第二课时基本不等式的应用

第二章第二课时基本不等式的应用1.进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值.2.能够利用基本不等式解决实际问题.课标要求素养要求通过学习掌握基本不等式及其应用，重点提升数学运算、逻辑推理、数学建模素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究1基本不等式与最大(小)值两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值.(1)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当________时，积xy有最大值_________.(2)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当________时，和x＋y有最小值______.x＝yx＝y点睛(1)利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正、二定、三相等”.①一正：各项必须为正.②二定：各项之和或各项之积为定值.③三相等：必须验证取等号时条件是否具备.(2)应用基本不等式求最值的关键：依定值去探求最值，探求的过程中常需依具体的问题进行合理的拆、凑、配等变换.

1.思考辨析，判断正误×提示

a，b为正实数.(2)对于实数a，b，若ab为定值，则a＋b有最小值.(

)提示

a，b为正实数.××2.(多选题)下列不等式正确的是(

)BC3.已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是________.504.已知m，n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是________.解析

由m2＋n2≥2mn，课堂互动题型剖析2题型一基本不等式的简单应用解

∵x>2，∴x－2>0，利用基本不等式求最值的策略思维升华解因为x<0，(2)设x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值.解法一由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x.即x＝12时，等号成立.∴x＋y的最小值是18.【例2】

某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).题型二基本不等式的实际应用(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米.利用基本不等式解决实际问题的步骤解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.(2)建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值.(4)正确写出答案.思维升华解设该厂每x天购买一次面粉，其购买量为6x吨.由题意可知，面粉的保管等其他费用为3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1).设平均每天所支付的总费用为y1元，所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.题型三基本不等式的灵活应用解析法一(1的代换)16解①②可得x＝4，y＝12.所以当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值是16.当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时取等号，所以x＋y的最小值是16.解析正数x，y满足x＋y＝1，即有(x＋2)＋(y＋1)＝4，角度3利用基本不等式解决恒成立问题解析因为a>0，b>0，所以2a＋b>0，B当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9.思维升华CD即a2＝c2＝2b2时，等号成立.(3)求x(m－x)(0<x<m)的最大值.解

∵0<x<m，∴x>0，m－x>0.1.利用基本不等式求最值，必须按照“一正、二定、三相等”的条件进行，若具备这些条件，则可直接运用基本不等式，若不具备这些条件，则应进行适当变形.2.利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件.解题时应对照已知条件和待求的式子，运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设使用基本不等式的条件，具体可以归纳为：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定，应凑出定和或定积.其中通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值，常见的变形方法有拆、并、配.课堂小结(1)拆——裂项拆项对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创设条件.(2)并——分组并项目的是分组后各组可以单独应用基本不等式；或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值.(3)配——配式配系数有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后的和式中各部分相乘后为定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.注意①基本不等式涉及的量为正实数，同时验证等号能否取到；②分式形函数及含有两个变量的函数或代数式，适合用基本不等式求最值.

分层训练素养提升3一、选择题B解析因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，则由基本不等式可知，B3.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站(

) A.5千米处 B.4千米处

C.3千米处 D.2千米处A4.(多选题)设正实数a，b满足a＋b＝1，则(

)ACA解析

设矩形的长为xm(0<x≤18)，宽为ym.则x＋2y＝30，二、填空题6.已知a>0，b>0，3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为________.解析因为x>0，210.某工厂要建造一个长方体形状无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？解设底面的长为xm，宽为ym，水池总造价为z元.根据题意，有由容积为4800m3，可得3xy＝4800.因此，xy＝1600.当x＝y，即x＝y＝40时，等号成立.所以，将水池的底面设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.B解析

∵0<x<1，∴1－x>0，ABD当4<x≤10时，由20－2x≥4，解得x≤8，所以此时4<x≤8.综上所述，得0≤x≤8，若一次投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达8分钟.故B正确；所以接下来的四分钟能够持续有效去污.故D正确.故选ABD.当且仅当3x＝2y，即x＝2，y＝3时，等号成立.∴xy取得最大值为6.14.(多选题)如图，某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，长方形ABCD(AB>AD)的周长为4m，沿AC折叠使点B到点B′位置，AB′交DC于点P.研究发现当△ADP的面积最大时最节能.若设AB＝x，PD＝y，则下列结论正确的是(

)ACD解析由题意得BC＝2－x，PC＝x－y