2021北京重点校初一（上）期中数学汇编：解一元一次方程(一)

2021北京重点校初一（上）期中数学汇编

解一元一次方程

一、单选题

1.（2021•北京师大附中七年级期中）已知人为非负整数，且关于x的方程3（x-3）=丘的解为正整数，则人的所有

可能取值为（）

A.2,0B.4,6C.4,6,12D.2,0,6

2Y_1yt1

2.(2021•北京师大附中七年级期中)把方程3x+—§—=3-号去分母正确的是()

A.18x+2(2x-l)=18-3(x+l)

B.3x+(2x-l)=3-(x+l)

C.18x+(2x-l)=18-(x+l)

D.3x+2(2x-1)=3-3(x+1)

3.（2021•北京一七一中七年级期中）解方程空-史＞■=1时，去分母、去括号后，正确的结果是（）

36

A.4x+l-10x+l=1B.4x+2-1Ox-1=1

C.4x+2-10x-l=6D.4x+2-10x+l=6

4.（2021•北京・汇文中学七年级期中）如图表示3*3的数表，数表每个位置所对应的数都是1,2或3.定义

为数表中第。行第％列的数.例如，数表第3行第1列所对应的数是2,所以3*1=2.若2*1=（2x+l）*2,

则x的值为（）

第1列第2列第3列

r、

第1行232

第2行313

第3行232

X.J

A.0,2B.1,2C.1,0D.I,3

5.（2021•北京师大附中七年级期中）若x=2是关于x的方程2x+3m-l=0的解，则加的值为（）

A.3B.-3C.1D.-1

6.（2021•北京八十中七年级期中）如果关于x的方程2（x+a）-4=0的解是x=-l,那么。的值是（）.

A.3B.-3C.-1D.1

7.（2021•北京・汇文中学七年级期中）若kl是关于x的方程2x+a=5的解，则。的值为（）

A.7B.3C.-3D.-7

二、填空题

8.（2021•北京四中七年级期中）学习了一元一次方程的解法后，老师布置了这样一道计算题两位同学的解答过程

分别如下:

1/17

甲同学：乙同学：

解方程婴-十=1解方程竽_\2=i

解：掾x4-平x4=lx4…第①步解：誓x4-7x4=l…第①步

2(3x+l)-x-7=4…第②步2(3x+l)-x-7=l…第②步

6x+2-x-7=4…第③步6x+2-x-7=l…第③步

6x-x=4-2+7…第④步6x-x=l-2-7…第④步

5x=9…第⑤步5x=-8…第⑤步

QQ

X='...第⑥步x=-第⑥步

老师发现这两位同学的解答过程都有错误，请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他找到错误

之处.

（1）我选择同学的解答过程进行分析（填“甲”或“乙”）；

（2）该同学的解答过程从第步开始出现错误（填序号）.

9.（2021•北京师大附中七年级期中）我们知道，丁1=1-：，……因此关于x的方

1x222x3233x434

程内Y+3Y+为Y=120的解是：关于x的方程77X7+不X+……+77X^=2021的解是（用

含”的式子表示）.

10.（2021•北京一七一中七年级期中）若方程2x7=3和方程4x-4=2的解相同，则”.

11.（2021•北京八十中七年级期中）如右图的框图表示解方程3x+20=4x-25的流程，第3步变形叫做

，变形的依据是.

12.（2021•北京一七一中七年级期中）若+是关于x的一元一次方程，则方程的解为

13.（2021•北京・汇文中学七年级期中）解方程5=2相时，移项将其变形为3机2机=5的依据是

三、解答题

14.（2021•北京师大附中七年级期中）小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若

%是关于x的一元一次方程*+b=O（awO）的解，％是关于N的方程的所有解的其中一个解，且%,%满足

%+为=100,则称关于夕的方程为关于x的一元一次方程的“友好方程”.例如：一元一次方程3x-2x-99=0的解

2/17

是x°=99,方程/+1=2的所有解是y=l或y=-l,当%=1时，/+%=100,所以/+1=2为一元一次方程

3x-2x-99=0的“友好方程”

(1)已知关于的方程：①“-2=4,@\y\=2,哪个方程是一元一次方程3x-2x-102=0的“友好方程”？请直接

写出正确的序号是.

(2)若关于N的方程|2y-2|+3=5是关于x的一元一次方程x-生曰=。+1的“友好方程”，请求出。的值.

(3)如关于N的方程2，〃|N-491+驾尹=加+〃是关于x的一元一次方程+45n=54m的“友好方程”，请直接写

45

出上士的值.

n

15.(2021,北京师大附中七年级期中)数学家欧拉最先把关于x的多项式用记号/(x)来表示，例如

2

/(X)=X+3X-5,并把x=常数a时多项式的值用/(a)来表示，例如x=l时多项式》2+3X-5的值记为

/(l)=l2+3xl-5=-l.

(1)若规定/'(x)=2x-3,

①/(-1)的值是;

②若/(x)=7,x的值是；

(2)若规定g(x)=|x-2|,A(x)=|x+3|.

①有没有能使g(x)=〃(x)成立的x的值，若有，求出此时x的值，若没有，请说明理由，

②直接写出g(x)+〃(x)的最小值和此时x满足的条件.

16.(2021•北京八十中七年级期中)定义：若整数人的值使关于x的方程守+l=h的解为整数，则称人为此方

程的“友好系数”

x+4

(1)判断尢=0,◎=1是否为方程亍+1=区的“友好系数”，写出判断过程；

(2)方程宝+1=依“友好系数”的个数是有限个，还是无穷多？如果是有限个，求出此方程的所有“友好系数”；

如果是无穷多，说明理由

17.(2021•北京师大附中七年级期中)4(x-l)-3(20-x)=5(x-2).

18.(2021•北京师大附中七年级期中)1二匕

19.(2021,北京师大附中七年级期中)对于任意有理数a，b,定义运算：aOb=a(a+b)-\,等式右边是通常的

力口法、减法、乘法运算，例如，205=2x(2+5)-1=13；(-3)O(-5)=-3x(-3-5)-l=23.

(1)计算(-2)03；=；

(2)对于任意有理数加，〃，请你重新定义一种运算“㊉”，使得5㊉3=20,写出你定义的运算：，〃㊉〃=

(用含机，〃的式子表示).

3/17

一般情况下，对于数。和6,：+2*坐，但是对于某些特殊的数。和3£+2=坐・我们把这些特殊的数。

242+4242+4

和6,称为“理想数对”，记作6）.例如当。=1,6=-4时，有g+?=空?，那么（1，-4）就是“理想数对”.

①（3,-12）是不是“理想数对”?；（填“是”或“不是”）

②如果（2,X）是“理想数对"，那么x=

求3卜-3〃?

（3）若（，〃,〃）是“理想数对”,-4m-16的值.

20.（2021•北京•北师大实验中学七年级期中）2（2-x）-5（2-x）=9

21.（2021•北京师大附中七年级期中）已知关于“的方程X-，竺=一的解是非负数，求加的取值范围.

22.（2021•北京・北师大实验中学七年级期中）“☆”是新规定的某种运算符号，设“☆/>=尤+。-6,解方程：2+x=

-8.

23.（2021•北京一七一中七年级期中）解下列方程：

（1）l-2（2x+3）=-3（2x+l）

24.（2021•北京八十中七年级期中）解方程:

（1）2x+5=3（x-l）；

⑵X上J+I

24

25.（2021•北京四中七年级期中）解方程

（1）5x+4（3x-l）=13

2.x—72—3x[

(2)------------=1

32

2

26.（2021•北京师大附中七年级期中）-§x-l=5.

27.（2021•北京•汇文中学七年级期中）解方程：2+一=g

28.（2021•北京•汇文中学七年级期中）解方程：3x+5=30-2x

4/17

参考答案

1.A

【分析】

方程整理后，根据方程的解为正整数确定出％的值即可.

【详解】

解：方程去括号得：3x-9=kx,

移项合并得：(3TDx—9,

解得：x=F9v，

3-k

由x为正整数，人为非负整数，

得到k=2,0,

故选：A.

【点睛】

此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.

2.A

【分析】

根据题意可得将方程两边同时乘以6即可去掉分母，据此进一步计算判断即可.

【详解】

原方程两边同时乘以6可得：18x+2(2x-l)=18-3(x+l),

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握相关方法是解题关键.

3.C

【分析】

对原方程按要求去分母，去括号得到变形后的方程，再和每个选项比较，选出正确选项.

【详解】

2x+l10x4-11

—^=1，

去分母，两边同时乘以6为：2(2x+l)-(10x+l)=6

去括号为：4x+2-10x-l=6.

故选：C.

【点睛】

此题考查解一元一次方程的去分母和去括号，注意去分母是给方程两边都乘以分母的最小公倍数；去括号时，括号

前是负号括在括号内的各项要变号.

4.C

【分析】

5/17

首先根据题意，由2*1=(2x+l)*2,可得：(2x+l)*2=3,然后根据数表，可得：2x+l=3或2x+l=l,据此求

出x的值为多少即可.

【详解】

解：v2*l=(2x+l)*2,

:.(2r+l)*2=3,

根据数表，可得：2x+l=3或2x+l=l,

解得：x=\或x=0.

故选：C.

【点睛】

此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并

同类项、系数化为L

5.D

【分析】

根据方程的解的定义，将x=2代入方程得到关于〃?的一元一次方程，解方程求解即可.

【详解】

解：•.•*=2是关于x的方程2x+3〃?一l=0的解，

二2x2+3机-1=0

解得”「=-1

故选D

【点睛】

本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握方程的解的定义是解题的关键.使方程左右两边的值相等的

未知数的值是该方程的解.

6.A

【分析】

将x=-l代入2(x+a)-4=0,进行计算即可得.

【详解】

解：将》=-1代入2(x+a)-4=0,

2(-l+a)-4=0

—2+2。—4=0

解得a=3

故选A.

【点睛】

本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的方法.

7.B

【分析】

将x=l代入方程可得一个关于a的一元一次方程，解方程即可得.

【详解】

6/17

解：将x=l代入方程2x+a=5得：2+a=5,

解得”3,

故选：B.

【点睛】

本题考查了一元一次方程的解，掌握理解方程的解的定义是解题关键.

8.乙①

【分析】

(1)选择乙同学的解答过程进行分析；

(2)根据解一元一次方程的步骤进行计算，则可发现从第①步开始出现错误.

【详解】

解：(1)我选择乙同学的解答过程进行分析；

(2)^^--^-=1

24

方程两边同时乘以4,得：2(3x+l)-(x-7)=4,

去括号，得：6x+2-x+7=4,

移项，得：6x-x=4-2-7,

合并同类项，得：5x=-5,

系数化1,得：x=-\.

该同学的解答过程从第①步开始出现错误；

故答案为：(1)乙：(2)①.

【点睛】

本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解答本题的关键.

―2021(/1+1)2021、

9.x=160x=---------(或X=2021H----------)

nn

【分析】

(1)根据题意将方程的左边变形，进而即可求解；

(2)同(1)的方法解一元一次方程即可

【详解】

XXX

(1)--------F---------1--------=120

1x22x33x4

可化为：x(l--+---+---)=120

22334

3

即彳x=120

解得x=160

XX

(2)-1--x--2---1---2--x--3---H.......+4^71)=2021

x(l--+--+-—)-2021

2nn+l

7/17

n

g|J——x=2021

n+1

g殂20215+1）/千2021

解得户---------（或x=2021+-----）A

nn

【点睛】

本题考查了解一元一次方程，仿照例题解决问题是解题的关键.

10.6

【分析】

本题中有2个方程，且是同解方程，一般思路是：先求出不含字母系数的方程的解，再把解代入到含有字母系数的

方程中，求字母系数的值.

【详解】

解方程2A-1=3,

得：x—2,

把x=2代入4x-a=2,

得：4x2-a=2,

解得：＜7=6.

故答案为：6.

【点睛】

本题考查同解方程的知识，比较简单，解决本题的关键是理解方程解的定义，注意细心运算.

11.系数化为1等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0）,所得的结果仍是等式.

【分析】

根据等式的性质进行求解即可.

【详解】

解：第三步的做法是两边都除以-1即叫做系数化为1,其依据是：等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不

能为0）,所得的结果仍是等式.

故答案为：系数化为1,等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0）,所得的结果仍是等式.

【点睛】

此题考查了解一元一次方程，等式的性质，熟练掌握解方程的步骤是解本题的关键.

3

12.x=一

2

【分析】

根据一元一次方程的定义即可求出答案.

【详解】

解：V（m+l）xw-3=0是关于X的一元一次方程

且加+1片0,解得：m=l

3

•••原方程为2x-3=0,解得：x=j

8/17

3

故答案为：x=~2

【点睛】

本题考查一元一次方程，解题的关键是熟练运用一元一次方程的定义，本题属于基础题型.

13.等式的基本性质1

【分析】

解方程3〃?=5+2m时、“移项”将其变形为3加-2加=5的依据是等式的基本性质1：等式两边加同一个数(或式子)结

果仍得等式.

【详解】

解：依据等式的基本性质1,

等号的两边同时减2m加5得3W-2机=5.

故答案为：等式的基本性质1.

【点睛】

本题主要考查了解一元一次方程，要熟练掌握，注意等式的性质的应用.

14.(1)②；(2)95或97：(3)16

【分析】

(1)先求出一元一次方程3x-2x-102=0的解，再解方程2y-2=4和|川=2,根据“友好方程”的定义去判断；

(2)解出方程|2y-2|+3=5的解，一元一次方程x一名铲=。+1的解是*="3,分类讨论，令x°+%=100,求

出a的值；

(3)一元一次方程mx+45〃=54,"解得x=二54加上一上45〃=544-5〃3，由/+为=100得y=100—x=4侬5〃+46,把它代

mmm

入关于y的方程即可求出结果.

【详解】

解：(1)一元一次方程3x-2x-102=0的解是x°=102,

方程2y-2=4的解是＞=3,%+”400,故不是“友好方程”，

方程3=2的解是y=2或%-2,当％=-2时，/+%=100,故是“友好方程”,

故答案是：②；

(2)方程|2尸2|+3=5的解是尸2或丁=0,

一元一次方程X-空言=。+1的解是＞。+3,

若%=2,%+%=100,则。+3+2=100,解得。=95,

若%)=0,Xo+^o=100,则4+3+0=100,解得。=97,

综上，。的值是95或97；

(3)加x+45〃=54加,54/w—^45/=754-4—5〃,

mm

•,•x0+y0=100,

9/17

Aj/=100-x=-+46,

m

।,y-1)

v27w|y-49|+—七一-=m+n,

c45〃A,“八45n+45加

・•・2m-----F46-49+---------=+〃

m45

c45〃,

2m-------3+〃？+〃=〃？+〃

m

2ni--3=0,

tn

•・,分母m不能为0,

45〃n1

--3=0,B|J-=—,

mm15

—=15,

n

m+nm

=—+1=16.

nn

【点睛】

本题考查解一元一次方程，解题的关键是理解题目中定义的“友好方程”，通过解一元一次方程的方法求解.

15.

(1)①-5；②5,

(2)①有，x=-1,见解析；②g(x)+〃(x)的最小值是5,-3勺£2

【分析】

(1)①当尸-1时，计算2义(-1)-3；

②计算2x-3=7,求得x即可；

(2)①x-2=x+3或x-2=-(x+3),解方程即可；

②|x-2|+|x+3|表示动点工到2和-3的距离和，按照x>2,x<-3,-3SW2分别计算比较结果即可.

(1)

(1)①•.•/(x)=2x-3,

..・当x=-1时,2x(-l)-3=-5,

的值是5

故答案为：・5；

②・・・/")=2x-3,/(x)=7

・・・2xx-3=7,

AX=5,

故答案为：5；

10/17

(2)

①有，尸一；，理由如下：

vg(x)=|x-2|,A(x)=|x+3|,且g(x)=〃(x),

••.x-2=x+3,无解；

或x-2=-(x+3),

解得x=-;,

故当JC=-g时，g(x)=〃(x)；

②设动点P表示的数为X,点/表示的数是-3,点8表示的数2,

则|x-2|+|x+3|表示数轴上动点尸到点A和点B的距离和即PA+PB,

当x>2时，如图所示，

ABP.

--------•----1---1-1----1----•----L-0J----->

-4-3-2-101234

PA+PB>AB=2-(-3)=5；

当x<-3时，如图所示，

PAB

—~.—>--1--1----1----1---•---1--1------>

-4-3-2-101234

PA+PB>AB=2-(-3)=5；

当-3*2时，如图所示，

APB.

--------•---1---1----i_<_i----•---1---1------>

-4-3-2-101234'

PA+PB=x+3+2-x=5=AB=1-(-3)=5；

故当-3OW2时，g(x)+/»(x)有最小值，且为5.

【点睛】

本题考查了求函数值，自变量的值，解方程，绝对值的化简，数轴上的动点问题，熟练掌握绝对值的化简，数轴上

的动点问题是解题的关键.

16.(1)勺=0,左2=1是友好系数；(2)左=0或±1或2

【分析】

(1)分别算出当％=尢=。和4=勺=1时方程的解，然后进行判断即可；

(2)先算出当%=!时，*+6=》即0=6不成立，当当女中：时，x=-^~,再根据x是整数，4也是整数进行求

222A--1

解即可.

【详解】

x+4x+4

解：(1)当亍+1=幻时，即亍+1=0,

11/17

・•・x+4+2=0,

解得x=-6,

・・.4=0是方程的“友好系数”；

x+4x+4

当±工±+l=&x时，即为：+l=x,

22

x+4+2=2x,

解得x=6,

.•・a=1是方程的“友好系数”；

・•・x+4+2=2kx,

当左=；时，x+6=x即0=6不成立,

二要使得X的值为整数，则&=±6或"_；=±3或"_；=±2或±=±1,

又•"为整数，

二解得左=0或±1或2.

【点睛】

本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次方程的方法.

17.x=27

【分析】

按照一元一次方程的解题步骤，仔细求解即可.

【详解】

v4（x-l）-3（20-x）=5（x-2）,

去括号，得

4x-4-60+3x=5x-10,

移项，得

4x+3x-5x=60+4・10,

合并同类项，得

2x=54,

系数化为1,得

x=27.

【点睛】

本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键.

18.x=-9

【分析】

12/17

按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1五个步骤仔细求解即可.

【详解】

x-34x+11

V-----------------=1

25'

去分母，得

5(x-3)-2(4x+l)=10,

去括号，得

5x-l5-8x-2=10,

移项，得

5x-8x=10+15+2.

合并同类项，得

-3x=27,

系数化为1,得

x=-9.

【点睛】

本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的五步骤解法是解题的关键.

19.

(1)-4；

(2)m(〃+1)；①是；

(3)-16

【分析】

(1)根据新定义，计算-2x(-2+33)-1即可：

(2)根据5㊉3=20=5x4=5x(3+l),定义加㊉〃=加(〃+1)；

①验证等式是否成立；

②构造方程］+：=三4，解方程即可：

(3)〈私是“理想数对”，确定〃7,〃之间的关系，化简已知代数式，代入求值即可.

(1)

vaO6=a(a+Z?)-l,

••・(-2)03；=・2x(-2+33)-1=-4,

故答案为：-4；

(2)

v5©3=20=5x4=5x(3+l),

13/17

m@n=m(〃+l)；

①L3,8=-12时，有＜+士」J+(T2),

—2422+4

•••(3,-12)是“理想数对”,

故答案为：是；

②：口㈤是“理想数对”，

2x2+x

—।—=-------，

242+4

解得x=-8；

(3)

是“理想数对”，

mnm+n

••—I—=----------，

242+4

解得n=-4mf

•••3(9〃_4〃?)_8(〃_,〃?)]_4加_16

28

=3x(9〃-4m—8n+—m)~4机—16

=3”+16加

=3n+12m-16,

当n=-4用时，

原式=-12”?+127n-16

=-16.

【点睛】

本题考查了实数的新定义，一元一次方程的解法，代数式的化简求值，正确理解新定义，熟练掌握一元一次方程的

解法，熟练进行化简求值是解题的关键.

20.x=5

【分析】

去括号、移项、合并同类项、系数化为1,据此求出方程的解即可.

【详解】

解：去括号,可得:4-2x-10+5x=9,

移项，合并同类项，可得：3x=15,

系数化为1,可得：x=5.

【点睛】

此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并

同类项、系数化为L

21.m的取值范围是m42.

【分析】

14/17

先根据等式的性质求出方程的解，即可得出关于m的不等式，求出不等式的解集即可.

【详解】

解：去分母得：3x-(2x-=2-x,

去括号得：3x-2x+m=2~x,

移项合并得：lx-2-m,

2-m

vx>0,

解得：m<2,

所以m的取值范围是用42.

【点睛】

本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是把字母m看作一个常数来解，本题是常见的题型，要求掌握.

22.x=-10

【分析】

根据规定的运算法则可得一元一次方程，解方程即可求得解.

【详解】

由题意得：2x+2-x=-8

解得：x=-10

【点睛】

本题考查了新运算及解一元一次方程，关键是理解定义的新运算.

23.(1)x=l,(2)x=-9

【分析】

(1)先去括号，再移项、合并同类项、系数化为1即可求解；

(2)按照解一元一次方程的步骤求解即可.

【详解】

解：(1)l-2(2x+3)=-3(2x+l)

去括号得，l-4x—6=-6x-3

移项得，—4x+6x=6—3—1