高中数学-均值不等式教学设计学情分析教材分析课后反思

PAGE1PAGE《均值不等式》教学设计一、问题情境：大屏幕：经典回顾：必修1P54已知函数（1）用定义法证明函数在（0,1]上是减函数，在[1,+∞）上是增函数.（2）求函数在（0，+∞）上的最小值.师：在我们上高一的时候，曾用定义法证明过函数在（0,1]上是减函数，在[1,+∞）上是增函数，并且利用函数的单调性，求函数在（0，+∞）上的最小值,有没有更好的办法能求出这个最值，我们这节课就来解决这类问题。首先，请同学们完成导学案“课前自测”的2个证明。二、温故知新：课前自测：(1)证明:，并说明式中等号成立的条件.(2)已知，求证：.并说明式中等号成立的条件.（两名学生板演）师：请大家对比2个不等式的结构形式及证明过程，想想它们有什么联系和区别？生：将第一个不等式两边同时除以2，就与第(2)个不等式的形式是一样的。它们的区别是的取值范围不同，（1），（2）。师：有需要补充的吗？生：取等条件是一样的，都是当且仅当时，等号成立。师：两位同学说的很好！这2个不等式都很重要，在后续学习中，我们慢慢体会它们在证明不等式，求函数最值等方面的广泛应用。我们把第（2）个结论，称为均值定理。师：（板书：1.均值定理：如果，那么，当且仅当时，等号成立。）大屏幕同步显示，均值定理：如果，那么，当且仅当时，等号成立。师：对任意两个正实数，数叫做的算术平均值；数叫做的几何平均值.你能用文字语言叙述一下均值定理吗？生齐声：两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值。师:也就是说均值不等式刻画了两个均值之间的不等关系（用彩笔将均值不等式重点标记）。同学们想一想，判断这两个命题是否正确,并说明理由。（1）（2）函数的最小值为2。生：（1）不对，应该是正实数。若是负数，不等式不成立，中一个为负一个为正，则无意义。师：非常全面，谁来说说第（2）题呢？生：不正确。当且仅当即时，等号成立，当时，取不到最小值2。师：非常好！通过这两个判断题，你们认为在使用均值不等式时，应该注意哪些问题？生：，取等条件。师：（在板书中标记关键点）在具体应用公式时，除了正用，逆用，还应做到变形用，常用到下面两种变形。板书：2.变形：（1）这是我们对均值不等式做了怎样的变形？生：不等式两边同时乘以2。师：你认为的范围如何？生：。（师在（1）标记）师：（2），你觉得的范围又如何？略沉默一会，有学生喊：可以是任意实数。师：说说理由。生：如果都是正数，肯定正确；都是负的，跟刚才（都是正数）一样；如果一正一负，不等式成立。有学生吆喝：用作差法证明，化简化简跟黑板上的证明题（1）是一样的。师：说得真好！我们可以将（2）成立的条件推广到任意实数，（标记）。请同学们观察均值不等式及其2个变形式，你认为均值不等式研究了哪些量之间的关系？生：均值不等式研究了两个正数的和与积之间的关系。三、合作探究，展示分享：师：了解均值不等式的代数证法，如何从几何角度研究均值定理呢？这个图形我们很难想到，下面，请同学们把教材打开，翻到69页，自学69-70页，了解均值定理的几何解释。作线段，使以为直径作半圆，过点作于，交半圆于点，连接（1）求出和的长.（2）当点在线段（端点除外）上运动时，试探讨与的大小关系.师：如果大家思考得比较成熟了，可以在共同体内交流一下自己的理解认识。学生以共同体为单位交流。师：谁能说说你是如何借助几何图形，解释均值定理的？给出几何画板，给出动态演示。生：在中，是斜边，是直角边，斜边大于直角边，所以.师：有其他看法吗？生：在运动的过程中，，当且仅当与重合时，,即。师：在圆中，是圆的半径，是圆的半弦。如何用这两个几何量描述均值定理呢？生齐声：半径大于或等于半弦。师：均值定理的几何解释就是，半径不小于半弦。四、定理剖析：师：我们从代数、几何角度证明了均值不等式，明确了它就是研究了2个正数的和与积的关系。怎么用均值不等式呢？你能举个例子说明吗？生：当且仅当时，等号成立；师：你想想你说的对吗？生：需要满足生：当且仅当时，等号成立。生：，当且仅当……师：大家快帮忙一起算算看，什么时候等号成立。生：当时，等号成立。师：这个例子真是很好！本身就是正的。如果继续下去，我们能举出无数个例子。不管怎么举例，你都只会选择研究几个量之间的什么关系？生：两个正的量之间的和与积之间的关系。师：看来均值不等式就是把两个正数或正的代数式填到○和□（），当然要特别注意等号成立的条件。以后，我们再遇到类似的结构形式，就要想一想，能不能用均值定理这种特殊的方法来解决问题呢！下面，请同学们完成例题.五、精讲点拨：例：已知求证：并推导出式中等号成立的条件．（找一名学生板演）师：你能说说你为什么这样做？其他同学请看黑板。生：因为所以和都是正数，符合均值定理适用的条件，代进去就证出来了。并且当且仅当时，等号成立。（老师在黑板上标记：正数，取等条件，积为常数）师：说的好，正因为与的积为定值1，帮我们实现了右侧是一个常数的目标。趁热打铁，请同学们继续做跟踪练习。练习：已知求证：找一名同学板演。（法一）生1：即当且仅当且，即时，等号成立；师：关注学生的板演情况，也关注其他的同学的不同做法，并鼓励其展示在黑板上。（法二）生2：当且仅当时，等号成立；师：谁能点评一下这两位同学的做题情况？生：步骤规范，结果都正确。但第二种方法好像步骤更简单一些。师：那你的证明方法是其中之一吗？生：嘿嘿，我也是第一种方法。师：请问生1，你最开始是怎么想的？为什么删掉了？生1羞涩的说：我看到两个正数的积，就想用均值不等式的变形，转化成两个正数的和来解决，结果不会做了！另外不等号的方向也不对！我就展开了，然后就这么做出来了！师：你为什么进行这样的分组？生1：因为它们的乘积是定值。师：非常好！当两个正数的积为定值，它们的和有最小值。师：请问生2，你怎么想到这样做的？生2：刚才咱们举例子的时候，说过再有和，和互为倒数，积为1，所以我就直接用均值不等式了。师：太棒了！回头我们再看看例题及跟踪练习，每一次使用均值定理，两个正数都有这样互为倒数的关系。如果令则所以，当且仅当时，等号成立。你能说出函数在（0，+∞）上的最小值是多少吗？生：最小值为2，在处取得。师：你会求在（0，+∞）上的最小值吗？生：最小值为4，在处取得。师：你怎么求在（0，+∞）的最小值吗？生：用均值定理，，当且仅当时，等号成立。师：我们把求两个正数的和的最小值问题，转化为积有定值来解决，以后再求这类形如的函数在（0，+∞）的最值，我们又多了一种方法——利用均值定理求函数最值。六、梳理知识，总结提升：梳理一下本节课内容，谈谈你的收获和体会。生：这节课我们学习均值定理，从代数、几何两方面进行了证明，知道了它成立的条件是还知道研究取等条件的必要。学习了均值不等式的两个变形及各自成立的范围。生：我会用均值定理证明不等式，求形如在（0，+∞）的最值。师：本来我们是利用均值定理来证明不等式，居然也会求函数的最值了？具备什么特点的函数可以这样求最值呢？生：当两个正数的积为常数时，它们的和有最小值。师：在变式（1）下标记“积为定值，和有最小值”。指着变式（2）那你觉得如何借助来帮我们研究积的最大值呢？生：当和为定值时，积有最大值。师：好！下节课我们讲进一步研究如何利用均值定理求函数的最值。下课！学情分析：学生已经拥有不等关系与不等式的性质为知识基础，并且具有一定的分析问题、解决问题的能力，但文科学生数学基础相对比较薄弱，缺乏知识的探究的主动性、归纳总结的能力。效果分析：通过两个辨析题：（1）（2）函数的最小值为2。以及让学生举例子说明怎样应用均值不等式的教学活动，学生能够认识到均值不等式成立的条件，取等号的条件，以及均值不等式就是研究两个正的量之间的和与积之间的关系，就是把两个正数或正的代数式填到○和□（）。在设计例题及跟踪练习时，通过两名学生不同的做法，在大家的比较过程中，也能归纳总结出两个正数的积为常数时，它们的和有最小值。最后通过换元使学生认识到，例题及跟踪练习本质上是一样的，都可以回扣我们课前的问题，解决特殊的函数最值。个人觉得还是达到了预期的目标。根据课程标准的理念，在学习这部分内容时，按照问题提出——证明——几何解释——应用（不等式的证明，最值的求法，实际问题的解决）的思路呈现。在均值定理的教学中，要让学生通过具体的辨析和应用中，注意到三点：（1）均值定理成立的条件。（2）均值定理是带有等号的不等式，因此对“当且仅当……时，等号成立”这句话的含义要弄清楚。理解相等、不等的界，即等号成立的条件。（3）最值条件：积为定值，和有最小值；和为定值，积有最大值。注重均值定理的探究过程，均值定理的理解，适当关注均值定理在解决实际问题中的应用，而对于利用均值不等式求最值的问题，练习的数量和难度都要适当的控制，不必深究，因为这类问题以后还可以由求导解决。但是目前，解决形如这类函数的最值，均值定理不失为一种特殊的、简便的方法。教材分析：均值不等式，在高中数学中有比较重要的地位，在证明不等式，求函数的最大值和最小值时有着广泛的应用。教材按照问题提出——证明——几何解释——应用（不等式的证明，最值的求法，实际问题的解决）的思路呈现。鼓励学生探究并了解均值定理的证明过程，引导学生尝试提出问题，然后利用均值定理加以解决。在均值定理的教学中，要让学生通过具体的辨析和应用中，注意到三点：（1）均值定理成立的条件。（2）均值定理是带有等号的不等式，因此对“当且仅当……时，等号成立”这句话的含义要弄清楚。理解相等、不等的界，即等号成立的条件。（3）最值条件：积为定值，和有最小值；和为定值，积有最大值。通过本节课的学习，使同学们更好的解决形如这类函数的最值，进一步研究函数的性质，有利于学生证明不等式。评测练习：1.已知求证：.2.设则函数的最大值是（）A.1B.C.D.3.已知均为正数，且则的最小值是（）A.B.C.2D.4课后反思：课堂的节奏把握还应该再合理些，语言应该在精准一些，应该多给学生一些思考交流的空间。通过两个辨析题：（1）（2）函数的最小值为2。以及让学生举例子说明怎样应用均值不等式，让学生认识到均值不等式成立的条件，取等号的条件，以及均值不等式就是研究两个正的量之间的和与积之间的关系，就是把两个正数或正的代数式填到○和□（）。对于学生理解均值不等式还是有很大帮助的。在设计例题及跟踪练习时，通过学生不同的做法，体会两个正数的积为常数时，它们的和有最小值。并且通过换元使学生感受例题及跟踪练习本质上是一样的，都可以回扣我们课前的问题，解决特殊的函数最值。让学生带着思考，如何求两个量积的最大值，也为下一节课利用均值定理求函数最值埋下伏笔。课标分析：根据课程标准的理念，在学习这部分内容时，按照问题提出——证明——几何解释——应用（不等式的证明，最值的求法，实际问题的解决）的思路呈现。在均值定理的教学中，要让学生通过具体的辨析和应用中，注意