2021-2022学年高二数学下学期同步知识点剖析讲义2导数中的二次求导(人教A版2019选择性必修第二、三册)(解析版)

导数中的二次求导

知识剖析

1二阶导数的概念

如果函数y=f(x)的导数/(%)在x处可导，则称y'的导数为函数y=f(x)在x处的二阶导数，记为/(x).

Eg若函数/(x)=x3,则尸(x)=3x2,f"(x)==\3x2]'=6x.

2二阶导数的意义

二阶导数是一阶导数的导数.从原理上看，它表示一阶导数的变化率；从图形上看，它反映的是函数图像的

凹凸性.

若在(a,b)内/”(%)>0,则f(x)在(a,b)内为凹函数;若在(a,b)内/〃(*)<0,则f(%)在(Q,。内为凸函数;

Egf(x)=ex,其二次导数/〃0)=蜻>0,为凹函数;

f(x)=Inx,其二次导数尸(%)=—或<0,为凸函数；

了解函数凹凸性，对于部分题型有助于更快地找到解题思路，特别是在切线放缩.

3二次求导的运用

①二阶导数在高中教材中没有介绍，我们不好直接使用二阶导数性质，甚至它的符号尸(%).

②二次求导除了可以判断函数凹凸性，还有一个重要运用，

。)使用场景：某些函数一次求导/'(%)后，解/'(久)>0和尸(x)<0难度较大或甚至解不出(即很难得到尸(切

的正负性)，则需要进行“二次求导”.

(")思考：若能知道y=/'(x)的图像(或草图)，其正负性是否更好分析呢？那图如何而来?求导便可画图

拉，分析其单调性、极值、最值等，这样一想便有了以下解题步骤；

。五)解题步骤：设g(x)=f'(x),对g(x)求导g，(x),求出“(x)>0和“(x)<0的解，便可得到g(x)的单调

性，进而求其最值，不难得到g(x)=/'(X)的正负性，由图可知原函数的单调性.

若g'(x)>0也很难求解呢？那就要三次求导.

经典例题

【题型一】判断函数的凹凸性

【典题1】判断以下几个超越函数的凹凸性

(1)/(%)=x1ex(2)/(%)=y(3)/(%)=x,Inx

【解析】⑴/'(x)=(x+l)e*,f"(x)=(%+2)ex,

故/(x)在(-8,-2)上凸，在(-2,+8)上凹；

_1

(2)/'(X)=任/，/(X)=*-曹~2)e:故/(x)在(-8,0)上凸，在(0,+8)上凹;

(3)f'[x)=lnx+1,f”(x)=/故/Xx)在(0,+8)上凹;

【点拨】对于常见的超越函数，需要了解下它们的图象，特别是凹凸性，日后会经常见到它们的踪影，比如

二次求导、求最值.、不等式证明、切线放缩等.

巩固练习

1(★)判断以下几个超越函数的凹凸性

(1)/(%)=V(2)〃x)=£(3)"%)=*

【答案】

1(1)/(x)在(0,e力上凸，在(或+8)上凹(2)f(x)在(0,1)上凸，在(1,+8)上凹

(3)f(x)在(一8,2)上凸，在(2,+8)上凹

【题型二】二次求导与函数的单调性

【典题1】若函数f(x)=詈，0<*1<%2<兀，设a==/(%2)，试比较a,人的大小.

【解析】(要比较a净的大小，显然想到y=/(欠)单调性)

,xxcosx-sinx、几,、.

j(无)=-------,饺=xcosx-sinx,

(要知道原函数y=f(x)的单调性，则分析y=xcosx-sinx的正负性，而它不太好分析，可构造函数y=g(x)

二次求导，分析其单调性最值得到其函数图像便利于分析其正负性)

贝S'(无)=—xsinx+cosx—cosx=—xsinx

当0cx<n'时,g'M<0,即g(x)在(0,兀)上递减,

gW<g(0)=0,(此时得到函数y=g(。)的草图,正负性便确定)

f'(x)<0,f(x)在(0,7T)上递减,

二当0<X]<打<兀，f(xi)>f(.x2)'即a>b.

【点拨】

①要研究函数的单调性，则需要分析导函数的正负性；

②当一次求导后，发现导函数不太“友善”(不能转化为常见的“一次型导数y=kx+b”,“二次型导数

y=ax2+bx+c”，“指数型导数y=kex+b"或其混合型等)，则可考虑构造新函数进行二次求导.

v2

【典题2】求函数/0)=1112炽+1)-£的单调性.

【解析】/'(X)的定义域是(—1,+8),

_2ln(x+l)X2+2X_2(x+l)ln(x+l)-x2-2x

/—x+1(x+1)2—(x+1)2'

设g(x)=2(x+1)ln(x4-1)—%2—2%,

(导函数、=/'(x)的正负性与y=g(x)一致，y=g(%)不能因式分解，函数较为复杂，要判断它的正负性，

若能知道它的图象就好了，便想到二次求导)

则g'(x)=2ln(x4-1)-2%=2[ln(x+1)—x],

(此时要分析y=g'(x)的正负性，也不容易，则可再次求导分析单调性、最值得到它的图象从而分析正负性)

令£(%)=g'(x)—ln(x+1)—x,则£'(%)=一*，

当一1<%<0时，1(%)>0,g'(x)在(一1,0)上单调递增；

当x>0时，<0,"(%)在(一1,0)上单调递减；

.••9(灯在》=0处有最大值，而g，(0)=0,(注意到g'(0)=0,g'(x)的零点)

•••g'M<0，函数g(x)在(-1,+8)上是单调递减，

当一1cx<0时，g(x)>g(0)=0,f'(x)>0,f(x)递增;

当x>0时，g(x)<g(0)=0,fix')<0,f(x)递减；

(注意到g(0)=0,事情就这么巧，分析出y=f'(x)正负性了)

、、\y=g(，*j趋势图

Z=/'(工J的穿线图

・••/■(X)的单调增区间是(—1,0),递减区间是(0,+8).

【点拨】

①本题的思路是

/O)单调性一尸。)正负性

|难

g(x)=尸(x)趋势图一g，(x)正负性

|难

=g'(x)趋势图一£'(%)正负性

②本题中作了“3次求导”；当导函数形式较为复杂，利用导数画出导函数的趋势图，数形结合便较容易得

到它的正负性了，此时也要注意一些特殊点，比如g'(0)=0,5(0)=0.

【典题3］求g(%)=e"+cosx-ax-2(%>0)的单调性.

【解析】g'(x)=ex-sinx-a,

令p(%)=g'(x)=ex-sinx-a,(构造函数二次求导)

故p'(x)=ex-cosx,

当%>0时，p'(x)>1-cosx>0,故p(x)在［0,+8)上单调递增，

(注意三角函数的有界性)

(此时P(X)mE=p(0)=1-a,分析正负性要确定导函数是否有零点，分1—Q<0和1—Q>0讨论.)

①当Q<1时，p(x)>p(0)=1-a>0,即g'(%)>0,

故g(x)在［0,+8)上单调递增；

p(z)的趋势图/

加工)的穿线图1一〃

—7^一

✓

②当a>1时,p(0)=1—a<0,且p(E(a+1))=1—sin(lna(a+1))>0,

f

故存在&6(0Jn(a+1)］,使得p(%o)=g(x0)=0,

(ln(a+1)这取点较难，而当％—+oo,p(x)t+8,也可知y=p(x)零点式()的存在)

当0V%<与时，g'(%)<0,g(x)单调递减；

当时，gf(x)>0,g(%)单调递增.

—/:

,㈤的穿战力~'0卜二/>

综上所述，当aWl时.，g(x)在［0,+8)上单调递增；

当a>l时，g(x)在［0,+8)上先减后增.

【点拨】本题是二次求导在处理含参函数单调性中的运用，在分析导函数正负性，要确定是否存在零点,

有时要分类讨论.

巩固练习

1(★★)求函数f(x)=咛当竺(X>1)的单调性.

_(!nx+燮)a-l)-(x+l)(nx_x2-2xlnx-l

【解析】/(x)=----------记于-------=g)2，

令g(%)=x2-2xlnx—1,则g'(%)=2x-2lnx-2=2(x—Inx-1)

令t(x)=%—Inx—1,则t'(x)=1—：=>0,

••・t(x)在(1,+8)递增，t(%)>t(l)=0,即g'(x)>0,

・•・g(x)在(1,+8)递增，・•・g(x)>g⑴=0,即/(%)>0,

・•・/(%)在(1,+8)递增.

2(★★)求函数/(%)=sinx•仇》在区间(1,7i)的单调性.

【解析】*f(%)=sinxlnx二/'(%)=cosx,Inx+

①当％6(1，卞时，/(%)>0,/(%)单调递增；

②当％E(],71)时，设g(x)=/'(%)=cosxlnx+

则g'。)=-s讥%①工+空詈一量^V0，・,•/(%)在©,兀)内单调递减,

又'.尸0,=-Inn<0

二在6,九)内存在唯一的〜,汗)，使得/'(殉)=0，

当无，％0)时，/\x)>0,/。)单调递增；

当比6(%0㈤时，/'(%)<0,/(%)单调递减.

综上所述,心功在(1,九)内先增后减.

?(★★★)求函数/(%)=(X+Q)%+1在(1,+8)的单调性.

【解析】f'M=lnx+^-l=lnx+^=^^,

zXXX

设g(%)=%+Q，

则g'(x)=/nx4-1>0,Ag(x)在(1,+8)上递增，・•.g(%)>g(l)=Q；

①当QNO时，g(x)>0,即/(%)>0,・•./(%)在区间(1,+8)上单调递增，

②当QV0时,g(l)=a<0,当x—>+8时g(x)-4-oo,

则存在%0G(1,+8)使得g(a)=0,

当%6(1/&)时,g(%)<0,即/(%)<0,/(%)递减;

当工€(%0，+8)时，g(x)>0,即/(%)>0,/(%)递增；

综上所述，当Q20时，/(%)在(1,+8)递增；当Q<0时/(%)在(1,+8)上先减后增.

【题型三】二次求导与不等式证明

【典题1】已知函数f(x)=(X+1))X-%+1,

(1)若%尸(%)<%2+ax+1,求a的取值范围；

(2)证明(％—1)/(%)N0.

【解析】(l)f'(%)=拳+Inx—1=Inx+p%((%)=xlnx+1,

2

题设%f'(》)<x+ax+1等价于"%-％WQ.(分离参数法)

令。(%)=仇无一，则“(%)=(-1

当0V%<1,g'(x)>0；当x>1时，g'(X)<0,

x=1是g(x)的最大值点，g(x)<g(l)=-1,

综匕Q的取值范围是［一1,+8).

(2)方法1

要证(%-l)f(x)>0,

只须证明OVxWl时，/(%)<0；当％>1时，/(%)>0即可(*).

(即需要了解函数/(%)的图像)

由(1)可知/'(X)=lnx+p(该函数正负性有些难判断，想到可二次求导)

令g(x)=f'M=inx+则g'(x)=：-9=妥，

显然当0<%41时，gfM<0,当%>1时，“(%)>0,

即/''(x)=/x+；在(0,1)上为减函数，在(1,+8)上为增函数，

f'M>/(1)=1>o,即/(X)在(0,+8)为增函数,

由于/(I)=0

(这点关键，解题中多注意“特殊点”，由于要“了解函数/㈤的图像”和“证明(*)”的思路也不难想到)

则0V%W1时,/(%)<0；当x>1时，/(x)>0

•••(%-1)/(%)>0.

方法2由(1)知，g(x)<g(l)=-1,即—％+

当0Vx41时，f(x)=(x+l)lnx—%4-1=xlnx+(Inx—%4-1)<0；

当x>1时，/(x)=Inx+(xlnx—久+1)=Inx+x(lnx+：—1),

(这步提出尤有些“巧妙”)

令九(%)=Inx+(-1(%>1),h'(%)=^(x>1),

所以当%>1时，"(%)>0恒成立，

所以当%>1时，h(x)>/i(l)=0,

即x>1时，/(x)=Inx+(xlnx—x4-1)=Inx+x(lnx+：—1)>0,

所以当%>1时，(％-1)/(%)>0,

综上，(x—l)/(x)>0.

【点拨】比较第二问两种方法，还是方法一的“二次求导”的思路来得自然些，当一次求导后感觉到“解

r(x)>0和((君<0难度较大或甚至解不出(即很难得到了'(X)的正负性)”，则可尝试下“二次求导在整个

过程中，数形结合的思想“如影随形”，不管是原函数/(x)还是导函数f'(x)的图像.

【典题2］设函数/(x)=ax-Inx—2(aeR),

(1)求/(x)的单调区间

(2)若g(x)=ax—e",求证：在x>0时，/(x)>g(x-).

【解析】(l)f'(x)=a-：=三4(%>0)

①当。£0时，/'0)<0在(0,+8)上恒成立，

・••/(X)在(0,+8)上是单调减函数，

②当a>0时，令((x)=0,解得x=5

当xe(0,9时，f(%)<0,/(x)单调减，

当xe(3，+8)时，f(x)>0,f(x)单调增，

综上所述：当aWO时，/(x)的单调减区间为(0,+8)；

当a>0时，f(x)的单调减区间为(0谭)，单调增区间为G,+oo).

(2)证明：当％>0时，要证/(%)—QX+e*>0,即证e"—hix-2>0,

令九(x)=ex-Inx一2(%>0),只需证九(%)>0,

・・・〃(%)=〃—：(求解二一：>0很难，得不到"(%)的正负性，故想到：次求导)

令s(x)=-^(x>0),

则s，(x)=e"+妥>0,函数s(%)在(0,+8)单调递增，

又•・•s(l)=e-1>0,sg)=e3—3<0

.•・$(；0在@,1)内存在唯一的零点，

(这是“隐零点问题”，得到零点的取值范围较为关键)

即〃(©在(0,+8)上有唯一零点，设〃(%)的零点为t(1<t<l),

则”(t)=/一：=0,即

・•・当》W(0J)时,九'(%)<九'(。=0,九(%)为减函数，

当xw(t,+8)时，h!(x)>hl(t)=0,h(%)为增函数,

・,・当%>0时，h(x)>h(t)=ef—/nt—2=1+t—2,

又[vtvl,,•，+t>2,(对勾函数丫=：+亡可知)

:.h(x)>0=1+t-2>2—2=0.

即在%>0时，/(%)>g(x).

巩固练习

1(★★★)证明当x>0时，%--<sinx.

6

【证明】设/(无)=sbrx—x+9,

6

则((X)=COSX-14-y

令9(%)—/'(%)—COSX-1+?，

贝Ug'G)=-sinx+x

令t(x)=—sinx+%,

则£，(x)=1—cosx>0(仅在％=2kn(kEZ)处=0

・•・当%>0时，t(x)单调递增，

从而有t(%)>t(0)=0,即g'(x)=-sinx+x>0(%>0),

・•・当x>0时，g(x)单调递增，

•••g(x)>g(0)=0,即当%>。时，f'(x)>0；

・•.当x>0时，f(%)单调递增，

/(x)>/(0)=0,即x——<sinx[x>0).

2(★★★)已知函数/(无)=e",g(%)=，Q为实常数，

(1)设9(%)=/(%)-9(%),当a>0时,求函数F(%)的单调区间;

(2)当。=—e时，直线x=m,x=n(m>0,71>0)与函数/(刀)，g(x)的图像共有四个不同的交点，且以此

四点为顶点的四边形恰为平行四边形，求证：(m—l)(n—l)<0.

【答案】(1)F(x)的单调递增区间为(-8,0),(0,+叼，无单调递减区间.

(2)见解析

【解析】(l)F(x)=靖一,其定义域为(-8,0)U(0,+叼

而F，(x)="+/，

当a>0时,F'(x)>0,

故尸(x)的单调递增区间为(--,o),(o,+8),无单调递减区间.

(2)证明：因为宜线x=m与x=n平行，

故该四边形为平行四边形等价于f(m)—g(m)=/(n)—g(n)Jl?n>0,n>0.

当<1=一e时，F(x)=/(x)—g(x)=e*+?(x>0),

则F(x)=ex令g(x)=F'[x)=ex

则g'(X)=e*+1>0,

故尸(x)=e*一2在(0.+叼上单调递增；

而产'(1)=e-J=0,

故x6(0,1)时尸(x)<0,F(x)单调递减;xG(1,+8)时卜(切>0,尸(X)单调递增;

而尸(TH)—F(n),

故0VmV1V几，或0<九<1<

所以(m—1)(九一1)<0.

?(★★★★)已知函数f(无)