2019-2020学年10月北京朝阳区某中学朝阳学校高二上学期月考数学试卷（详解）

2019~2020学年10月北京朝阳区中国人民大学附属中学

朝阳学校高二上学期月考数学试卷(详解)

一、选择题

(本题包括8个小题，每小题5分,共40分)

1.下列说法正确的是().

A.到点Fi(-4,0),另(4,0)的距离之和等于B.到点尸式一4,0),%(4,0)的距离之和等于

8的点的轨迹是椭圆6的点的轨迹是椭圆

C.到点用(—4,0),另(4,0)的距离之和等于D.到点尸式―4,0),%(4,0)的距离相等的点

12的点的轨迹是椭圆的轨迹是椭圆

【答案】C

【解析】设动点为P,Fi(-4,0),尸2(4,0),国网=8.

当|「耳|+|尸7引=定值〉因凡|,

则动点P的轨迹是椭圆.

当|PS|+|P%|=定值=网后|,

则动点P的轨迹是线段FiF2.

当IFSI+IP外|=定值＜国用］,

则动点P的轨迹不存在.

所以答案选C.

已知数列｛an｝满足的=,an=4an_i+l(n〉€N*),则a?=()

A.3B.13C.15D.53

【答案】B

【解析】CLI=—,a=4a_i+1,

/nn

为=4&i+1=3,

。3=4a2+1=13,

故选B.

3.已知数列｛5｝的通项为an=26-2n,若要使此数列的前加页之和S”最大，则n的值是()

A.12B.13C.12或13D.14

【答案】C

【解析】方法一：由题可知｛。九｝单调递减，

且>0,ai3=0,ai4<0,

Su<Sn+。12=S12=S13=S14—ai4>S14.

当九=12或13时，Sn最大.

方法二：•.数列｛QJ的通项公式Qn=26-2九，

Qi=26—2=24,

d=an_=(26—272)—[26-2(72--1)]=_2f

...数列｛丽｝是首项为24,公差为2的等差数列，

„,n(n—1)»

4

Sn=24nH--------x(—2)=—n+25n=

二要使此数列的前n项和Sn最大，则n的值为12或13.

故选：C.

4.已知数列｛而｝的前n项和&=^一19#0),那么｛丽｝().

A.一定是等差数列

B.一定是等比数列

C.或者是等差数列，或者是等比数列

D.既不可能是等差数列，也不可能是等比数列

【答案】C

n

【解析】在数列｛/｝中,Sn=a-l(a/0),

Sn-i=a"T-l(n2),

以上两式相减得an=an-暧T=(a-1)-an-i(7122),

当71=1时，=Sa=a-1,满足上述，

.,数列｛%｝的通项公式是“=(a-1)-a"T,

当a=1时，％=0,数列是等差数列；当a#1且a#0时，数列是等比数列，

｛an｝或者是等差数列，或者是等比数列.

故选C.

5.已知x>y>z,x+y+z=0,则下列不等式恒成立的是().

A.xy>yzB.xy>xzC.xz>yzD.>zy2

【答案】B

【解析】.冗+y+z=O,

••a?>0,z<0,g正负不确定.

A项：/>z,当gV0时，则xy<yz,A不成立；

B项\y>z,

.s>0,

・'.xy>xz,

B恒成立；

C项：o：>y,

-.z<0,

xz<yz,

C不成立；

D项：a:>y,当y=0时，xy2=zy1,D不成立.

综上，恒成立的是B.

故答案为B.

6.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给

5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的能是较小的两份之和，则最小的一份为

().

510_5卜11

AA.-BD.—C.-D.—

3366

【答案】A

【解析】设五个人所分得的面包为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,(其中d>0)；

因为把100个面包分给5个人，

则(a—2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)—5a—100,

■-a—20.

由使较大的三份之和的;是较小的两份之和有

~(Q+a+d+a+2d)—a—2d+Q—d,

得3a+3d=7(2Q—3d);

24d=11a,

55

d=~e-

所以，最小的1份为a—2d=20—孚=g.

o3

故选：A.

7.不等式组(，d73+“)>°表示的平面区域是().

[0W2W3

A.梯形B.三角形C.菱形D.矩形

【答案】A

［解析］不等式

1。("3lo("3

fx-y+5^0

或<x+y^0②，

、0(£(3

以上不等式组①表示的平面区域如图，

不等式组②中的几个二元一次不等式表示的平面区域无公共部分，

所以，原不等式组表示的平面区域是一个图中的梯形。48。.

故选A.

8.若Sn=5呜+sin与+…+sin手⑺€N*）,则在Si,S2,…,goo中，正数的个数是（

）.

A.16B.72C.86D.100

【答案】C

【解析】由题意可知，

S13=S14=$27=88=S41=S42=•••=S97=S98=0,

共14个，其余均为正数，

故共有100-14=86个正数.

二、填空题

(本题包括6个小题，每小题5分，共30分)

9.数列｛册｝中，肉=5,an+1=an+3,那么这个数列的通项公式是

【答案】an=3n+2("€N*)

【解析】.a1—5/a“+i-a”+3,

・•｛a”｝为等比数列，且公差d=3,

c1n=<zi+(n—l)d=5+3(n-1)=3n+2.

故答案为：厮=3n+2(n£N*).

10.等比数列｛@n｝中，。3=2,。5=8,那么。9=

【答案】128

【解析】设等比数列｛aj的公比为9,

又。3=2IQ5=8I

则q2="=4,

的=•9，=8x4?=128,

故答案为：128.

11.等差数列｛Qn｝中，Qn+m=A,am-n=B(m>n,m,neN*)，则即

【答案］4拈

【解析】设等差数列｛七｝的公差为d.

,,_fl771—71=[(九+—九)]d!

即4—B=2九•d,

小厘，

2n

又•Qm+n=am+(mn—m)-d,

A-B

A=+九，«~

2n

A+B

2

A+B

故答案为：

-2-

12.焦点在I轴上，焦距等于4,且经过点P（3,-2述）的椭圆标准方程为

2

【答案】工+=1

36

22

【解析】由椭圆的焦点在诵由上，设椭圆的方程为%+方=1（a>b>0）,•.•焦距等于

c=\/a2-62=2

4,且椭圆经过点P（3,-2述）.3?（-2熠2,解之得

a2=36,户=32（舍负）因此，椭圆的标准方程为44=1.故答案为：

ob62

/+Q_1

36+32-1,

13.已知m,2,ri是等比数列(m,ri€R*),那么log2m+log2n=；m+m的最小

值为______

【答案】2;4

【解析】•"，2,九是等比数列（m,rieR*）,

mn=4,

iog2m+log2n=log2mn=log24=2,

「.m+n》2y/mn=4,

当且仅当m=n=2时取得最小值4.

故答案为：2；4.

2322

14.圆:x+y+2ax+a-9^0和圆C2：/+d-4%一1+4庐=0只有一条公切线，

41

若a€R,b€R,且而#0,则f+)的最小值为.

【答案】4

【解析】由题意可得两圆相内切，两圆的标准方程分别为（2+a）?+娟=9,

x2+(y—26)2=1,

圆心分别为(-a,0),(0,2b),半径分别为3和1,故有^2+462=2,

a24-462=4,

—+—=i（—+—（a2+4b2）

a2b241a2+&2八口十）>4,

16622

当且仅当中-=彳时，等号成立，

a2ft2

41

标十万"的最小值为4.

故答案为：4.

三、解答题

（每题10分，共30分）

2

15.数列｛颔｝的前n项和为Sn-l--an（neN*）.

1）判断数列｛Qn｝是什么数列？并证明.

2）求数列｛厮｝的前九项和为SR.

【答案】（1）等比数列；证明见解析.

23

【解析】(1)当九=1时,ai=5i=1——ai,解得Qi=—

35

2

当口22时,(zn=Sn—Sn—i==1一~^n—(1-gQn-1)得5Q.九=2an_i

3

所以，数列｛厮｝是以Ql=:为首项，=士为公比的等比数列.

3o

2)由(1)得：Qn=V

5

n

所以Sn=1-^-an=1-

o

16.已知不等式x2-3x4-1<0的解集为{01</<m,/eR}.

1）求t,TH的值.

2）若不等式/-37+1》QE在X6[1,+oo）上恒成立,求实数Q的最大值.

【答案】（1）1=2,m=2.

（2）25/2-3.

【解析】（1）不等式/一3/+1<0的解集{况[1VI<7n,z€R},

所以I=1是方程/—3~+力=0的根，

所以"2,

则方程为一一3i+2=0,其另一根为2,

所以m=2.

2

（2）由题意可得Q4力—3H—,

X

2

由均值不等式可知：c-3+-22/-3,

x

当且仅当X=通时等号成立，故Q的最大值是2^2-3.

17.从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规

划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少1.本年度当地旅游业收入估计为400万

元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加\.

4

1）设ri年内（本年度为第一年）总投入为所万元，旅游业总收入为幻万元.写出an，心的

表达式.

2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？

【答案】(1)an-4000X1—(,)<5=1600x(?)一1

（2）至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入.

【解析】（1）第1年投入为800万元，第2年投入为800x（1-万元，第n年投入为

800x（1-1万元.

所以，n年内的总投入为

n-1_n_k-l

=800+800x(1—+•••+800x=£800x

k=l

nq

=4000x1-

第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400x（1+1）万元，

第几年旅游业收入为400x(1+；)万元.

所以，n年内的旅游业总收入为

吼=400+400x(1+[)+…+400x(1+1)"1"八"】

=£400x

k=i4

=1600x0)"-1.

(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此

bn—an>0,

即=1600x(I)-1-4000x1-

>0.

化简得5x(g)+2x(4)—7>0,

设1=([)”'代入上式得

5s2—7x+2>0,

2

解此不等式，得c<工，x>l(舍去)

a

由此得7125.

答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入.

四、不定项选择题

(本大题共3小题，每题6分，共18分)

18.已知n为正偶数，用数学归纳法证明

1111111

1-----1--------1-----1------=2----xH-----：—F•••H----时，若已假设71=

234n+1n4-2n+42n

k》2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n=()时等式成立.

A.n=fc4-1B.ri=k+2C.ri=2k+2D.n=2(fc+2)

【答案】B

【解析】由数学归纳法的证明步骤可知，

假设九=fc(2为偶数)时命题为真，

则还需要用归纳假设再证n=k^2,

不是n=fc4-1,因为也是偶数,k+1是奇数.

故选B.

19.已知数列｛Q"是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是()

l°g2(0n){。九+%+1}D.{dn+Qn+1

+Q/I+2}

【答案】AD

【解析】A选项：由数列｛an｝是等比数列，知：

1

在4中，牛=0=工，

Qn+iq

%

・.•｛?｝一定是等比数列，

故A正确;

B选项：在B中，假设所=2n,则1骑(右)2=logf=2n,不是等比数列，

故B错误；

C选项：在C中，an+an+i=an(l+q),

当q=-1时，an+an+1=0,则数列｛加+而+i｝不一定是等比数列，

故C错误；

D选项:.丁+什1=0+1>0,

故｛a4+an+i+an+2｝是等比数列，

故D正确.

故选AD.

20.已知/⑺是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a,beR,满足

f(2n)f(2n)

/(a-b)=a/(b)+6/(a),/(2)=2,a”=^-^(neN*),b=eN*),据此判

71/n/

断下列结论正确的是().

A.7(0)=/(l)B./(c)为偶函数C.数列｛an｝为等比数D.数列｛机｝为等差数

歹11歹！J

【答案】ACD

【解析】A选项：•「a,b€R,

.,.取a=b=0时，/(0-0)=0-/(0)+0-/(0)=0,

/(0)=0,

其a=b=1时，/⑴=/(l)+/(I)=2加)，

■■■/(I)=0,

••/(0)=/(l),

故A项正确；

B选项：a=—1,b=-1,贝(]/(I)=-2/(-1),

由(1)可得f(-i)=o,

令a=-l,b=ar,贝!]/(-ar)=-/(x)+x-/(-l)=-/(a:),

即f(一工)=-/(®)，

f3）是奇函数,

故B项错误；

C选项：此时bn=瓦+(ri—1)=)+n—1=n,

At

.-./(2n)=2n-n,

=丝’=2"，则9±1=2,

n

▽F*2"）

又•跳=下「

•-M+i=b”+1即bn+i•—bn=1,

｛厮｝是等比数列，

故C项正确；

D选项：当a,b>0时，由/(a6)=6/(a)+af(b)可得,

f(ab)=f(a)/(b)

abab

令a=2n,6=2,f⑵=2,得

；(2»+1)_/(2»)/(2)_/(2")

2"+J-2n2-2n'

｛4｝是等差数列，

故D项正确.

故选ACD.

五、填空题

（本大题共3小题，每题6分，共18分）

21.能说明"设数列｛厮｝的前几项和为因,对于任意的n€N*,若a“+i>an,则S4+i>Sn"为

假命题的一个等差数列是.（写出数列的通项公式）

【答案】a0=n-10（答案不唯一）

【解析】a„+i>厮则递增，

存在Sn+iWS”即an的最初位置为负，即可，

,a九—10•

22.已知数列｛。九｝和｛吼｝满足ai=1,bi=0,4an+i=30n-bn+4,4bn+1=3bn-an-4

i贝Ua?i=ibn

【解析】.40九+1=3dn—+4/

4b九+i=3bn—an—4,

..4(%+1+&n+i)=2(0n+bn),

4(Qn+l-bn+1)—4(Qn—bn)+8,

即Qn+i+bn+i=—(an+bn),

&i+l—bn+l=an—&n+2,

又+瓦=1,ai-&i=1,

{an+机}是首项为1,公差为:的等比数列，

{an-勾}是首项为1,公差为2的等差数列，

Qu+=（万J，

0>n—》n=1+2（九-1）=2/1—1；

23.如图一，9个正数排列成3行3列，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且所有

Q1

的公比都是q,已知S2=1,423=（,=（,又设第一行数列的公差为di.

Q12Q13,一一，Ql?2

Q11Q12Q13

。21。22Q23,♦,,,。2?2

。21022023

031032的3，一,,,a3n

031032033

图-厮2Qn3,,一,a加

图二

1）贝!1q=•

2）若保持这9个数的位置不动，按照上述规律,补成一个"行湎I的数表如图二，写出数表

第ri行第"列口加的表达式，求Sn=au+<122+。33H--Fan7l的值

为.

【答案】（1）|

（2）n（1）；2-S+2）6）

【解析】（1）如图一：

Qn。12。13

。21。22@23

。31a32033

>*■ai2=1/

1

a32=“

每一列数成等比数列，

,,^22=Q12・。32=4I

即。22=:(均为正数)，

„13

又7。22=5，。23=彳，

/TC

每一行数成等差数列，

.021+«231

•.022=-2—=2'

1

即0,21=-,

4

.•每一列数成等比数列

公比q=：，

即每一列等比数列公比均为q=:，

・.可得9人正数为：

123

---

222

123

---

444

123

---

888

(2)按照上述规律，

补成一个几行几列的数表：

12345n

------

222222

12345n

------

44444

34

1245n

--8----

8888

23458

1n

----

16116216316416516n

--

32

323232・

32•32,・

：

::：

12345n

2n2^

1234

a+++++n

①Sn=an+。22+。33+***+nn=24816",

将①式等号两边同时乘:得，

123n-1

N=w+w+ii+…+下-

1cli111

①一②后：2Sn=2+4+8+16+，"+2^-71

n

即&=1+万1+14+1耳+-+尹1-71/（5l\）

六、解答题

(一题，共14分)

24.对于各项均为整数的数列｛Q",如果满足+m(m=l,2,3……)为完全平方数，