信号与系统（谭静）课件ppt 17离散时间信号

信号与系统信息工程系谭静本章主要内容离散时间序列LTI离散时间系统的表示LTI离散时间系统的时域分析零输入响应系统的单位序列响应卷积和运算零状态响应LTI连续系统的时域分析1、LTI连续系统的微分算子方程2、系统的零输入响应4、系统的零状态响应3、系统的单位冲激响应5、系统的全响应LTI离散系统的时域分析1、LTI离散系统的差分算子方程2、系统的零输入响应4、系统的零状态响应3、系统的单位序列响应5、系统的全响应1、离散时间序列是否连续信号的分类（二）连续信号—信号在某一时间段内的所有时间点上(除了有限个断点之外)都有定义。离散信号—信号仅在离散时刻上有定义。间隔 相等的离散信号也称为序列。离散时间序列01234-1-2k1e-1

e-2

e-3

f(k)的值构成一个有序的排列，又记为{f(k)}f(k)既代表一个序列，又代表序列中第k个元素的值（称为样值）。1．单位序列

(k)

0123-1-2k1常用的离散时间信号(即典型序列)抽样性质2．单位阶跃序列

(k)0123-1-2k1与δ(k)的关系:≥典型序列后向差分典型序列GN(k

)

012N-1-1-2k1111NN+1门宽为N3．单位门序列

4．斜变序列5．单边实指数序列

≥典型序列f(k)=ak(k)

0123-1-2k1|a|>1发散f(k)=ak(k)

0123-1-2k1|a|<1收敛6．正弦序列

典型序列kOA时域运算与变换1、加减2、乘法3、移位4、折叠5、倒相6、展缩7、差分y(k)=

f(ak)，a>0注意：（1）展缩时要舍去产生的非整数离散点。（2）离散信号压缩后展宽再不能恢复原序列！

展缩0 1 2 3 4 -1 -2 k 1 1 0 2 4 6 -2 -4 k 1 1 展宽

0 1 2 3 -1 -2 k 1 压缩

后向差分前向差分差分2、LTI离散时间系统的表示差分方程传输算子系统方框图系统的模拟离散时间系统f(k)

y(k)

线性时不变离散时间系统1、线性(齐次性、叠加性)2、时不变性连续时间系统中的激励与响应是连续信号，描述它们之间关系的数学模型是微分方程。离散时间系统中的激励与响应是离散信号，描述它们之间关系的数学模型为差分方程。差分方程可以由连续系统数学模型离散化后得到，也可以直接从离散系统自身规律中得到。LTI离散时间系统的模型R+f(t)-+y(t)-C试写出RC电路离散化后的差分方程。解：不难得到连续系统的微分方程将y(t)等间隔离散化，令时间间隔T很小，则y(t)的导数近似的写为：举例1R+f(t)-+y(t)-CT很小时可用离散时间变量kT代替连续时间变量t。等间隔离散可用f(k),y(k)代替f(kT),y(kT)举例1微分方程变为某储户每月月初定期在银行存款。设第k个月存款额为f(k)，银行支付的月息为，每月利息按复利结算，计算第k月初的本息总额y(k)解：每月本息总额包括：本月存款、上一月本息总额和上一月本息总额产生利息。整理：举例2n阶差分方程一般可表示为差分方程1、由激励序列项（右边）和响应序列项（左边）组成。2、响应序列的变量最高序号和最低序号的差数称为差分方程的阶数。3、变量序号以递减方式排列称为后向差分方程，变量序号以递增方式排列称为前向差分方程。在离散时间系统中引入差分算子E有：传输算子

LTI离散时间系统的传输算子离散时间系统的方框图表示已知某系统方框图，试写出其差分方程。

a

E-1

f(k)

y(k)

y(k-1)

ay(k-1)

解：y(k)=ay(k-1)+f(k)一阶差分方程

E-1

f(k)y(k)E-1

--a0

a1

b0

E-1

b1

y(k)+a1y(k-1)+a0y(k-2)=b1f(k)+b0f(k-1)已知某系统差分方程，试画出其方框图。离散时间系统的模拟3、LTI离散系统的时域分析对于因果系统响应必滞后于激励，故m≤n.1、迭代法—由系统的初始状态及递推式不断迭代(难以得到闭合的解析式)。线性差分方程的求解4、z变换法—类似于连续系统中的拉氏变换法(下一章将介绍)3、零状态＋零输入—yx(k)用求齐次解的方法；yf(k)用求卷积和的方法(*)2、时域经典法—分别求齐次解与特解，再代入边界条件求待定常数。线性差分方程的求解LTI离散系统的时域分析1、LTI离散系统的差分算子方程2、系统的零输入响应4、系统的零状态响应3、系统的单位序列响应5、系统的全响应1、特征根均为单根

1≠2≠…≠n则齐次通解为

yo(k)=C11k+C22k+…+Cnnk

，k>0零输入响应对应的特征方程为2、特征根含有r重根1，其余为单根y0(k)=(C1+C2k+C3k2+…+Crkr-1)1k

+Cr+1r+1k+…+Cnnk式中Ci

(i=1,2,…,n)为待定常数，通过与外施激励无关的初始值代入齐次通解来确定。零输入响应举例LTI离散系统的时域分析1、LTI离散系统的差分算子方程2、系统的零输入响应4、系统的零状态响应3、系统的单位序列响应5、系统的全响应系统的单位序列响应系统的单位序列响应有限长序列：H(E)H(E)单位序列响应离散时间系统的零状态响应1、迭代法(递推法)例：已知系统传输算子，求其单位序列响应：y(k)+a0y(k-1)=f(k)解：写出系统的差分方程为则系统的单位序列响应方程h(k)+a0h(k-1)=δ(k)单位序列响应的求解1h(k)=δ(k)-a0h(k-1)

可以整理为h(1)=0-a0h(0)=-a0

；h(2)=0-a0h(1)=(-a0)2；

h(3)=0-a0h(2)=(-a0)3；

递推过程：h(k)=(-a0)k(k)迭代法不易写出阶数较高时闭式解

对于因果系统k<0时，h(k)=0h(k)=δ(k)-a0h(k-1)

单位序列响应的求解1h(0)=1-a0h(-1)=1；数学归纳法2、等效初值法δ(k)仅在0时作用于零状态系统，k0时仍为零输入相当于δ(k)给系统赋了一定的初始(条件)值，且可由迭代法先求得n阶系统的n个初始条件h(0),h(1),…,h(n-1)。单位序列响应的求解2k1时求h(k)的问题变为零输入响应问题：h(k)+a