2021年湖南省永州市中考数学模拟试卷一含答案

2021年湖南省永州市中考数学模拟试卷（一）

选择题（每小题4分，共40分）

1.-的相反数是（）

2021

A.-2017B.2017C.

乙U乙1

2.当2V0V3时，代数式\a-31+12-a\的值是（

A.-1B.1D.-3

3.以下问题，不适合用全面调查的是（）

A.了解全班同学每周体育锻炼的时间

B.旅客上飞机前的安检

C.学校招聘教师，对应聘人员面试

D.了解全市中小学生每天的零花钱

4.如图，两个大小不同的实心球在水平面靠在一起组成如图所示的几何体，则该几何体的

左视图是（

A.两个外切的圆B.两个内切的圆

C.两个内含的圆D.一个圆

5.下列运算正确的是()

A.ai+a3=afiB.2（a+l）=2a+l

C.(ab)2=crb>D.6Z6-ra3=a2

6.如图，CF是AA3c的

外角ZACM的平分线，且CF〃AB,50°，贝"ZB的度数

C.60°D.50°

把x3-16x分解因式，结果正确的是（）

A.x(%2-16)B.x(x-4)

C.x(x+4)2D.x(x+4)(x-4)

8.sin60。的值等于（）

C.乎

9.苏M为小杰使用手机内的通讯软件跟小智对话的纪录.

根据图中两人的对话纪录，若下列有一种走法能从邮局出发走到小杰家，则此走法为何？

A.向北直走700公尺,再向西直走100公尺

B.向北直走100公尺,再向东直走700公尺

C.向北直走300公尺,再向西直走400公尺

D.向北直走400公尺,再向东直走300公尺

10.卜列交通标志中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（

二、填空题（每小题4分，共32分）

11.若-Py。与;6是同类项，贝Ua+b的值为.

12.如图，AB是池塘两端，设计一方法测量的距离，取点C,连接AC、BC,再取它们

的中点。、E,测得。E=15米，则人8=米.

D.E

13.方程2x+3=7的解是.

14.若式子丁初在实数范围内有意义，则工的取值范围是.

।〈如图，将四个圆两两相切拼接在一起，它们的半径均为1cm,则中间阴影部分的面积为

16.有，个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90。

克-次，则滚动第2021次后，骰子朝下一面的点数是

第一次算二）欠第三次

17.如图，AC、BD相交于点O,ZA=Z£>,请补充一个条件，使△△0B竺4D0C,你补

充的条件是_________________（填出一个即

可）.

18.如图，点A,B,。是上的三点，/B=75°，贝iJZAOC的大小为..度.

三.解答题（本题共8小题，共78分）

19.（12分）⑴计算：2°+（_|）2017+（扼+i）（扼一。—|_6X§I；

（2）已知：x—\->=1+/,求~xy~2x+2y的值.

20.（7分）解不等式组：j3xT<x+l

12（2x-l）<5x+l

21.（9分）列方程解应用题.

福州市某楼盘准备以每平方米10000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出

台后，购房者持币观望.为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每

平方米8100元的均价开盘销售.

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子.开发商还给予以下两种优惠方案以

供选择：

①打9.9折销售；

②不打折，送两年物业管理费.物业管理费是每平方米每月1元.请问哪种方案更优惠？

22.（8分）如图，大海中某灯塔P周围10海里范围内有暗礁，一艘海轮在点A处观察灯塔

P在北偏东60。方向，该海轮向正东方向航行8海里到达点B处，这时观察灯塔F恰好在北

偏东45。方向.如果海轮继续向正东方向航行,会有触礁的危险吗？试说明理由.（参

考数据：73^1.73）

23.（10分）某校为了选拔学生参加''汉字听写大赛”，对九年级一班、二班各10名学生进行

汉字听写测试，计分采用10分制（得分均取整数），成绩达到6分或6分以上为及格、达到

9分或10分以上为优秀.这20位同学的成绩与统计数据如表：

序12345678910平均中位众数方差及格优秀

号数数率率

5889810108557.68a3.8270%30%

班

二1066910457108b7.5104.9480%40%

班

(1)在表中，a=,b~；

(2)有人说二班的及格率、优秀率高于一班，所以二班的成绩比一班好，但也有人坚持认

为一班成绩比二班好，请你给出支持一班成绩好的两条理由；

(3)若从这两班获满分的同学中随意抽1名同学参加“汉字听写大赛”，求参赛同学恰好

是一班同学的概率.

24.(10分)如图，矩形ABCQ中，AB=3,BC=2,点肱在BC上，连接AM,作ZAMN

=ZAMB,点N在直线AD上，MN交CD于点、E

(1)求证：是等腰三角形；

(2)求的最大值；

(3)当M为BC中点时，求ME的长.

25.(10分)如图，AB为的直径，BF切于点B.AF交。。于点。，点C在。F上,

3。交00于点E,且ZBAF=2ZCBF,CG±BF于点G,连接AE.

(1)直接写出AE与BC的位置关系；

(2)求证：ZCGsMCE；

(3)若ZF=60°,GF=\,求G)O的半径长.

26.(12分)如图，已知抛物线yB-x-3与x轴的交点为A、D(A在。的右侧)，与y轴的交点为C.

(1)直接写出A、D、C三点的坐标;

(2)若点M在抛物线上，使得△”!£＞的面积与a©4。的面积相等，求点M的坐标;

(3)设点C关于抛物线对称轴的对称点为B,在抛物线上是否存在点P,使得以A、B、

C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

2021年湖南省永州市中考数学模拟试卷（一）

参考答案与试题解析

选择题（每小题4分，共40分）

1.-的相反数是（)

2021

A.-2017B.2017C1

2021

【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数.

【解答】解:二’的相反数为二一

20212021

故选：D.

2.当2<a<3时，代数式0-31+12-al的值是（）

A.-1B.1C.3D.-3

【分析】根据2<a〈3判断出a-3<0,2”<0,然后根据负数的绝对值等于它的相反数，化简即

可.

【解答】W：V2<（z<3,

-3VO,2-QVO,

原式=3-a+a-2=l.

故选：B.

3.以下问题，不适合用全面调查的是（）

A.了解全班同学每周体育锻炼的时间

B.旅客上飞机前的安检

C.学校招聘教师，对应聘人员面试

D.了解全市中小学生每天的零花钱

【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得

到的调查结果比较近似.

【解答】解：A、了解全班同学每周体育锻炼的时间，数量不大，宜用全面调查，故A选项

错误；

3、旅客上飞机前的安检，意义重大，宜用全面调查，故B选项错误；

C、学校招聘教师，对应聘人员面试必须全面调查，故。选项错误;

。、了解全市中小学生每天的零花钱，工作量大，且普查的意义不大，不适合全面调查，故

选项正确.

故选：D.

4.如图，两个大小不同的实心球在水平面靠在一起组成如图所示的几何体，则该几何体的左

视图是()

D.一个圆

A.两个外切的圆B.两个内切的圆

C.两个内含的圆

【分析】根据左视图是从左面看得到的视图，圆的位置关系解答即可.

【解答】解：从左面看，为两个内切的圆，切点在水平面上，

所以，该几何体的左视图是两个内切的圆.

故选：B.

5.下列运算正确的是()

A、tz3+o3=a6B.2(a+1)=2a+l

C.(ab)2=琰kD.6Z6-ra3=a2

【分析】根据二次根式的运算法则，乘法分配律，幕的乘方及同底数幕的除法法则判断.

【解答】解：A、a3+a3=2a3,故A选项错误；

B、2(',+1)=2a+22a+l,故B选项错误;

C^(ab)2=aab2,故C选项正确；

B

A.80°B.40°C.60°D.50°

1）、a4-i-ai=cnaz,故下选项错误.

故迷c\/

6.%扁，CF是闲心的外角ZACM的平分线,且CF〃AB,ZACF=50°,则ZB的度数

C

为（）

【分析】根据平行线的性质可得ZB=ZFCM,由角平分线的定义可求解ZFCM的度数,

进而可求解.

【解答】解：..・齐〃人8,

・・・ZB=ZFCM,

•.・CF平分ZACM,ZACF=50°,

:.ZFCM=ZACF=50°,

AZB=50°,

故选：D.

7,把x3・16x分解因式，结果正确的是()

A.x(%2-16)B.x(x-4)2

C.x(i+4)2D.x(x+4)(x-4)

【分析】原式提取尤，再利用平方差公式分解即可.

【解答】解：原式=%(X2-16)=尤(x+4)(x-4),

故选：D.

8.sin60。的值等于()

A.AB.HI1C.近

222

【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案.

【解答】解：sin60°=匠

2

故选：C.

9.如图为小杰使用手机内的通讯软件跟小智对话的纪录.

根据图中两人的对话纪录，若下列有一种走法能从邮局出发走到小杰家，则此走法为何？

A.向北直走700公尺，再向西直走100公尺

B.向北直走100公尺，再向东直走700公尺

向北直走300公尺，再向西直走400公尺

D.向北直走400公尺，再向东直走300公尺

【分析】根据题意先画出图形，可得出AE=400,AB=CD=300再得出DE=100,即

可得出邮局出发走到小杰家的路径为：向北直走AB+AE=100,再向西直走DE=100公

尺.

【解答】解：依题意，0A=0C=4D0=AE,AB=CD=300,

DE=400-300=100,所以邮局出发走到小杰家的路径为,

向北直走AB+AE=700,再向西直走DE=100公尺

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意;

3、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；

C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意;

D,是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意.

故选：A.

二、填空题（每小题4分，共32分）

11•若-Fy"与/y是同类项,则a+b的值为4.

【分析】根据同类项的概念可得方程：«=1,b=3,再代入a+b即可求解.

【解答】解：V-X3/与打是同类项，

1=1

i+/?=l+3=4.

故答案为：4.

12.如图，A3是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C,连接AC、BC,再取它们的中

点。、E,测得£>£=15米，贝ijAB=30米

【分析】根据三角形的中位线定理得出AB=2DE,再代入求出答案即可.

【解答】解：连接AB,

•.•£）、E分别是AC、BC的中点，

:.DE="AB,

2

即AB=2DE,

•..DE=15米，

/MB=30（:米），

故答案为：30.

13.方程2x+3=7的解是..

【分析】先移项，再合并同类项，最后化系数为1,从而得到方程的解.

【解答】解：移项得：2%=7-3,

合并同类项得：2x=4,

化系数为1得：x=2.

故答案为：x=2.

14.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是茎蜜2.

【分析】根据被开方数是非负数，可得答案.

【解答】解：由题意，得

x-2N0,

解得xN2,

故答案为：xN2.

15.如图，将四个圆两两相切拼接在一起，它们的半径均为1cm,则中间阴影部分的面积为

【分析】根据题意可知图中阴影部分的面积=边长为2的正方形面积-一个圆的面积.

【解答】解：..•半径为1cm的四个圆两两相切，

四边形是边长为2c7”的正方形，圆的面积为Ticm,

阴影部分的面积=2X2-77=4-n(cm2),

故答案为：4-7T.

16.有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90。

算•次,则滚动第2021次后,骰子朝下•面的.点数是2.

第一次第二次第三次

【分析】加察图形知道点数三和点数四相对，点数.和点数五相对四次•循环，从而

确定答案.

【解答】解：观察图形知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且滚动四次一循

环，

V20214-4=505-1,

.1滚动第2021次后与第1次相同，

朝下的数字是5的对面2,

故答案为：2.

17.如图，AC、3。相交于点0,ZA=ZD,请补充一个条件，使左A0B*D0C,你补充的条件是

AB=CD（答案不唯一）（填出一个即可）.

【分析】添加条件是AB=CD,根据AAS推出两三角形全等即可.

【解答】解：AB=CD,

理由是：在AAOB和△OOC中

-ZAOB=ZDOC

<ZA=ZD

AB=CD

.•.△AOBWOOC（A4S）,

故答案为：AB=CD（答案不唯一）.

18.如图，点A,B,C是0。上的三点，ZB=75°，则ZAOC的大小为国度.

【分析】根据根据圆周角定理即可解决问题.

【解答】解：vAC=AC>

AZA0C=2ZB=150°,

故答案为150.

三.解答题（本题共8小题，共78分）

19.（12分）⑴计算：2。+（_1）2«璋+（框+i）（扼一°-卜6X§I；

（2）已知：x=l-/2,>=1+，改，求-xy-2x+2y的值.

【分析】（1）根据零指数幕、平方差公式、绝对值的性质计算即可；

（2）根据二次根式的减法法则、乘方法则分别求出x-y、xy,根据完全平方公式、提公因式

把原式变形，代入计算即可.

【解答】解：（1）原式=1-1+2-1-2--1；

(2)•「x=l-厄>=1+近,

Ax-y=(1-桓)-(1+A2)=-2桓，xy=(1-扼)(1+桓)=1-2=-1,

则原式=J+y2・2xy-2x+2y+xy

=(x-y)2-2(x-y)+xy

=(x-y)(x-y-1)+xy

=(-2V2)X(-2V2-1)-1

=8+2A2-1

=7+2而

20.(7分)解不等式组：<PxT(x+l

12(2x-l)<5x+l

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间

找、大大小小找不到确定不等式组的解集.

【解答】解：解不等式3x-l<x+l>得：x<i,

解不等式2(2x-l)W5x+1,得：-3,

则不等式组的解集为：-3Wx<l.

21.(9分)列方程解应用题.

福州市某楼盘准备以每平方米10000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策

出台后，购房者持币观望.为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定

以每平方米8100元的均价开盘销售.

(1)求平均每次下调的百分率；

(2)某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子.开发商还给予以下两种优惠方案

以供选择：

①打9.9折销售；

②不打折，送两年物业管理费.物业管理费是每平方米每月1元.请问哪种方案更优惠？

【分析】(1)根据每次的均价等于上一次的价格乘以(1-x)(x为平均每次下调的百分率)，

可列出一个一元二次方程，解此方程可得平均每次下调的百分率；

(2)根据两种优惠方案分别算出两种不同方案的优惠价格，比较其大小即可知哪种方案更

优惠.

【解答】解：(1)设平均每次下调的百分率为X,

依题意得：10000(1-x)2=8100,

解得：xi=10%,%2=190%(不合题意舍去)

答：平均每次下调的百分率为10%；

（2）第①种方案：

8100X100X0.99+1X100X24=801900+2400=804300（元），

第②种方案：

8100X100=810000（元），

V804300<810000,

.1第①种方案更优惠.

22.（8分）如图，大海中某灯塔F周围10海里范围内有暗礁，一艘海轮在点A处观察灯塔P

在北偏东60。方向，该海轮向正东方向航行8海里到达点B处，这时观察灯塔P恰好在北偏

东45。方向.如果海轮继续向正东方向航行,会有触礁的危险吗？试说明理由.（参考数据：

Jlel.73）

【分析】作FC_L4B于。，如图，ZPAC=30°,ZPBC=45°,AB=8©BC=x，先判断APBC

为等腰直角三角形得到BC=PC=x，再在RtAB4C中利用正切的定义得到8+*=寿，解得x=4

（J§+1）RI0.92,即10.92,然后比较AC与10的大小即可

V

判断海轮继续向正东方向航行，是否有触礁的危险.

【解答】解：没有触礁的危险.理由如下：

作PCLAB于C,如图，ZE4C=30°,ZPBC=45°,AB=8,

设BC=x,

在RtAPBC中，ZPBC=45

...APBC为等腰直角三角形，

••BC—PC—Xj

在RtABAC中，・..tan/B4c餐，

:.AC一性一，即8+x=J=-,W>x=4(J3+I)R10.92,tan30°扼

即PCF0.92,

V10.92>10,

海轮继续向正东方向航行，没有触礁的危险.

23.(10分)某校为了选拔学生参加“汉字听写大赛”，对九年级一班、二班各10名学生进

行汉字听写测试，计分采用10分制(得分均取整数)，成绩达到6分或6分以上为及格、

达到9分或10分以上为优秀.这20位同学的成绩与统计数据如表：

序12345678910平均中位众数方差及格优秀

号数数率率

5889810108557.68a3.8270%30%

班

1066910457108b7.5104.9480%40%

班

(1)在表中，a=8,b=75；

(2)有人说二班的及格率、优秀率高于一班，所以二班的成绩比一班好，但也有人坚

持认为一班成绩比二班好，请你给出支持一班成绩好的两条理由；

(3)若从这两班获满分的同学中随意抽1名同学参加''汉字听写大赛”，求参赛同学

恰好是一班同学的概率.

【分析】1)分别用平均数的计算公式和众数的定义解答即可；

(2)由平均数和方差求解即可；

(3)由概率公式容易求出结果.

【解答】解：(1)•数据8出现了4次，最多，

众数<2=8;

》=10X3+9+8+7+6X2+5+4=75：

10

故答案为：8,7.5；

(2)如①一班的平均分比二班高，所以一班成绩比二班好;

②一班学生得分的方差比二班小，说明一班成绩比二班稳定;

(3)一共有5名满分同学，每人每抽到的可能性相同，其中一班满分的同学有2位,

•••参赛同学恰好是一班同学的概率为？.

5

24.(10分)如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=2,点肱在BC上，连接AM,作ZAMN

=ZAMB,点N在直线AD上，MN交CD于点、E

(1)求证：4AMN是等腰三角形；

(2)求的最大值；

【分析】(1)根据矩形的性质和平行线的性质证明即可；

(2)作NH1AM于H,证明肱B,根据相似三角形的性质得到AN•BM=

根据勾股定理计算即可；

2

(3)由(2)的结论，结合相似三角形的性质求出CE,根据勾股定理计算即可.

【解答】(1)证明：..•四边形ABCD是矩形，

AD//BC,

:.ZNAM=ZBMA又ZAMN=ZAMB,

,1ZAMN=ZNAM,

:.AN=MN,即是等腰三角形；

⑵解：作NHLAM于H,

•；AN=MN,NH+AM,

■■AH=^AM，

2

•：ZNHA=/ABM=90°,ZAMN=ZAMB,

:.ANAHsaAMB,

“ANAH

'AMBM

AN'BM=AH-AM="AM

2

在RtAAMB中,AMi=AR+B旭=9+BM,

•；BMW2,

♦9+3肱273,

2

即当BM=2时，AN的最大值为皇；

2

(3)解:3M为BC中点，

:.BM=CM="BC=],

2

由⑵得,AN-BM='AM,

2

VAM2=32+12=10,

•\AN—5,

:.DN=5-2=3,

设贝ijCE=3~x,

*：AN//BC,

,DN_DEpn3一x

CMCE13-x

解得，x=-.BPDE=-,

44

:.CE=\

4

,'・M£=VCE24CM2=-I-

25.(10分)如图，AB为00的直径，BF切…于点B,AF交于点。，点C在DF上,

BC交00于点、E,且ZBAF=2ZCBF,CG±BF于点G,连接AE.

(1)直接写出AE与BC的位置关系；

(2)求证：A.BCGsMCE；

(3)若ZF=60°,GF=1求O。的半径长.

BGF

【分析】(1)由AB为。O的直径即可得到AE与BC垂直.

(2)易证ZCBF=ZBAE,再结合条件ZBAF=2/CBF就可证到ZCBF=ZCAE,易证ZCGB=ZAEC,从而

证到左5CG6ACE

(3)由ZF=60°,GF=1可求出CG=A/3;连接BD,容易证到ZDBOZCBF,根据角平分线的性质

可得DC=CG=V3；设圆。的半径为r,易证ZBAD=30°，从而得到AC=2r,AD二y「r,由DC二AC

-AD-2可求出0。的半径长.

【解答】解：⑴如图1,

•.•A3是的直径，

/.ZAEB=90°.

:.AELBC.

(2)如图1,

,：BF与。O相切，

AAABF=90°.

AZCBF=90°-ZABE=ZBAE.

'：ZBAF=2ZCBF.

:./BAF=2ZBAE.

ZBAE=ZCAE.

:.ZCBF=ACAE.

・:CG_LBF,AE±BC,

:.ZCGB=ZAEC=90°.

ZCBF二ZCAE,ZCGB=ZAEC,

AABCG八AACE.

(3)连接8D,如图2所示.

ZDAE=ZDBE,ZDAE=ZCBF,

:.ZDBE=ZCBF.

VAB是。。的直径，

AZADB=90°.

:.BD±AF.

VZDBC=ZCBF,BD±AF,CGLBF,

:.CD=CG.

VZF=60°,GF=LZCGF=9Q°,

tanZF==CG=tan60°=V3

GF

•:CG=旧，

：.CD=y[j.

VZAFB^60°,ZABF=90°,

AZBAF=30°.

VZAZ）B=90°,ZBAF=30°,

:.AB=2BD.

VZBAE=ZCAE,ZAEB=ZAEC,

:.ZABE=ZACE.

:.AB”C.

设。。的半径为尸，贝0AC=AB=2r,BD=r.

VZADB=90°,

A-D=-

:.DC=AC-AD=2r-（2一如）r二旧.

r=2JA+3.

:.Q0的半径长为2八3+3.

A

26.（12分）如图，已知抛物线y=?-x-3与x轴的交点为A、D（A在Q的右侧），与y轴的交

点为C.

（1）直接写出A、D、C三点的坐标；

（2）若点M在抛物线上，使得的面积与4CAQ的面积相等，求点M的坐标；

（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B,在抛物线上是否存在点P,使得以A、B、

C、F四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】（1）根据抛物线的解析式求出A、D、。三点的坐标即可；

（2）分M点在x轴上方和下方两种情况根据面积相等分别计算M点的坐标;

（3）分AP〃BC和AP//AB两种情况分别求出P点坐标即可.

【解答】解：