2021-2022学年上海市嘉定区高一年级下册学期期中数学试题含答案

2021-2022学年上海市嘉定区第一中学高一下学期期中数学试题

一、填空题

1.已知角。的终边与角尸终边关于夕轴对称，则氏夕的关系是"=

［答案］兀一。+2E,〃£Z##180°—a+4・360,4GZ

【分析】利用角a与B终边关于y轴对称的关系及周期性求解

【详解】因为角。的终边与角〃的终边关于y轴对称，在一个周期1°'2兀）中,

。+夕=兀，即夕=兀-a,所以由周期性知户=兀一夕+2®,keZ.

故答案为：B=R-a+2kK,keZ.

百

cosa=--

2.若2,则cos2a

\_

【答案】2

【分析】直接使用二倍角余弦公式代入求值即可..

出

cosa=----

【详解】因为2,

_1_

故答案为：2

【点睛】本题考查了二倍角余弦公式的应用，考查了代入思想，考查了数学运算能力.

3.已知"4=3.|°回=4,若风在丽方向上的数量投影是2,则方与丽的夹角的余弦值是

2

【答案】3

【分析】写出数量投影的定义，以及向量夹角公式，即可计算结果.

OAOB2

【详解】由条件可知,

〃OAOB斗词22

设而与丽的夹角为生则一网便「网阿「网-3.

2

故答案为：§

4.如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在，秒时相对于平衡位置（即静止时的位置）的高度力厘

〃=nsin/十一「八、

米满足下列关系：I6AZ€L^+o°）,则每秒钟小球能振动次.

h=（）平衡位置

【答案】2兀

【分析】求正弦型函数的频率.

【详解】函数’8山〔'+71浜［0,+00）的周期7=2乃，故频率为万

1

所以每秒钟小球能振动2万次.

1

故答案为：2”,

5.在A/8C中，若sin。/4sin，3+sin?C-sin3sinC,则A的最大值是

7t

【答案】3

【分析】利用正弦定理进行角变边可得6c+。2-利用余弦定理和角的范围即可求解

22222

【详解】sin?A<sin8+sin?C-sin8-sinC结合正弦定理得/+c-he（gpbc<b+c-a,

b2+c2-a2be1

cosA=---------->----=—

所以2bc2bc2,

0<A<——

因为°</<兀，所以3,则A的最大值是3.

7t

故答案为：3

兀

6.已知函数/'（x）=sin°x（。>0）,将/（X）的图像向左平移亮个单位得到函数g（x）的图像，令

Wx）+g（x）,如果存在实数加，使得对任意的实数x,都有〃（加）4力㈤4MM+D成立,则

。的最小值为

【答案】兀

7V=sin(s+4=c"

g(x)=sintyXd---

I2)

【详解】由题意可知:2a)

〃(x)=/(x)+g(x)=sin妙+cos69x=V2sin69X+j

又对任意的实数X,都有'('")<"(x/"S+l)成立，

JW)为Mx)的最小值，i+1)为2)的最大值

।127

।—nx_x___

...2co,<y=n兀，neN,(y>0

二。的最小值为左

二、单选题

7.设a<1,若‘("一1，"+1)是角a的终边上一点，则下列各式恒为负值的是()

A.sina+cosagtana+sinaQCOSa-tanaD.sina-tana

【答案】B

【分析】利用三角函数的定义，求出角。的三角函数值，再根据a<1确定正负性.

选项A可根据a<1进行判定；选项C可由正切的范围进行判定；选项B,D可由三角函数值的正

负性进行判定.

其中°尸为点P到原点。的距离.

.a2+a

sina+cosa=-------

OP,

因为a<1,所以的取值可正可负可为0,故sina+cosa的取值可正可负可为o.

故选项A错误；

tana+sina=tana(1+cosa)

因为tana<0,i+cosa>0,所以匕门。+5抽々<0恒成立

故选项B正确；

因为tana<0,当tanaW-l时，有cosa-tana2cosa+l〉0

又a=0时，tana=-1,costz-tana=cosa+l>0

故选项C错误；

因为sina>0,tana<09所以sina-tana>0

故选项D错误.

故选：B.

y='J2sin（2x——•）y—V2sin（2x4—）

8.函数.4的图像可以由4的图像（）个单位得到.

万n

A.向左平移2B.向右平移2

7171

C.向左平移4D.向右平移4

【答案】D

2x--=2（x--）+-

【分析】由444,可以确定函数图象之间的变换，即可求解.

y=6sin(2x--)=V2sin[2(x--)+—]

【详解】因为“4，474J,

y=V2sin（2x+—）—

所以只需由.4的图像向右平移4个单位得到.

故选：D

【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移，关键要找到两个函数解析式的差异，确定图象的变

换方式，属于容易题.

9.若。为ABC所在平面内一点，且满足（丽-反）（赤+反"况）=0,则“IBC的形状为（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.正三角形D.等腰直角三角形

【答案】A

【分析】利用向量运算化简已知条件，由此确定正确选项.

【详解】依题意（而一无）.（赤+能"丽=°,

CB-^）B-OA+OC-OA）=Q

@-就+宿-%2=0

所以网=1"$=，所以三角形N8C是等腰三角形.

故选：A

10.设函数y=8S（sinx）,则（）

A.它的定义域是[-1,1]B.它是偶函数

C.它的值域是卜c°sl，cosl]D.它不是周期函数

【答案】B

【分析】根据三角函数的性质和复合函数的定义得到定义域，根据偶函数的定义结合三角函数的性

质判定为偶函数，根据正弦函数的值域和余弦函数的单调性对称性求得值域；根据正弦函数的周期

性得到函数的周期性.

【详解】记，(x)=cos(sinx),定义域为R,故A错误;

f(-x)=cos(sin(-x))=cos(-sinx)=cos(sinx)=/(x)

是偶函数，故B正确；

sinxef-1,1],cos(sinX)G[cos1,1]故c错误

f(X+2JT)=COS(sin(x+2兀))=cos(sinx)=/(x)

.•.2兀是函数/,(X)的周期，故D错误.

故选：B.

…。佰+二)sina+cosa二

11.给出下列命题：①函数(32J是奇函数；②存在实数a,使得2.③若

l,y=sin2x+—

白，夕是第一象限角且a</，贝ijtana<tan/?；④x=8是函数.I4J的一条对称轴方程;

y=sin2x+——,0

函数I3J的图象关于点1121成中心对称图形其中正确的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】对于①，先化简，再判断厅偶性；对于②，利用辅助解公式化简后判断：对于③，举例

判断；对于④，代入验证即可

「2吟.2

y=cos—x+—=-sin—x

【详解】解：对于①，因为.㈠2)3(xeR),

22

f(-x)=_sin(——x)=sin—x=-f(x)

33,所以此函数是奇函数，所以①正确；

sina+cosa=41sin(a+—)<V2

对于②，因为4,所以②错误；

7113171/T013万也

a=—,pn=-----tana=tan—=V3>tanp=tan----=——

对于③，若36,此时363,所以③错误；

7T7=sinf2x—+—^sin—=-1x=—y=sin(2x+至)

-X=­

对于④，当8时,I84J2，所以8是函数,I4J的一条

x=一y=sin2x—+—=sin—=1y=sin2x+一

对称轴方程；当12时，’<123J2f所以函数‘I3J的图象不关于

点成中心对称图形,所以④错误,

故选：A

12.已知A、8是任意一个锐角三角形的两个内角，下面式子一定成立的是（）

sinB〉]

A.cosAB.cos5COSJ>1

151

C.°gcoS,leos>D.10gsM*cos8<l

【答案】A

【分析】利用三角函数的单调性，对数的性质或特殊值进行判定.

A+B>-->B>--A>0

【详解】由题意得2,所以22,

1>sin5>sin|--/I।=cosA>0>]

所以12J,即cos/,A正确：

因为0<cos8<l,所以costs'"<cos8°=l,B不正确；

当/=5=60'时，bgcos-osBul,c不正确；

A+B>-->A>--B>0

由2,所以22,所以0<cos8<sin/<l,

所以log..」cosS>logsin,sin"=1,口不正确.

故选：A.

三、解答题

1

■**CL————•।•—•.■•

13.已知单位向量6与/的夹角为且一§,向量”=3q-2G与b=的夹角为凡

（1）求II,II;

（2）求as夕的值.

【答案】⑴科2R⑵亍.

【分析】（1）利用平面向量的数量积的运算求解;

（2）利用数量积的运算求得屋人结合（1）中求得的模，利用向量的夹角余弦值公式计算即得.

+4-12[.=^9+4-12x1=3

卜卜,0鼻_2.1=田

【详解】（1）

=)9+1-6,W=J10-6x1=272

-♦—>/—*—»'x/,2♦2+—♦

（2）a，b=ge[-2%）@6-/尸9,+2弓-9et-e2=11-3=8

ca-b82&

c°z耐而ri-

所以iiii^

£ACB=-ZABC=-

14.如图某公园有一块直角三角形/8C的空地，其中2,6,/C长。千米，现

要在空地上围出一块正三角形区域DE尸建文化景观区，其中。、E、尸分别在BC、NC、

相上.设NDEC=0.

e=-

（1）若3,求WEF的边长；

（2）当®多大时，必匹尸的边长最小？并求出最小值.

—0=----arctan——-----a

【答案】（1）3千米；（2）当22时，SEE的边长取得最小值为7千米.

【分析】（1）由题意易得为等边三角形，从而可求；

（2）由已知结合正弦定理及辅助角公式进行化简即可求解.

0=-CE=-xAE=a--x

【详解】解：（1）设内砂的边长为％千米，由3得2,2,

ZFEA=/r-0--=-ZA=-

△ZE尸中，33,3,

AE-x-a——1x

.・j/EF为等边三角形，2,

2a

x=——

故3,

2a

即GEF的边长为3.

（2）设口痔的边长为x千米,

所以CE=xcosdfAE=a-xcQS0,

竹中，-4一'，"9—,

x_a-xcos0

si/-sine

由正弦定理得，3,

_Ga_yf3a

2sin^+V3cos^j.,八百、

x/7sin（夕+arctan——）

故2,

八万石屈亚aV21

u-----arctan———7=^=——-----a

当22时x取得最小值J77,即AZ）E尸的边长最小值7.

【点睛】方法点睛：解三角形应用题的一般步骤

（1）阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系.

（2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型.

（3）根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.

（4）将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.

15.已知函数/（'）=$"5+26而58$5-8/53>0）的最小正周期为兀

（1）求。的值：

71

（2）将/G）图像上所有的点向右平移W个单位长度，得到函数'=86）的图像，求g（x）的解析

式；

（71兀、

X2€----（p>----V（p

（3）在（2）的条件下，若对于任意的X1,'188人当国时，

/（再）-/（々）>g（%）-g（再）恒成立，求。的取值范围

2兀

g(x)=2sin2x-

【答案】(1)1;(2)〈(3)

【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求

得0=1.

（2）由题意利用函数卜=加皿5+»）的图象变换规律，得出结论.

（3）令心）=f（x）+g（x）,化简函数的解析式,再利用正弦函数的单调性,

【详解】解(1)(^)=sin26yx+2V3sin69xcos6yx-cos2cox

sin2cox-cos2cox=2sin2cox--

I6

/(x)=2sin12"一看

所以

f（x）=2sinf269X--|—=兀

因为函数I6J的最小正周期为兀且。＞0,所以2G,解得啰=1,所以。的值

为1.

兀

（2）因为/（*）图像上所有的点向右平移a个单位长度，得到函数y=g（x）的图像

g(x)=2sinf2x-y

所以g（x）的解析式为

2兀A.(入5n\7iCt

A(x)=/(x)+g(x)=2sinf2x-^j+2sin(2x-=4sin2x-----cos—

(3)令3124

=2&sin2x-型

I12

/n7i

xG——(p,_+(p

因为对于任意的X1,2188当王＞々时，/（%）-/（々）＞8（々）-8（为＞恒成立,

(兀兀I

所以“(X)在口①、飞严格单调递增，

2klt-^-<2x--<2%兀+^^7T--<X<^714--^^

由2122,ZcZ整理可得2424,keZ

h(x)=2^2sinf2x--E--+

所以I12J严格单调递增区间是L2424」，keZ

itn兀.1IK八兀

ktu-----<——0<一+0<%兀+---0<C9<—

所以248824,解得6

所以夕的取值范围是I6」.

16.对于函数〃x）,若在其定义域内存在实数％、，，使得/（X。+'）=/（/）+/（'）成立，称“X）是

'"跃点"函数，并称X。是函数"X）的'"跃点".

（1）求证:函数〃x）=3、+f在［0,1］上是“1跃点，，函数;

⑵若函数8（月=--依2-3在（0,+8）上是“］跃点，，函数，求实数。的取值范围；

71

（3）是否同时存在实数用和正整数”使得函数〃（x）=cos2x一机在。〃句上有2022个，，彳跃点，”若存

在，请求出所有符合条件的山和〃；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析

9

6，+°°)

⑵2

we(-V2,l)u(l,V2)［m=41=

(3)存在，1〃=1011或［〃=2022或［〃=2022

【分析】⑴根据题意令尸(％)=/(%+】)-〃％)-/⑴=2.3'。+2%-3,利用零点存在定理即可证明:

13

(2)由题意可得g(x+D-g(x)-g⑴=3/+(3-2a)x+3=0,可整理得"5比+3》+3),然后用基

本不等式求解即可；

⑶根据题意可得到"一小心+/,然后分〃?e(-亚,1)U(1,回，m=l,m=五或m=-6三

种情况进行讨论即可

【详解】(1)/(/+1)=3"“+(%+1尸=3于+考+2%+1

f

所以〃与)=3'。+片,/⑴=4,

r

令尸(%)=/(x0+l)-f(x0)~/(I)=2-3°+2x0-3

因为尸(0)=-l<0,尸⑴=5>0,所以由零点存在定理可得小,)=0在［OJ