2021年广东省春季高考数学模拟试卷九含解析

2021年广东春季高考数学模拟试卷（9）

解析版

注：本卷共22小题，满分150分。

一、单选题（本大题共15小题，每小题6分，满分90分）

1.已知集合A={。,/,0},B={1,2},若ACB={1},则实数。的值为（）

A.-1B.0C.1D.±1

【答案】A

【解析】

【分析】

根据AcB={l},得leA，根据元素的互异性可知。=一1

【详解】

因为AcB={l},所以leA,

又所以且。工1,

所以"=i，所以。=一1（。=1已舍），此时满足Ac6={l}.

故选：A

【点睛】

本题考查了集合的交集的概念，考查J'集合中元素的互异性，属于基础题.

2.若函数了=尤2+（2。-1）》+1在区间（-0。,2]上是减函数，则实数。的取值范围是（）

C[|，+8）D.,吟

【答案】B

【解析】

【分析】

1——2a

比较抛物线的对称轴和区间的关系得——->2，即可求得答案.

2

【详解】

函数y=犬+(2。-1)工+1是开口向上的抛物线，

二对称轴为尢~~—

2

1—2Q

保证在区间(f,2］上是减函数，则------>2

2

3(3-

«,•QV--即。£—00,----.

2I2」

故选:B.

【点睛】

本题考查了根据二次函数单调区间判断参数范围，掌握二次函数图像特征是解题关键，属于基础题.

3.函数/(%)=扇+2%-6的零点一定位于区间()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

【答案】B

【解析】

【分析】

函数f(x)=lnx+2x—6在其定义域上连续，同时可判断f⑵<0,f(3)>0；从而可得解.

【详解】

函数f(x)=Inx+2x-6在其定义域上连续，

f(2)=ln2+2«2-6=ln2-2<0,

f(3)=ln3+2・3-6=ln3>0；

故函数f(x)=lnx+2x-6的零点在区间(2,3)上，

故选B.

【点睛】

本题考查了函数的零点存在定理，对数函数的性质与计算，熟记定理，准确计算是关键，属于基础题.

sincosot

4.已知向量。=(4sina,l—cosa)为=(1,—2),若〃出=一2,则一^——-=()

2sin«-cosa

21

A.1B.—1C.D.

72

【答案】A

【解析】

【分析】

sinacosa

利用£$的坐标运算列方程求出tana=V，再将——------「变形，用tana表不出来，代入tana

22sin-cosa

的值即可.

【详解】

由。力=一2，得4sina-2(l-cosa)=-2，

整理得tana=-1,

2

一sinacosatana_5,

所以--------=----o------;==1，

2sin-a-cos-a2tan-a-1±)

2-

故选:A.

【点睛】

本题考查数量枳的坐标运算，考查正余弦齐次式的求解，是基础题.

sinAccwR

5.在A4BC中，角AdC的对边分别为若——=-^-,贝!|cos3=()

4a3b

4334

A.一一B.-C.-D.-

5545

【答案】B

【解析】

【分析】

由正弦定理可得3sin8sinA=4sinAcosB,化简后求出tanB，然后求出cosB即可.

【详解】

sinAcosB

——=------,/.3sinBsmA=4sinAcosB,

4a3b

sinA>0".,.3sinB=48sB,

43

tanB=—,r.cosB=-.

35

故选B.

【点睛】

本题考查了正弦定理和同角三角函数的基本关系，属于基础题.

6.下面结论正确的是()

A.若四边形ABC。内一点。满足Q4+OC=O8+O。，则ABC。是平行四边形

B.若a，匕是单位向量，a=b

C.q=(3,5),e2=(6,10)，则q和62可以作为一组基底.

D.若a-c=b-c，则a=6

【答案】A

【解析】

【分析】

对A化筒向量式可得BA=CD，可确定ABCO是平行四边形；

对B由单位向量的定义进行判断；

对C按基底的性质判断；

对D根据数量积的定义判断；

【详解】

由QA+OC=OB+O。，得BA=CD，故四边形ABC。是平行四边形，A正确；

单位向量未规定方向，故口6不一定相等，B错误；

e；=(3,5),e；=(6,10)，则］=2q,［和以共线，不能作为一组基底，C错误；

若a,则IaIcos<a,c>=|5|cos<①。>,即A在［方向的投影与石在4方向的投影相等，不

--定彳D错误.

故选：A.

【点睛】

本题考查了向量的概念，向量的共线，数量积的定义，属于基础题.

7.如图，第(1)个图案由1个点组成，第(2)个图案由3个点组成，第(3)个图案由7个点组成，第

(4)个图案由13个点组成，第(5)个图案由21个点组成，……，依次类推，根据图案中点的排列规

律，第10个图形由多少个点组成()

・

・・

・■

•••••••・・•.・•••

••••

••••

・••

(1)⑵⑶(4)(5)

A.89B.91C.95D.98

【答案】B

【解析】

【分析】

利川累加法求出数列的通项公式即可求解.

【详解】

记此图案的点数为{4},4=1

则4—4=3—1=2=2x1,

%一凡=7—3=4=2x2,

%—%=13—7=6=2x3,

**,

4，一4，-1=2*(〃-1)，

将上式相加可得

/、(〃-1)(1+"-1)

=20+2+3+H-1)=2XI——--------』=-〃，

所以/="2-/1+1,

所以40=10?-10+1=91.

故选：B

【点睛】

本题考查了累加法求数列的通项公式，考查了基本运算能力，属于基础题.

12

8.已知实数加，〃满足2m+〃=2,其中痴＞0,则一+一的最小值为()

mn

A.4B.6C.8D.12

【答案】A

【解析】

实数次，〃满足2加+〃=2,其中〃?几＞0

121小、,12、1,,n4m、1,,\n4m,‘山门皿山

一+—=—(2m+n)(一+—)=—(4+—+——)＞—(4+2./------)=4,当且仅当

mn2mn2mn2\mn

ri12

-=—,2m+〃=2,即〃=2加=2时取等号.一+一的最小值是4.所以A选项是正确的.

mnmn

点睛:本题主要考查基本不等式求最值，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①

-正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相

等：含变量的各项均相等，取得最值.解决本题的关键是巧妙地将己知条件2加+〃=2化为1,即

1小、,121小、，12、

—(2m+n)=1,/.——I•一=—(2m+n)(—1--).

2mn2mn

9.下列说法不正确的是()

A.空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；

B.同一平面的两条垂线一定共面；

C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；

D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.

【答案】D

【解析】

一组对边平行就决定了共面；同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；

这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就明确了

10.已知点P是直线3x+4y+5=0上的动点，点。为圆（x—2）2+（y—2）2=4的动点，贝|忙。|的最小

值为（）.

199529

A.—B.-C.-D.—

5595

【答案】B

【解析】

【分析】

山题意可知，|尸。|的最小值为圆心到直线的距离减去半径的差即为所求

【详解】

解：圆卜一2）2+（丁—2）2=4的圆心为（2,2）,半径为2,

则圆心到直线3x+4y+5=0的距离为!6+8+5|=19,

-55

199

所以|PQ|的最小值为彳-2=1.

故选：B.

【点睛】

此题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题

11.用系统抽样方法从编号为1,2,3,…，700的学生中抽样50人，若第2段中编号为20的学生被抽

中，按照等间隔抽取的方法，则第5段中被抽中的学生编号为（）

A.48B.62C.76D.90

【答案】B

【解析】

【分析】

根据系统抽样等距性，结合等差数列求解编号.

【详解】

700

根据系统抽样等距性，所以各段中被抽中的学生编号依次构成公差为馈=14的等差数列，

因此第5段中被抽中的学生编号为20+（5-2）x14=62,

故选：B

【点睛】

本题考查系统抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.

12.把一个正四面体的骰子（它的4个面上分别写有1,2,3,4）随机抛两次，记第一次的底面上的点数

大于第二次的底面上的点数为事件A,则事件4的概率为（）

133

A.—B.—D.-

1616014

【答案】C

【解析】

【分析】

根据枚举法列出所以的基本事件，再分析概率即可.

【详解】

设第一次的底面上的点数为横坐标，第二次的底面上的点数为纵坐标，列出如下的表格，共16个点，事

件A对应的点有6个，所以事件A的概率为色=?.

168

1234

1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)

2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)

故选：c

【点睛】

本题主要考查了利用枚举法求解古典概型的问题，属于基础题.

13.已知一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比为（）

【答案】B

【解析】

【分析】

设正方体的棱长为。，根据侧面积相等，可得圆柱的底面半径为R=0，再根据体积公式可得答案.

7T

【详解】

设正方体的楼长为则圆柱的高为设圆柱的底面半径为R，

则正方体的侧面积为4aL圆柱的侧面积为27a,

所以4a2=2»Ra，所以R=」~,

71

所以正方体和圆柱的体积之比为一^一一(2a\

7iR--a7ra-\——I4

故选：B.

【点睛】

本题考查了正方体和圆柱的侧面积与体积公式，属于基础题.

14.已知｛4｝是公差为2的等差数列，s”为｛对｝的前“项和.若生,«5>成等比数列，则S,=()

7

A.-B.42C.49D.7

3

【答案】B

【解析】

【分析】

由与，牝，成等比数列，可得%2=%，47,再利用等差数列的通项公式化简可得6=0,再利用等

差数列前〃项和公式即可得S].

【详解】

因为。2，%，《7成等比数列，

所以。5?=%•%7'

乂｛《,｝是公差为2的等差数列，

所以(4+4d>=(q+d)(q+16d)

即(4+8)2=(q+2)(4+32),

即164=344,可得：q=0,

7x6

所以S7=74+《-xd=7x0+42=42,

故选：B

【点睛】

本题主要考查了等比中项的性质，等差数列的通项公式和前〃项和公式，属于基础题.

15.函数y=2凶sin2x的图象可能是

【答案】D

【解析】

7T

分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在(7,兀)上的符号，即可判断选择.

详解：令/(x)=2Wsin2x,

因为XGR"(r)=2岗sin2(—x)=—2凶sin2x=—/(%)，所以/(x)=2|A|sin2x为奇函数，排除选项

A.B;

■JT

因为工€(5，兀)时，/(x)<0,所以排除选项C,选D.

点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（I）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，

由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶

性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复.

二、填空题

16.若sinaVO且tana>0,则a是第__________象限角.

【答案】第三象限角

【解析】

试题分析：当sinaVO,可知a是第三或第四象限角，又tana>0,

可知a是第一或第三象限角，所以当sina<0且tana>0,

则a是第三象限角.

考点：三角函数值的象限符号.

17.已知向量a、b，满足上《=2,且a"=—1，则a,（。一匕）=.

【答案】5

【解析】

【分析】

利用平面向量数量积的运算性质可求得a-（a-b）的值.

【详解】

由平面向量数量积的运算性质可得小（。-6）=/-4/=22-（-1）=5.

故答案为：5.

【点睛】

本题考查利用平面向量数量积的运算性质计算平面向量的数量积，考查计算能力，属于基础题.

%,3,

18.不等式组＜x+y..O,表示的平面区域的面积等于.

x—y+2..0

【答案】16

【解析】

【分析】

画出可行域并计算出三条直线的交点坐标，根据三角形面积公式计算出平面区域的面枳.

【详解】

画出可行域如下图所示，经计算得A（—1,1）,8（3,—3）,C（3,5）,围成的区域为三角形48。，故面积为

gx（5+3）x（3+l）=16.

故填：16.

【点睛】

本小题主要考查线性约束条件表示区域面积的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.

19.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成

的几何体为“牟合方盖”（如图所示），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比

应为不：4.若“牟合方盖”的体积为3，则正方体的外接球的表面积为_________.

3

【答案】12万

【解析】

【分析】

根据已知求出正方体的内切球的体积，得到内切球的半径，根据正方体内切球的直径为其棱长，外接球的

直径为其对角线，即可求解.

【详解】

因为“牟合方盖，，的体积为3,

3

乂正方体的内切球的体积与“牟合方盖''的体积之比应为万：4,

兀164

所以正方体的内切球的体积VK=—X—=

433

所以内切球的半径r=l,所以正方体的棱长为2,

所以正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线即2R=2百，

所以R=6，所以正方体的外接球的表面积为S=4兀R2=4万（省/=12万.

故答案为：12万.

【点睛】

本题以数学文化为背景，考查正方体与球的'‘内切”“外接”问题，掌握它们之间的关系是解题的关键,

属于基础题.

三、解答题

20.已知函数/(X)=Gsin2x+cos2x-l(xeH).

(1)写出函数/(x)的最小正周期以及单调递增区间；

3

⑵在A8C中，角所对的边分别为a,4c,若〃8)=0,848C=不，且a+c=4,求。的

值.

冗冗

【答案】(1)T=7r,+—,keZ-(2)b=V7

36

【解析】

【分析】

(1)利用辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的最小正周期公式和单调性直接求解即可：

uuruni3

(2)由/(B)=0可以求出5,再由平面向量的数量积的定义可由=5求出ac的值，结合

a+c=4、余弦定理可以求出匕的值.

【详解】

解：⑴/(x)=2sin(2x+1)—1,所以“X)的最小正周期T=^=%，

17JL/L_JLJL

2&万---<2XH——<2k7i-\——(keZ)=>k/r3x&k冗+—,(kwZ),

26236

TTTC

所以的单调递增区间是k7T--,k7r+-,keZ；

(2)/(B)=2sin|2B+-|-l=0,故sin(28+工］=，，所以28+生=2k乃+生或

TC377jr

2B+=—2公r+华,ZeZ,因为8是三角形内角，所以3=々；

663

3

而8A•BC=accosB=-,所以，ac-3,又a+c=4，所以Q2+C2=1（）,所以，

2

b）=a?+c?-2acosB=7，所以b=5.

【点睛】

本题考查了辅助角公式，考查了正弦型函数的最小正周期和单调性，考查了余弦定理、平面向量数量积的

定义，考查了特殊角的三角函数值，考查了数学运算能力.

21.如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2,CD=2五,E、/分别是AB、PD的中点.

（1）求证：AFJ_平面PCD.

（2）求三棱锥P-EFC的体积.

【答案】（1）详见解析；（2）巫.

3

【解析】

【分析】

（1）先根据B4_L平面ABCD可得CDLQ4,结合。可得C0_L平面尸AD，从而AE_L8,

再根据APAD为等腰直角三角形及F为尸。的中点得到AFLPD^从而可证AF_L平面PCD.

（2）取PC的中点为G，连接FG,EG,可证EG,平面PFC，从而可计算修一所5

【详解】

VPA=AD=2,F为PD中点、，：.AFLPD.

抬_1平面ABCD又CDu平面ABCD.

：.PA1CD.

■：ADVCD,1ftAeA£>=A,二CD_L平面FAD.

•••AFu平面尸AD.；.AFA.CD.

；cCD=O，二AF_L平面PC。.

（2）取PC的中点G,连接EG、GF,则G/〃CO，GF^-CD.

2

mCD、EA^-CD,：.AE//GF,AE=GF....四边形AEGF为平行四边形.

2

:.EG〃AF、由（1）4尸，平面尸。。，；.6石_1平面「仪＞，EG为三棱锥E—PFC的高.

又GF=AF=EG=gPF=；PD=①.

Sg=*CD=2.

得三棱锥P-EFC的体积V=1S.PCF-EG=迪.

3,53

【点睛】

线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于

两个平面的交线.而面面垂直的证明可以通过线面垂直得到，也可以通过证明二面角是直二面角.又三棱锥

的体积的计算需选择合适的顶点和底面，此时顶点到底面的距离容易计算

22.某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x