题，方程以2+伯-1*-3=0的两实根分别为-1和3

所以-铝=-1+3=2即2a+6=l,及—3=—lx3=-3即a=l,所以b=—1.

aa

®/(x)=x2-x+l

(2)由题意，^x2-x+l>2x+m>BPx2-3x+l>tn,对xw[-1,1]恒成立.

令g(x)=J?_3x+1,则问题可转化为g(x)mi0>m

又因为g(x)在[-1,1]上递减，所以g(X)min=g(D=T，故机<-1

【点睛】

对于问题(2),在解决不等式的恒成立问题时，可以构造函数，将不等式问题转化为最值问题进行处理.

23.(1)/(x)=(x+l)2;(2)(-oo,-2]Ur6,+oo);(3)证明见解析

【解析】

(1)由题得a—6+1=0①，4a-b2=0®(解方程即得解；

kk

(2)由题得土二，-2或一..2,解不等式得解；

22

(3)先求出尸3的解析式，再求出尸(附+尸(〃)=。(病-〃2)即得证.

【详解】

解:⑴

又函数/(x)的值域为[0,E),.RW0.由y=a(x+2]+”卫,知处互=0,

I2a)4a4a

即4a—b2=0②.解①②，得a=1,b=2.

f(x)=x2+2x+\=(x+1)2.

(2)由(1)得g(x)=f(x)-kx=x2+2x+\-kx=x1+(2-k)x+\=(x+??3+1-&4幻.

•.•当xe1-2,2]时,g(x)=/(x)-履是单调函数，

.•.日A,-2或寸..2,即上，一2或k.6,

故实数人的取值范围为(F,-2]U[6,+O.

⑶尸(〃z)+尸(〃)大于零.理由如下:•.•/*)为偶函数，

ax4-1,x>0,

/(x)=ax2+\,F(x)=<,.

—yCLX2+1J,X<0.

不妨设机》〃，则九v0.由>0,得>0,门6Al-〃I.又a>0,

F(m)+F(n)=/(/«)-f(n)=^an2+l)-(an2+l)=«(/w2-n2)>0,

尸O)+尸(")大于零.

【点睛】

关键点睛：第(1)题，利用值域的性质列方程求解；第(2)题利用二次函数的性质进行求解：第(3)题的解题

的关键在于利用函数的奇偶性进行转化，得出产(〃?)+尸(")=，(〃?)-/(〃)进而求解；本题难度属于中档题

24.⑴〃x)=：x(x20),g(x)=:«(x20)

o2

(2)投资债券类产品16万元，股票类投资为4万元，收益最大为3万元

【解析】

(1)设函数解析式“X)=5，g(X)=^4,代入X=1即可求出仁义的值，即可得函数解析式；

(2)设投资债券类产品x万元，则股票类投资为20-x万元，年收益为y万元，则〉=/(力+8(20-》)，代入解析

式，换元求最值即可.

(1)

依题意:可设/(x)=Kx(xN0)，g(x)=&&(x")，

,.•/(1)=^,=1,g(l)=*2=1,

OL

，〃x)=：x(xN0),g(x)=:&(x20).

o2

(2)

设投资债券类产品x万元，

则股票类投资为(20-X)万元，年收益为y万元,

依题意得：y=/(x)+g(20—x),

即y=q+：j20-x(04x420),令［=向。，

82

则x=20-产，fe［0,2遥］,

则y=+j向。，2句=[62)2+3,

所以当f=2,即x=16万元时，

收益最大，儿稣=3万元.

25.(1)证明见解析；(2)2021.

【解析】

(1)由题意可得，f(x)=g(x)+x,利用/(x+2)2/(x)+2和/(x+3)4/(x)+3,即可证明不等式；

(2)利用恒等式可得g(4)=l,再利用(1)中的不等式，可以得到g(x+2)=g(x+3)=g(x+4),从而求出

5(2020),即可得到“2020).

【详解】

(1)证明：因为g(x)=/(x)-x,

贝lj/(x)=g(x)+x,

因为/(x+2)L+2,

贝lJg(x+2)+x+2Ng(x)+x+2,即g(x+2)2g(x),

因为/(x+3)4/(x)+3,

贝ijg(x+3)+x+34g(x)+x+3,即g(x+3)4g(x),

综上所述，g(x+3)<g(x)<g(x+2)；

(2)解：因为〃4)=5,

贝iJg(4)=〃4)-4=l,

由(1)可知，g(x+3)4g(x)Mg(x+2),

贝l]g(x+3)4g(x+2),

g(x+4)4g(x+l)4g(x+3),

所以g(x+4)4g(x+3),

g(x+5)Wg(x+2)&g(x+4),

贝i」g(x+2)4g(x+4),

i^g(x+4)<g(x+3)<g(x+2)<g(x+4),

所以g(x+2)=g(x+3)=g(x+4),

则g(2020)=g(4)=1,

所以/(2020)=g(2020)+2020=1+2020=2021.

26.(1)证明见解析；(2)答案不唯一，具体见解析.

【解析】

(1)利用函数单调性的定义证明即可；

(2)根据”的取值范围，结合函数单调性的定义可证明函数Ax)在［1,后］上是减函数，在［&,3］上是增函数，从

而求得函数/(x)的最小值，再利用分类讨论法求其最大值.

【详解】

(4、(4、

(1)证明：任取不、e(O,2］,J§.0<XI<X2<2,则/(王)-/优)=%1+-■-x2+—

\X\)\x27

/廿)+"」〕=储一》2)配一4),

■1%X2)百马

因为0<再</42,

所以元［_工2<0,且0<中2<4,

所以王工2-4<。，

所以8)>0,即/