高等数学第四章不定积分

高等数学第四章不定积分第一页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二4.1不定积分的概念与性质定义1：设F(x)与f(x)是定义在某区间上的函数，

如果在该区间上有

或，则称F(x)是f(x)

在这个区间上的一个原函数。4.1.1原函数第二页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?

定理1.

存在原函数.初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数机动目录上页下页返回结束第三页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二定理.原函数都在函数族(C为任意常数)内.证:1)又知故即属于函数族机动目录上页下页返回结束即第四页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二定义2.在区间

I上的原函数全体称为上的不定积分,其中—积分号;—被积函数;—被积表达式.—积分变量;若则(C为任意常数)C

称为积分常数不可丢!例如,记作4.1.2不定积分的概念第五页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二4.1.3不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.机动目录上页下页返回结束的积分曲线

.第六页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例1.

设曲线通过点(1,2),

且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解:所求曲线过点(1,2),故有因此所求曲线为机动目录上页下页返回结束第七页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例2.

质点在距地面处以初速力,求它的运动规律.解:

取质点运动轨迹为坐标轴,原点在地面,指向朝上,质点抛出时刻为此时质点位置为初速为设时刻

t

质点所在位置为则(运动速度)(加速度)机动目录上页下页返回结束垂直上抛,不计阻

先由此求

再由此求第八页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二先求由知再求于是所求运动规律为由知机动目录上页下页返回结束故第九页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二性质1一个函数积分后导数或微分等于这个函数。性质2一个函数微分后积分，等于这个函数加上任意常数。4.1.4不定积分的简单性质第十页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二性质3积分形式不变性

如果u为x

的任何

可微函数，则有性质4函数代数和的不定积分等于它们不定积分的代数和第十一页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二性质5常数因子可从积分号中提出k

是常数且k≠0第十二页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二4.2不定积分的基本公式(k

为常数)机动目录上页下页返回结束第十三页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二或或机动目录上页下页返回结束第十四页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二机动目录上页下页返回结束第十五页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二

例1

第十六页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二

例2第十七页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例3.求解:

原式=例4.

求解:

原式=第十八页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例5.求解:

原式=机动目录上页下页返回结束第十九页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例6.

求解:

原式

=第二十页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例7.

求解:

原式=注意方法第二十一页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例8.

求解:

原式=机动目录上页下页返回结束注意方法第二十二页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二

例1

第二十三页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二

例2第二十四页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例3.求解:

原式=例4.

求解:

原式=第二十五页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例5.求解:

原式=机动目录上页下页返回结束第二十六页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例6.

求解:

原式

=第二十七页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例7.

求解:

原式=注意方法第二十八页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例8.

求解:

原式=机动目录上页下页返回结束注意方法第二十九页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二内容小结1.不定积分的概念•原函数与不定积分的定义•不定积分的性质•基本积分表2.直接积分法:利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质机动目录上页下页返回结束第三十页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二思考与练习1.

若提示:机动目录上页下页返回结束第三十一页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二2.

若是的原函数,则提示:已知机动目录上页下页返回结束第三十二页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二3.

若的导函数为则的一个原函数是().提示:已知求即B??或由题意其原函数为机动目录上页下页返回结束第三十三页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二4.

求下列积分:提示:机动目录上页下页返回结束第三十四页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二5.求不定积分解：机动目录上页下页返回结束第三十五页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二6.

已知求A,B.解:

等式两边对x

求导,得机动目录上页下页返回结束第三十六页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二二、第二类换元法一、第一类换元法机动目录上页下页返回结束4.3两种积分法

第四章第三十七页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二4.3.1.换元积分法

复合函数的微分法大大拓展了求导数（或求积分）的范围。同样，将复合函数的微分法用于求积分即得复合函数得积分法—换元积分法，按其应用方法得不同可分为两种换元法。第三十八页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二1第一换元积分法

如果不定积分用基本积分法不易求得，但被积表达式可分解为作变量代换，得到则而可以求出，不妨设第三十九页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二这一步常称为“凑积分”，第二步就是求不定积分。

定理（第一类换元积分法）设，且在区间I可微，则

用第一换元积分法求不定积分，分为两步完成，第一步从f(x)中分出一个因子，使与dx凑成u的微分du，并把被积函数剩下的部分写成的u函数，即例第四十页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二第二类换元法第一类换元法基本思路机动目录上页下页返回结束设可导,则有第四十一页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二一、第一类换元法定理1.则有换元公式(也称配元法即,凑微分法)机动目录上页下页返回结束第四十二页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例1.

求解:原式

=注:

当时机动目录上页下页返回结束第四十三页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例2.

求解:想到公式机动目录上页下页返回结束第四十四页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例3.

求想到解:(直接配元)机动目录上页下页返回结束第四十五页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例4.

求解:机动目录上页下页返回结束类似第四十六页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例5.

求解:∴原式

=机动目录上页下页返回结束第四十七页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二常用的几种配元形式:万能凑幂法机动目录上页下页返回结束第四十八页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例6.

求解:

原式=机动目录上页下页返回结束第四十九页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例7.

求解:

原式=例8.

求解:

原式=机动目录上页下页返回结束第五十页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例9.

求解法1解法2两法结果一样机动目录上页下页返回结束第五十一页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例10.

求解法1机动目录上页下页返回结束第五十二页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二解法2同样可证或机动目录上页下页返回结束第五十三页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例11答案的另一种形式第五十四页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例12.

求解:

原式=机动目录上页下页返回结束第五十五页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例13.

求解:机动目录上页下页返回结束第五十六页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例14.

求解:∴原式=机动目录上页下页返回结束第五十七页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例15.

求解:

原式=机动目录上页下页返回结束分析:

第五十八页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例16.

求解:原式机动目录上页下页返回结束第五十九页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二小结常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元万能凑幂法机动目录上页下页返回结束利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如第六十页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二思考与练习1.机动目录上页下页返回结束第六十一页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二2.

求提示:法1法2法3作业目录上页下页返回结束第六十二页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二

由例子看出，要想熟练运用凑积分法，记为一些常见函数的微分是很重要的，例如等等。

例1求

解把被积式中ln2x看成lnx的函数，剩下的因式恰好是lnx的微分dlnx

，令lnx＝u

，则，于是第六十三页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二

把u

＝lnx代入上式右端，得到

例2求

解把被积式中看成的函数，剩下部分乘上可以凑成的微分，令＝u

，则，于是

把

代入上式右端，得到第六十四页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二

例3求

解

解利用三角函数积化和差公式，我们有于是

例4求第六十五页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二

例5求

解第六十六页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二2第二类换元法机动目录上页下页返回结束第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法.难求，第六十七页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二定理2.设是单调可导函数,且具有原函数,证:令则机动目录上页下页返回结束则有换元公式第六十八页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二

定理（第二换元积分法）

则

设函数，在区间I可微且存在反函数，如果第六十九页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二

例1求

解被积函数中含有根式，令x=t2(t>0)，则dx＝dt2＝2tdt于是第七十页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二

例2求

解令u=ex

，或x=lnu，，于是此题也可用“加减项法”。得到的结果是一样的。第七十一页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二

例3求

解

例4求

解第七十二页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二

例5求

解

例6求

解第七十三页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二

例7求

解第七十四页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例8.

求解:

令则∴原式机动目录上页下页返回结束第七十五页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例9.

求解:

令则∴原式机动目录上页下页返回结束第七十六页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例10.

求解:令则∴原式机动目录上页下页返回结束第七十七页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二令于是机动目录上页下页返回结束第七十八页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二说明:被积函数含有时,除采用采用双曲代换消去根式,所得结果一致.或或机动目录上页下页返回结束三角代换外,还可利用公式第七十九页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二原式例11.

求解:

令则原式当

x<0时,类似可得同样结果.机动目录上页下页返回结束第八十页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二小结:1.第二类换元法常见类型:令令令或令或令或机动目录上页下页返回结束第八十一页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二机动目录上页下页返回结束2.常用基本积分公式的补充(7)

倒数代换

令第八十二页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二机动目录上页下页返回结束第八十三页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二解:

原式机动目录上页下页返回结束例12.

求例13.

求解:第八十四页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例14.

求解:

原式=机动目录上页下页返回结束例15.

求解:

原式第八十五页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例16.

求解:

令得原式机动目录上页下页返回结束第八十六页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例17.

求解:

原式令例16目录上页下页返回结束第八十七页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二思考与练习1.下列积分应如何换元才使积分简便?令令令机动目录上页下页返回结束第八十八页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二2.已知求解:

两边求导,得则(代回原变量)

机动目录上页下页返回结束第八十九页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二备用题1.求下列积分:机动目录上页下页返回结束第九十页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二2.求不定积分解：利用凑微分法,原式=令得机动目录上页下页返回结束第九十一页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二分子分母同除以3.求不定积分解:令原式机动目录上页下页返回结束第九十二页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二第三节由导数公式积分得:分部积分公式或1)v容易求得;容易计算.机动目录上页下页返回结束分部积分法

第四章第九十三页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例1.

求解:

令则∴原式思考:

如何求提示:

令则原式机动目录上页下页返回结束第九十四页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例2.

求解:

令则原式=机动目录上页下页返回结束第九十五页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例3.

求解:

令则∴原式机动目录上页下页返回结束第九十六页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例4.

求解:

令,则∴原式再令,则故原式=说明:

也可设为三角函数,但两次所设类型必须一致.机动目录上页下页返回结束第九十七页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例4.

求解:

令,则∴原式再令,则故机动目录上页下页返回结束第九十八页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二解题技巧:把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的顺序,前者为后者为例5.

求解:

令,则原式=机动目录上页下页返回结束反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数第九十九页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例6.

求解:

令,则原式=机动目录上页下页返回结束第一百页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例7.

求解:

令则原式机动目录上页下页返回结束令第一百零一页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例8.

求解:

令则∴原式=机动目录上页下页返回结束第一百零二页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例9.

求解:

令则得递推公式机动目录上页下页返回结束第一百零三页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二说明:递推公式已知利用递推公式可求得例如,机动目录上页下页返回结束第一百零四页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例10.

证明递推公式证:注:或机动目录上页下页返回结束第一百零五页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二说明:分部积分题目的类型:1)直接分部化简积分;2)分部产生循环式,由此解出积分式;(注意:两次分部选择的u,v函数类型不变,

解出积分后加C)例4目录上页下页返回结束第一百零六页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例11.

已知的一个原函数是求解:说明:

此题若先求出再求积分反而复杂.机动目录上页下页返回结束第一百零七页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例12.

求解法1

先换元后分部令即则故机动目录上页下页返回结束第一百零八页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二解法2

用分部积分法机动目录上页下页返回结束第一百零九页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二内容小结分部积分公式1.使用原则:易求出,易积分2.使用经验:“反对幂指三”,前u

后3.题目类型:分部化简;循环解出机动目录上页下页返回结束第一百一十页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二例13.

求解:令则机动目录上页下页返回结束第一百一十一页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二思考与练习1.下述运算错在哪里?应如何改正?得

0=1答:

不定积分是原函数族,相减不应为0.求此积分的正确作法是用换元法.机动目录上页下页返回结束第一百一十二页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二2.

求提示:机动目录上页下页返回结束第一百一十三页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期二2.求不定积分解：方法1(先分部,再换元)令则机动目录上页下页返回结束