中考数学精创专题-平行四边形 期末压轴题训练 人教版八年级数学下册

试卷第=page11页，共=sectionpages11页试卷第=page22页，共=sectionpages22页第18章平行四边形期末压轴题训练1．如图1，把一个含角的直角三角板和一个正方形摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点重合，点、分别在正方形的边、上，连接，取中点，的中点，连接、．(1)如图1，连接，求证：；(2)在（1）的条件下，请判断线段与之间的数量关系，并加以证明；(3)如图2，将这个含角的直角三角板的直角顶点和正方形的顶点重合，点、分别在正方形的边、的延长线上，其他条件不变，当，时，求的长．2．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．(1)如图，求证：矩形DEFG是正方形；(2)若AB＝，CE＝2，求CG的长；(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．3．已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．(1)如图1，连接BG、CF，①求的值；②求∠BHC的度数．(2)当正方形AEFG旋转至图2位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN，猜想MN与BE的数量关系与位置关系，并说明理由．4．《见微知著》读到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是思想阀门发现新问题、结论的重要方法（教材呈现），图中是华师版九年级上册数学教材第103﹣104页的部分内容．(1)定理证明：请根据教材图24﹣2.2的提示，结合图①完成直角三角形的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明(2)定理应用：如图②，在ABC中，AD⊥BC，垂足为点D（点D在BC上），CE是AB边的中线，DG垂直平分CE，求证：∠B＝2∠BCE．(3)拓展提高：如图③，在ABC中，∠B＝30，∠ADC＝45，AD恰好是中线，求∠C的度数．5．如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系xOy中，使分别落在x，y轴的正半轴上，其中，对角线AC所在直线解析式为，将矩形OABC沿着BE折叠，使点A落在边OC上的D处．(1)求点B的坐标；(2)求EA的长度；(3)点P是y轴上一动点，是否存在点P使得△PBE的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，如不存在，请说明理由．6．“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的一个重要性质．即：如图①，中，，CD为斜边AB上的中线，则解决下列问题：(1)如图①，中，，CD为斜边AB上的中线，且．试求出BC的长度；(2)四边形ABCD中，，．①如图②，点E、F分别是CD、AB的中点，．求证：；②若，点P是射线OA上的一个动点（点P与点A不重合），分别过点A、C作于E，于F，连结OE，．猜想并写出线段OE、CF、AE之间的数量关系，并说明理由．7．在矩形ABCD的CD边上取一点E，将沿BE翻折，得到．(1)如图1，点F恰好在AD上，若，求出AB：BC的值．(2)如图2，E从C到D的运动过程中．①若，，的角平分线交EF的延长线于点M，求M到AD的距离：②在①的条件下，E从C到D的过程中，直接写出M运动的路径长．8．问题发现(1)如图①，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外分别作等边△ABD和等边△ACE，连接CD，BE．试猜想CD与BE的数量关系是________；(2)问题探究：如图②，四边形ABCD中，∠ABC＝45°，∠CAD＝90°，AC＝AD，AB＝2BC＝6．求BD的长．(3)问题解决：如图③，△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠ACB是一个变化的角，以AB为边向△ABC外作等边△ABD，连接CD，求CD的长度最大值．9．如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD＞2CE），BG的延长线与直线DE交于点H．(1)如图1，当点G在CD上时，线段BG与DE的数量关系是，∠BHD的度数为；(2)将正方形CEFG绕点C旋转．①如图2，当点E在直线CD右侧时，连接CH，求证：；②当∠DEC＝45°时，若，CE＝1，请直接写出线段DH的长．10．如图，已知四边形ABCD，∠A＝∠C＝90°，BD是四边形ABCD的对角线，O是BD的中点，BF是∠ABE的角平分线交AD于点F，DE是∠ADC的角平分线交BC于点E，连接FO并延长交DE于点G．(1)求∠ABC+∠ADC的度数；(2)求证：FO＝OG；(3)当BC＝CD，∠BDA＝∠MDC＝22.5°时，求证：DM＝2AB11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连结DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s．解答下列问题：(1)当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似？(2)①当t＝s时，EP＝EQ；②当t为何值时，QE＝QP？(3)当点Q在B、E之间运动时，是否存在某一时刻t，使得PQ分四边形BCDE所成的两部分面积之比为S△PQE：S五边形PQBCD＝1：29？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．12．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．【定理证明】(1)请根据教材内容结合图1，写出证明过程．【定理应用】(2)如图2，在△ABC中AD垂直于∠ABC的平分线BE于点E，且交BC边于点D，点F为AC的中点．若AB＝4，BC＝7，直接写出EF的长______．(3)如图3，△ABC的中线BD、CE相交于点O，F、G分别是BO、CO的中点，连结DE、EF、FG、GD．若△ADE的面积为15，则四边形DEFG的面积为______．13．如图，在中，AD是中线，于点E，交AD于点O，F是AC的中点，连接EF，DE，DF．(1)若，求的度数；(2)求证：直线DF垂直平分CE；(3)若，用含有a，b的代数式表示的周长．14．如图1，正方形边长为4，点P是直线上的一动点，连接，以为边在直线右侧作等边三角形．(1)请直接写出正方形的面积；(2)当为何值时，点C落在的边上；(3)如图2，若点P在线段上从B向C运动，当为何值时，线段的长度最小？请求出的最小值，并直接写出点E所经过的路径的长度．15．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且，连接EO并延长交AD于点F，过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．(1)求证：；(2)若，解答下列问题：①求证：；②当时，求DF的长．16．△ABC中，，，点D为直线BC上一动点（（点D不与B，C重合）），以AD为边的AD右侧作正方形ADEF，连接CF．(1)观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：______．②BC，CD，CF之间的数量关系为______；（将结论直接写在横线上）(2)数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．(3)拓展延伸：如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于G，连接GE．若已知，，请直接写出GE的长．17．【模型建立】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线上一点，连接AE，CE．求证：△ADE≌△CDE．【模型应用】（2）如图2，在正方形ABCD中，点E是对角线上一点，连接AE，CE．将EC绕点E逆时针旋转90°，交AD的延长线于点F，连接EF，CF．当AE＝3时，求CF的长．【模型迁移】（3）如图3，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E是对角线上一点，连接AE，CE．将EC绕点E逆时针旋转交AD的延长线于点F，连接EF，CF，EC与EF交于点G．当EF＝EC时，判断线段CF与AE的数量关系，并说明理由．18．在中，为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：(1)如果，①如图1，当点D在线段BC上时（与点B不重合），线段CF、BD之间的位置关系为；数量关系为；②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；(2)如图3，如果，点D在线段BC上运动（与点B不重合）．试探究：当时，（1）中的CF，BD之间的位置关系是否仍然成立，并说明理由．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．(1)见解析(2)，证明见解析(3)【分析】（1）先判断出，进而判断出，即可得出结论；（2）先判断出，再用三角形的中位线判断出，即可得出结论；（3）同（1）的方法得出，再用勾股定理求出，进而得出，最后用三角形的中位线，即可求出答案．【解析】（1）解：证明：四边形是正方形，，，是等腰直角三角形，，，，，；（2），理由如下：在中，点是的中点，，由（1）知，，，点是的中点，点是的中点，是的中位线，，；（3）如图2，连接，四边形是正方形，，，是等腰直角三角形，，，，，，在中，根据勾股定理得，，由（1）知，，点是的中点，点是的中点，是的中位线，．【解析】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，连接是解（3）的关键．2．(1)见解析；(2)；(3)或【分析】（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF＝ED，根据正方形的判定定理证明即可；（2）通过计算发现E是AC中点，点F与C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解决问题．（3）分两种情形结合正方形的性质解答即可．【解析】（1）证明：如下图所示：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA＝∠BCA，∴EQ＝EP，∵∠QEF+∠FEC＝90°，∠PED+∠FEC＝90°，∴∠QEF＝∠PED，在Rt△EQF和Rt△EPD中，，∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），∴EF＝ED，∴矩形DEFG是正方形；（2）如图2：在Rt△ABC中AC＝AB＝，∵EC＝2，∴AE＝CE，∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，∴；（3）①如图3：当DE与AD的夹角为40°时，∠DEC＝45°+40°＝85°，∵∠DEF＝90°，∴∠CEF＝5°，∵∠ECF＝45°，∴∠EFC＝130°，②如图4：当DE与DC的夹角为40°时，∵∠DEF＝∠DCF＝90°，∴∠EFC＝∠EDC＝40°，综上所述，∠EFC＝130°或40°．【解析】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的判定与性质等相关知识点，根据条件结合图形去解题是关键.3．(1)①；②45°；(2)；；理由见解析【分析】（1）①通过证明△CAF∽△BAG，可得；②由①得出∠ACF＝∠ABG，∠CAB＝45°，最后用三角形的内角和定理，即可求出答案；（2）过点C作，由“ASA”可证△CMH≌△FME，可得CH＝EF，ME＝HM，由“SAS”可证△BCH≌△BAE，可得BH＝BE，∠CBH＝∠ABE，由三角形中位线定理可得结论．【解析】（1）①如图1，连接AF，AC，∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，∴，，∠CAB＝∠GAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠CAF＝∠BAG，，∴△CAF∽△BAG，∴；②∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，在△BCH中，∠BHC＝180°−（∠HBC＋∠HCB）＝180°−（∠HBC＋∠ACB＋∠ACF）＝180°−（∠HBC＋∠ACB＋∠ABG）＝180°−（∠ABC＋∠ACB）＝45°；（2）BE＝2MN，MN⊥BE；理由如下：如图2连接ME，过点C作CQ∥EF，交直线ME于Q，连接BQ，设CF与AD交点为P，CF与AG交点为R，∵CQ∥EF，∴∠FCQ＝∠CFE，∵点M是CF的中点，∴CM＝MF，又∵∠CMQ＝∠FME，∴△CMQ≌△FME（ASA），∴CQ＝EF，ME＝QM，∴AE＝CQ，∵CQ∥EF，AG∥EF，∴CQ∥AG，∴∠QCF＝∠CRA，∵AD∥BC，∴∠BCF＝∠APR，∴∠BCQ＝∠BCF＋∠QCF＝∠APR＋∠ARC，∵∠DAG＋∠APR＋∠ARC＝180°，∠BAE＋∠DAG＝180°，∴∠BAE＝∠BCQ，又∵BC＝AB，CQ＝AE，∴△BCQ≌△BAE（SAS），∴BQ＝BE，∠CBQ＝∠ABE，∴∠QBE＝∠CBA＝90°，∵MQ＝ME，点N是BE中点，∴BQ＝2MN，MN∥BQ，∴BE＝2MN，MN⊥BE．【解析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．4．(1)见解析(2)见解析(3)105°【分析】(1)延长CD到E，使DE=CD，连接AE，BE，则CD=CE，可证得AD=BD，四边形ACBE是矩形，可得CE=AB，即可证得结论；(2)连接DE，根据(1)的结论，可得AE=BE=DE，可得∠B=∠BDE，再根据线段垂直平分的性质及三角形外角的性质，可证得∠BDE=2∠BCE，据此即可证得结论；(3)过点C作CE⊥AB与点E，连接DE，根据(1)的结论，可得BD=CD=DE，可得∠DEB=∠B=30°，可证得△CDE是等边三角形，∠EDC=∠ECD=60°，再根据三角形外角的性质可证得∠BAD=∠EDA，DE=AE，CE=AE，最后根据∠ACB=∠ECD+∠ECA，即可求得．【解析】（1）解：定理证明：延长CD到E，使DE=CD，连接AE，BE，则CD=CE，∵CD是斜边AB上的中线，∴AD=BD，∴四边形ACBE是平行四边形，∵∠ACB=90°，∴四边形ACBE是矩形，∴CE=AB，∴CD=AB，即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）证明：如图②：连接DE，∵CE是AB边上的中线，∴AE=BE，∵AD⊥BC，∴DE=AB=AE=BE，∴∠B=∠BDE，∵DG垂直平分CE，∴DE=DC，∴∠DEC=∠BCE，∴∠BDE=2∠BCE，∴∠B=2∠BCE；（3）解：过点C作CE⊥AB与点E，连接DE，∴∠BEC=∠AEC=90°，∵AD是中线，∴点D是BC的中点，∴在Rt△CEB中，BD=CD=DE，∴∠DEB=∠B=30°，∴∠DEC=90°-30°=60°，∴△CDE是等边三角形，∠EDC=∠ECD=60°，DE=CE，∴∠EDA=∠EDC-∠ADC=60°-45°=15°，又∵∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠BAD=∠ADC-∠B=45°-30°=15°，∴∠BAD=∠EDA，∴DE=AE，∴CE=AE，∴∠ECA=∠EAC=45°，∴∠ACB=∠ECD+∠ECA=60°+45°=105°．【解析】本题考查了直角三角形的性质的证明和应用、线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，构造直角三角形中斜边上的中线是解题的关键．5．(1)B（6，10）(2)(3)【分析】（1）由矩形的性质结合的长度可得出点的坐标，由点的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，由直线的解析式，利用一次函数的图像上点的坐标特征可得出点的坐标，再利用矩形的性质可得出点的坐标；（2）在中，利用勾股定理可求出的长，进而可求出的长，设，则，在中，利用勾股定理可求出的长）的值；（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的周长最小，由点的坐标可得出点的坐标，由点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，再利用一次函数图像上点的坐标特征可求出点的坐标．【解析】（1）解：，四边形是矩形，，点的坐标为．将代入，得：，，直线的解析式为．当时，，解得：，点的坐标为，点的坐标为．（2）解：在中，，，，．设，则，在中，，，，．（3）解：存在，如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的周长最小．由（2）可知：点的坐标为，．点，关于轴对称，点的坐标为，．设直线的解析式为，将，，代入，得：，解得：，直线的解析式为．当时，，点的坐标．【解析】本题考查了矩形的性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图像上点的坐标特征、折叠的性质、勾股定理以及轴对称最短路径问题，解题的关键是：（1）利用一次函数图像上点的坐标特征结合矩形的性质，找出点的坐标；（2）利用折叠的性质结合勾股定理，求出的长度；（3）利用两点之间线段最短确定点的位置．6．(1)(2)①见解析；②或，见解析【分析】（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质求出AB的长，再利用勾股定理求出BC长即可；（2）①延长AD、BC相交于点P，连结PE、PF，利用题干的性质可求证P、E、F在同一条直线上，且，，进行等量代换即可求证；②分两种情况讨论，当点P在线段OA上时，连结OF，延长EO交CF于点G，先证出进而得到是等边三角形，再进行等量代换即可得到，当点P在线段OA的延长线上时，延长EO、FC交于点G，同理等量代换得到．(1)解：∵，CD为斜边AB上的中线，∴，∵，∴，在中，∵，，∴；(2)①延长AD、BC相交于点P，连结PE、PF，∵，∴∴，∴同理可证：，，∵，∴，∴，又∵P、E、F在PA的同一侧，∴P、E、F在同一条直线上，∴；②或当点P在线段OA上时，连结OF，延长EO交CF于点G，∵，，∴，∴，又∵，，∴，∴，，在中，∵，∴，∴，∴∴是等边三角形，∴，∴，即，当点P在线段OA的延长线上时，延长EO、FC交于点G（如图），同上可得，，是等边三角形，∴，，∴，∴，即．【解析】本题考查几何变换综合题、直角三角形斜边中线性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质，等边三角形性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．7．(1)(2)①3，②【分析】（1）①设DF=m，解直角三角形求出AB，AD（用m表示即可）；（2）①如图，过点M作MK⊥AD于K，MH⊥BA交BA的延长线于H，交CD的延长线于G．证明△BMH≌△BMF（AAS），推出BH=BF=8，可得结论．②如图3-2中，当点E与D重合时，求出MG的长，可得结论．(1)如图，设DF=m．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=∠C=90°，AB=CD，AD=BC，由翻折的性质可知，∠BEF=∠BEC=75°，∠C=∠BFE=90°，EF=EC，∴∠FED=180°-75°-75°=30°，∴EF=EC=2DF=2m，DE=DF=m，∴∠AEFD=60°，∠AFB=30°，AB=CD=2m+m，∵AF=AB=2m+3m，∴BC=AD=2m+4m，∴．(2)①如图，过点M作MK⊥AD于K，MH⊥BA交BA的延长线于H，交CD的延长线于G．∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠BAD=∠ABD=∠ADC=90°，AB=CD=5，AD=BC=8，∵MH⊥AB，MK⊥AD，∴∠H=∠HAK=∠AKM=90°，∴四边形AKMH是矩形，∴AH=MK，∵BM平分∠ABF，∴∠MBH=∠MBF，∵∠H=∠AFM=90°，BM=BM，∴△BMH≌△BMF（AAS），∴BH=BF，∵BF=BC=8，∴BH=BC=8，∴MK=AH=BH-AB=8-5=3，∴M到AD的距离为3．②如图，当点E与D重合时，∵△BMH≌△BMF，∴MH=MF，设MH=MF=m，∵四边形AHGD是矩形，∴AH=DG=3，GH=AD=8，∠G=90°，∵CD=DF=5，GM=GH-HM=8-m，在Rt△DGM中，则有（8-m）2+32=（5+m）2，解得m=，∴GM=8-=，观察图象可知，当E从C到D的过程中，点M运动的路径是线段MG，∴点M的运动的路径的长为．【解析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，判断出BH=BF=BC是解题的关键．8．(1)CD=BE(2)9(3)5【分析】（1）结论：CD=BE．证明△DAC≌△BAE（SAS），可得结论．（2）如图②中，以AB为边向外作等腰直角△ABT，证明△TAC≌△BAD（SAS），推出CT=BD，利用勾股定理求出CT即可．（3）存在．如图③中，以BC为边向外作等边△BCF，连接AF．证明△DBC≌△ABF（SAS），推出DC=AF，可得结论．【解析】（1）解：CD=BE．理由：如图①中，∵△ABD，△ACE都是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=60°，∴∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴CD=BE．故答案为：CD=BE．（2）如图②中，以AB为边向外作等腰直角△ABT，连接CT．∵∠BAT=∠CAD=90°，∴∠BAD=∠TAC，在△TAC和△BAD中，∴△TAC≌△BAD（SAS），∴CT=BD，∵∠ABT=∠ABC=45°，∴∠TBC=90°，∵AB=2BC=6，∴，∴，∴BD=TC=9；（3）存在．如图③中，以BC为边向外作等边△BCF，连接AF．∵△ABD，△BCF都是等边三角形，∴BA=BA，BC=BF，∠DBA=∠CBF=60°，∴∠DBC=∠ABF，在△DBC和△ABF中，∴△DBC≌△ABF（SAS），∴DC=AF，∵AC=2，CF=BC=3，∴AF≤AC+CF，∴AF≤5，∴当A，C，F共线时，AF的值最大，最大值为5，∴CD的最大值为5．【解析】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．9．(1)BG＝DE，90°(2)①见解析；②或2【分析】（1）证明△BCG≌△DCE（SAS）可得结论；（2）①如图2中，在线段BG上截取BK＝DH，连接CK．证明△BCK≌△DCH（SAS），推出CK＝CH，∠BCK＝∠DCH，推出△KCH是等腰直角三角形，即可解决问题；②分两种情形：如图3−1中，当D，G，E三点共线时∠DEC＝45°，连接BD．如图3−2中，当D，H，E三点共线时∠DEC＝45°，连接BD，分别求解即可解决问题．【解析】（1）解：如图1中，∵在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝CD，CG＝CE，∠BCG＝∠DCE＝90°，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴BG＝DE，∠CBG＝∠CDE，∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠HBE+∠BEH＝90°，∴∠BHD＝90°，故答案为：BG＝DE，90°；（2）①证明：如图2中，在线段BG上截取BK＝DH，连接CK．由（1）可知，∠CBK＝∠CDH，∵BK＝DH，BC＝DC，∴△BCK≌△DCH（SAS），∴CK＝CH，∠BCK＝∠DCH，∴∠KCH＝∠BCD＝90°，∴△KCH是等腰直角三角形，∴HK＝CH，∴BH﹣DH＝BH﹣BK＝KH＝CH．②如图3﹣1中，当D，G，E三点共线时∠DEC＝45°，连接BD．由（1）可知，BH＝DE，且CE＝CH＝1，EH＝CH＝，∵AB＝，∴BD＝AB＝，设DH＝x，则BH＝DE＝x+，在Rt△BDH中，∵BH2+DH2＝BD2，∴（x+）2+x2＝（）2，解得x＝或﹣2（舍弃）．如图3﹣2中，当H，E重合时，∠DEC＝45°，连接BD．设DH＝x，∵BG＝DH，∴BH＝DH﹣HG＝x﹣，在Rt△BDH中，∵BH2+DH2＝BD2，∴（x﹣）2+x2＝（）2，解得x＝2或﹣（舍弃），综上所述，满足条件的DH的值为或2．【解析】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．10．(1)180°(2)见解析(3)见解析【分析】（1）在四边形ABCD中，内角和为360°，因为∠A＝∠C＝90°，所以∠ABC+∠ADC＝180°；（2）由（1）可知，∠ABF+∠CBF+∠ADE+∠CDE＝180°，根据BF、DE分别是∠ABE、∠ADC的角平分线，得到∠ABF+∠ADE＝90°，由∠ABF+∠AFB＝90°，得∠ADE＝∠AFB，求出BF∥ED，所以∠BFG＝∠FGD，得证≌，由此得出结论；（3）证法一：过D点作CD的垂线，延长BA相交于点N，过B点作BK垂直DN，易证，所以BK＝CD，可证，所以，由，可证，所以；证法二：延长DM，延长DC，过B点作MD的垂线，垂足为N，交DC的延长线于点L，可得，所以，再由得，所以，易证，则，所以．【解析】（1）解：∵四边形ABCD的内角和为360°，∠A＝∠C＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝180°．（2）证明：由（1）可知，∠ABF+∠CBF+∠ADE+∠CDE＝180°，∵BF、DE分别是∠ABE、∠ADC的角平分线∴∠ABF＝∠CBF；∠ADE＝∠CDE，∴2∠ABF+2∠ADE＝180°，∴∠ABF+∠ADE＝90°，又∵∠ABF+∠AFB＝90°，∴∠ADE＝∠AFB，∴BF∥ED，∴∠BFG＝∠FGD．在和中，∴，∴；（3）证法一：过D点作CD的垂线，延长BA相交于点N，过B点作BK垂直DN，∴四边形BCDK是矩形，∵BC=CD，∴四边形BCDK是正方形，∴，∴BK＝CD，∵∠BDA＝∠MDC＝22.5°，∠BDK＝45°，∴∠ADN＝22.5°=∠BDA，在△BAD和△NAD中∴（ASA）∴，∵，在△BKN和△MCD中∴（ASA）∴；解法二：延长DM，延长DC，过B点作MD的垂线，垂足为N，交DC的延长线于点L．∵BC=CD，∠BCD＝90°，∴∠CBD＝∠BDC＝45°，∵∠BDA＝∠MDC＝22.5°，∴∠BDM＝22.5°，在△BAD和△BND中，（ASA），，在△LND和△BND中，（ASA），，，∴，在△LCB和△MCD中，（ASA），．【解析】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，第（2）问作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．11．(1)或(2)①1或3；②(3)存在，2【分析】（1）当t＞时，Rt△EPQ∽△Rt△BAC或Rt△EQP∽△Rt△BAC，列出关于t的方程求得；（2）①分为t＜和t＞，列出方程求得结果；②作QF⊥PE于F，可△EFQ∽△BCA，从而求得结果；（3）由S△PQE：S五边形PQBCD＝1：29得，作PH⊥AE于H，根据△EPH∽△BAC表示出PH，从而表示出△PEQ和梯形BCDE的面积，列出方程求得t．【解析】（1）解：如图1，∵∠C＝90°，AC＝﹣6，BC＝8，∴AB＝10，∴D、E分别是AC、AB的中点，∴DEBC，BE＝5，∴△ADE∽△ACB，∵△ADE与△PQE相似，∴△PQE与△ABC相似，当点Q在AE上，PQ⊥AB时，则，∴，∴t＝，如图2，当PQ⊥DE时，则，∴，∴t＝，综上所述：t＝或；（2）解：①当4﹣t＝5﹣2t时，t＝1，当4﹣t＝2t﹣5时，t＝3，故答案是：1或3；②如图3，作QF⊥PE于F，∵PQ＝EQ，∴EF＝PE＝，类比（1）得：△EFQ∽△BCA，∴，∴，∴t＝；（3）解：如图4，存在t＝2，使S△PQE：S五边形PQBCD＝1：29，∵S△PQE：S五边形PQBCD＝1：29，∴，作PH⊥AE于H，由（1）知：PH＝（4﹣t），∴S△PEQ＝，∵S梯形BEDC＝，∴，∴t1＝2，t2＝（舍去），∴当t＝2时，S△PQE：S五边形PQBCD＝1：29．【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形性质，三角形中位线性质等知识，解决问题的关键是充分利用相似三角形知识．12．(1)见解析(2)1.5(3)20【分析】（1）延长DE至F，使EF＝DE，连接CF，先证明△AED≌△CEF，再证明四边形DBCF为平行四边形，即可得证结论；（2）先证△AEB≌△DEB，得出AE=BE，BD=AB=4，求出CD=BC-BD=3，进而得出EF=CD，从而可求出答案；（3）先证四边形DEFG是平行四边形，得出S△BEF=S△EFO=S△EOD=S△AED，则四边形DEFG的面积=，从而可求出四边形的面积．【解析】（1）证明：延长DE至F，使EF＝DE，连接CF，在△AED和△CEF中，，∴△AED≌△CEF（SAS），∴AD＝CF，∠A＝∠ACF，∴AB∥CF，∵AD＝DB，∴BD＝CF，∴四边形DBCF为平行四边形，∴DF∥BC，DF＝BC，∴DE∥BC，DE＝BC；（2）BE平分∠BAC，BE⊥AD于点E，∠ABE=∠DBE，∠BEA=∠DEB=90°，又BE=BE，△AEB≌△DEB，AE=DE，BD=AB=4，CD=BC-BD=7-4=3，又点F是AC的中点，；故答案为：1.5．（3）点F、G分别是BO和CO的中点，FG∥BC，FG=BC，又,ED=BC，ED//FG，ED=FG，四边形DEFG是平行四边形，DE是△ADB的AB上的中线，△DAE与△DBE等底同高，S△DBE=15，四边形DEFG是平行四边形，OD=OF，F点是OB的中点，OF=BF，BF=OF=OD，△EBF、OEFO、△EOD等底等高，即S△BEF=S△EFO=S△EOD=S△AED=，S△EFD=2S△EFB=10，四边形DEFG的面积是：2S△EFD=20，故答案为：20．【解析】本题主要考查三角形中位线定理的证明和应用，熟练掌握三角形中位线定理的证明和应用是解题的关键．13．(1)23°(2)见解析(3)【分析】⑴利用等腰三角形“三线合一”的性质，证明，再通过三角形内角和的关系求得答案．⑵先通过直角三角形斜边上的中线定理证明CD=DE，CF=EF，再由定理“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，问题得证．⑶通过证和全等，求得DE的长，再通过直角三角形斜边上的中线定理求得EF、DF的长，进而求得的周长．【解析】（1）解：∵，∴AB=AC，即为等腰三角形；∵AD是的中线，∴，∴，∴．（2）解：∵，∴和是直角三角形；∵AD是的中线，F是AC的中点，∴DE和EF分别是和的中线，∴BD=CD=DE，AF=CF=EF，∴直线DF垂直平分CE．（3）解：∵，，∴，∴AE=CE，∵，，∴，，∴，∴，∴，，∵AB=AC=b，和是直角三角形，∴EF=DF=AC=b，∴的周长为a+b．【解析】本题考查了直角三角形斜边上的中线定理、等腰三角形的“三线合一”、全等形证明，线段垂直平分线判定等知识，熟练掌握和应用相关定理是解题的关键．14．(1)16(2)或或4(3)；；E所经过的路线的长度是4【分析】（1）根据正方形的面积公式即可得到结论；（2）如图1，若点C在DE上，如图2，若点C在PE上时，如图3，若点C在DP上时，根据三角函数的定义即可得到结论；（3）如图4，根据旋转的性质得到则△DCP≌△DFE（SAS），根据全等三角形的性质得到∠DFE＝∠DCP＝90°，EF⊥DF，CP＝FE，当CE⊥EF时，CE最小，根据等边三角形的性质得到CD＝DF＝DC＝4，∠DFC＝60°，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）解：∵正方形ABCD边长为4，∴正方形ABCD的面积＝42＝16；（2）解：若点C在边上，如图所示：，∴；若点C在边上，如图所示：，，，∴；若点C在边上，如图所示：；综上分析可知：为，或或4．（3）解：将绕着点D逆时针旋转得到，连接，如图所示：则，，，，即点E在经过点F且垂直于直线的线上运动，当时，最小，是等边三角形，，∴，，，∴，E所经过的路线的长度是4．【解析】本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，等边三角形的性质，旋转的性质，解题的关键是正确的作出辅助线．15．(1)见解析(2)①见解析，②【分析】（1）根据平行四边形的性质得到∠OAF＝∠OCE，证明△OAF≌△OCE，根据全等三角形的对应边相等证明结论；（2）①过A作AM⊥BC于M，交BG于K，过G作GN⊥BC于N，根据三角形的外角性质得到∠BAG＝∠BGA，进而即可得到结论；②证明△AME≌△BNG，根据全等三角形的性质得到ME＝NG，根据等腰直角三角形的性质得到BE＝GC，根据（1）中结论证明即可．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠OAF＝∠OCE，在△OAF和△OCE中，，∴△OAF≌△OCE（ASA）∴AF＝CE，∵AD＝BC，∴DF＝BE；（2）①过A作AM⊥BC于M，交BG于K，过G作GN⊥BC于N，则∠AMB＝∠AME＝∠BNG＝90°，∵∠ACB＝45°，∴∠MAC＝∠NGC＝45°，∵AB＝AE，∴BM＝EM＝BE，∠BAM＝∠EAM，∵AE⊥BG，

∴∠AHK＝90°＝∠BMK，又∠AKH＝∠BKM，∴∠MAE＝∠NBG，设∠BAM＝∠MAE＝∠NBG＝α，则∠BAG＝45°＋α，∠BGA＝∠GCN＋∠GBC＝45°＋α，∴∠BAG＝∠BGA，∴AB=BG；②∵∠BAG＝∠BGA，∴AB＝BG，∴AE＝BG，在△AME和△BNG中，，∴△AME≌△BNG（AAS），

∴ME＝NG，在等腰Rt△CNG中，NG＝NC，∴GC＝NG＝ME＝BE，∴BE＝GC，∵DF＝BE，∴DF＝GC＝【解析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及等腰直角三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论．16．(1)①垂直；②BC=CD＋CF(2)成立，证明见解析；(3)【分析】（1）由边角边对应相等得出△ABD≌△ACF，从而CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，进而得出结论①②；（2）由（1）解答得出△ABD≌△ACF，从而CF=BD，∠ACF=∠ABD=135°，进而得出结论；（3）过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD延长线于N，由△AMD≌△DNE，得到DN=2，EN=3；设B为坐标原点，由中点坐标公式可得F点坐标，结合坐标特征求出G点坐标，即可计算GE的长；【解析】（1）解：△ABC中，，，则△ABC等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，则AD=AF，∠DAF=90°，∠BAC=∠BAD＋∠DAC=90°，∠DAF=∠CAF＋∠DAC=90°，∴∠BAD=∠CAF，△ABD和△ACF中：AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，∴△ABD≌△ACF（SAS），∴BD=CF，∠ABD=∠ACF=45°，∠ACB=45°，则∠BCF=∠ACB＋∠ACF=90°，故：BC⊥CF，BC=BD＋DC=CF＋DC；（2）解：根据（1）解答可得：△ABD≌△ACF（SAS），∴BD=CF，∠ABD=∠ACF=135°，∠ACB=45°，则∠BCF=∠ACF－∠ACB=90°，故：BC⊥CF，BC=BD＋DC=CF＋DC；（3）解：如图，过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD延长线于N，四边形ADEF是正方形，△ABC是等腰直角三角形，△AMD和△DNE中：∠ADM＋∠DAM=∠ADM＋∠EDN=90°，则∠DAM=∠EDN，AD=DE，∠AMD=∠DNE=90°，∴△AMD≌△DNE，BC=4，CD=1，则AM=2，DM=3，∴DN=2，EN=