2023年高中数学16微积分基本定理(教案)

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐高中数学16微积分基本定理(教案)三、教学过程1、复习：

定积分的概念及用定义计算2、引入新课

我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的普通办法。我们必需寻求计算定积分的新办法，也是比较普通的办法。

变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系

设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()vto≥），则物体在时光间隔12[,]TT内经过的路程可用速度函数表示为

2

1

()TTvtdt?

。

另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在12[,]TT上的增量12()()STST-来表达，即

2

1

()TTvtdt?

=12()()STST-

而()()Stvt'=。

对于普通函数()fx，设()()Fxfx'=，是否也有

()()()b

a

fxdxFbFa=-?

若上式成立，我们就找到了用()fx的原函数（即满足()()Fxfx'=）的数值差()()FbFa-来计算

()fx在[,]ab上的定积分的办法。

注：1：定理假如函数()Fx是[,]ab上的延续函数()fx的随意一个原函数，则

()()()b

a

fxdxFbFa=-?

证实：由于()xΦ=

()x

a

ftdt?

与()Fx都是()fx的原函数，故()Fx-()xΦ=C（axb≤≤）

其中C为某一常数。

令xa=得()Fa-()aΦ=C，且()aΦ=

()a

a

ftdt?

=0即有C=()Fa，故()Fx=()xΦ+()Fa

∴()xΦ=()Fx-()Fa=()x

a

ftdt?

令xb=，有

()()()b

a

fxdxFbFa=-?

此处并不要求同学理解证实的过程

为了便利起见，还常用()|b

aFx表示()()F

bFa-，即

()()|()()b

baa

fxdxFxFbFa==-?

该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求延续函数定积分的普通办法，把求

定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效办法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的进展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成绩。

例1．计算下列定积分：

（1）2

11dxx?；（2）3211

(2)xdxx

-?。

解：（1）由于'1(ln)xx

=，所以22

111ln|ln2ln1ln2dxxx==-=?。

（2））由于2'

'211()2,()xxxx==-，所以3332211111(2)2xdxxdxdxx

x-=-???

23

3111122||(91)(1)33

xx=+=-+-=

。练习：计算1

20

xdx?

解：因为

313x是2x的一个原函数，有120xdx?=3101|3x=33111033?-?=1

3

例2．计算下列定积分：

220

sin,sin,sinxdxxdxxdxπ

ππ

π

?

??。

由计算结果你能发觉什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发觉的结论。解：由于'

(cos)sinxx-=，所以

00sin(cos)|(cos)(cos0)2xdxxπ

ππ=-==?

，

2

2

sin(cos)|(cos2)(cos)2xdxxπ

π

ππππ=-==-?，22

sin(cos)|(cos2)(cos0)0xdxxπ

π

π=-==?

.可以发觉，定积分的值可能取正当也可能取负值，还可能是0:(l）当对应的曲边梯形位于x轴上方时（图1.6一3)，定积分的值取正当，且等于曲边梯形的面积；

图1.6一3(2）

（2）当对应的曲边梯形位于x轴下方时（图1.6一4)，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；

(3）当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（图1.6一5)，且等于位于x轴上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积．

例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度a=1.8米/秒2

刹车，问从开头刹车到停车，汽车走了多少距离？

解:首先要求出从刹车开头到停车经过了多少时光。当t=0时，汽车速度0v=32公里/小时=321000

3600

?米

/秒≈8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为0(t)=t=8.88-1.8tvva-当汽车停住时,速度(t)=0v,故从

(t)=8.88-1.8t=0v解得8.88

t=4.931.8

≈秒于是在这段时光内,汽车所走过的距离是

4.93

4.93

(t)(8.881.8t)svdtdt==-?

?

=4.93

20

1

(8.881.8t)

21.902-?≈米,即在刹车后,汽车需走过

21.90米才干停住.