2021-2022学年陕西省渭南市白水县高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年陕西省渭南市白水县高二上学期期末数学（理）试题

一、单选题

I.在等比数列｛%｝中，％=6,%=9,则%等于（）

A.2B.4C.号D.—

【答案】B

【分析】由等比数列的性质进行求解即可.

【详解】由等比数列的性质，《=%9，，36=9%,

4=4.

故选：B.

2.若a,b,cwA且a>。，则下列不等式中一定成立的是（）

A.aobcB.（a-b）c2>0C.—<—D.-2a<-2b

ab

【答案】D

【分析】根据不等式的性质即可判断.

【详解】对于A,若c4（）,则不等式不成立；

对于B,若c=O,则不等式不成立；

对于C,若a,b均为负值，则不等式不成立；

对于D,不等号的两边同乘负值，不等号的方向改变，故正确；

故选：D

【点睛】本题主要考查不等式的性质，需熟练掌握性质，属于基础题.

3.设双曲线C：，-£=l（a>（）S>0）的实轴长与焦距分别为2,4,则双曲线C的渐近线方程为（）

A.y=+—xB.y=±-xC.y=+>/3xD.y=±3x

33

【答案】C

【分析】由已知可求出2仇c,即可得出渐近线方程.

【详解】因为2a=2,2c=4,所以a=l,c=2力=6，所以C的渐近线方程为y=±6.

故选：C.

4.已知命题p：Wxi,X2eR,(f(X2)-f(xi))(X2-xi)K),则rp是

A.3XI,X2€R,(f(X2)-f(xI))(X2-XI)<0

B.TXI,X2€R,(f(X2)-f(xI))(X2-XI)<0

C.mx1,X2eR,(f(X2)-f(xI))(X2-x1)<0

D.VxI,X2eR,(f(X2)-f(xi))(x2-x।)<0

【答案】C

【详解】全称命题的的否定是存在性命题,因为,命题P：Vxi,X2eR,(f(X2)-f(xi))(X2-XI巨0,所以,->p

是mXl,X2WR,(f(X2)-f(Xl))(X2-Xl)<0,故选C.

【解析】全称命题与存在性命题.

点评：简单题，全称命题的的否定是存在性命题.

5.设a>0,tn=yfu+Ja+5»n=Ja+2+Ja+3,则有().

A.m<nB.m=n

C.m>nD.m,"的大小不定

【答案】A

【分析】利用作差法即可比较大小.

【详解】由已知m=\［a+\Ja+5,所以=2<?+5+2\la2+5a

"=yJa+2+Ja+3，所以/=2a+5+2-Ja2+5a+6

又因为且”2一相2>o,所以〃

故选：A

6.已知点O,A,8,C为空间不共面的四点，且向量£=耐+而+能，向量区=3+而-反，则与2B

不能构成空间基底的向量是()

A.OAB.OBC.OCD.方或丽

【答案】C

【分析】利用空间向量的基底的意义即可得出.

［详解］^=^a-b)=^(OA.+OB+OC)-^(dA.+OB-OC),

，而与I、B不能构成空间基底；

故选：c.

7.在小BC中，若(。+匕+c)(6+c—。)=必。，且sinA=2sin3cosC,则是().

A.直角三角形B.等边三角形

C.钝角三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【分析】将(a+6+c)(Hc—a)=3从化简并结合余弦定理可得A的值，再对

sinA=2sin3cosC结合正余弦定理化简可得边长关系，进行判定三角形形状.

【详解】由(a+/>+c)(b+c-a)=3bc,得S+c)?-t?=3历，

整理得匕2+c2-a2=hc,则cosA=_—=^~,

因为Ae(O,兀)，所以A=1,

2,22

又由sinA=2sin8cosC,得a=2b•"+」———

2ab

化简得8=c，所以“IBC为等边三角形，

故选：B

jc+y>I

8.若x,y满足约束条件，x-yN-l,则z=x+2y的最大值是().

2x-y<l

A.2B.3C.8D.12

【答案】C

【分析】画出可行域及目标函数，利用几何意义求出最值.

【详解】画出可行域，如图所示，当z=x+2y经过点A时，取得最大值，

故A（2,3）,此时z=x+2y=2+6=8,

故z=x+2y的最大值为8.

故选：C

9.在正四面体尸-ABC中，棱长为1,且。为棱4?的中点，则方.正的值为（）.

]_

D.

U42

【答案】D

【分析】在正四面体P-48c中，由中点性质可得所=来雨+而），则方.正可代换为

|（M+PB）.PC,由向量的数量积公式即可求解.

如图，因为。为棱A8的中点，所以4=；（而+方）,

PDPC=-(PA+PB)^PC=^(PAPC+PBPC)

2、

由正四面体得性质，⑸与定的夹角为60。，同理而与无的夹角为60。，|⑸卜=|定1=1,

PAPC=PBPC=lxlxcos60°=-,

2

故而•丽=赳♦£4,

故选：D.

10.命题。：若l<y<x,0<«<1,则命题4：若l<y<x,a<0,则x"<y".在命题①。且夕②P

或q③非。④非q中，真命题是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

【答案】C

【分析】先判断命题PM的真假，再根据或、且、非命题的真值表判断真假求解即可.

【详解】命题。中，0<«<1,则指数函数y=《单调递增，

所以。为假命题,

命题4中，a<0则基函数y=x〃在(0,+8)上单调递减，由1<"X,知

所以4为真命题，

所以①p且4为假命题，②。或4为真命题，③非p为真命题，④非夕为假命题.

故选：C

22

11.设椭圆C:£+｝=l(a>6>0)的左、右焦点分别为［、F2,P是C上的点，叫二溢，

N弓尸鸟=60。，则C的离心率为().

A.&B.-C.；D.正

【答案】A

【分析】鸟(。，0),把代入椭圆方程解得几可得力，在中，由NP6K=60°建立等

式进而得出结论.

【详解】如图所示,

由居(c,0),PFjFE，把x=c代入椭圆方程可得4+4=1,解得y=±-,

aba

在RtAP"K中，\PF2\=—,由n耳朋=60。，二忸耳仁丝-,

aa

OA2A2*

由椭圆定义可得|W|+|P周=£-+?=?=2a,得2/=3户,

c2=a2-b2=—b~,则有2a2=2c?,二二，

23a23

则C的离心率e=£=且.

a3

故选：A.

12.对于正项数列｛4｝,定义G,=""四+3+…+〜为数列｛%｝的“匀称值”.已知数列｛%｝的“匀

称值''为G„=n+2,则该数列中的为等于()

【答案】D

【分析】由已知得4+2〃2+3&+...+〃4=〃5+2),由此推导出%=生tL从而能求出。9.

n

［详解】解：・.・5=4+2《+3出+..•+〃〃〃

n

数列1“}的“匀称值”为G,=〃+2,

/.%+2a2+3&+…+nan=n(n+2),①

几.2时，4+2%+3/+...+5-1)q_I=(〃-1)(〃+1),②

①一②，得叫=2〃+1,

勺=生匚，几-2,

n

当〃=1时，4=G=3满足上式,

2〃+1

4=-------

n

19

故选：D

二、填空题

13.已知向量a=(2,—1,3),b—^-A,2,x),c=(l,—x,2),若(a+B)_Lc,贝ijx=.

【答案】-4

【分析】首先求出3+石的坐标，再根据向量垂直得到R+B)-"=O,即可得到方程，解得即可；

【详解】解：因为向量』=(2,-1,3),B=(Y,2,X),C=(1,-X,2),所以向［£+♦=(—2,1,X+3),因

为R+所以(£+»3=(),即一2xl+lx(—x)+2(x+3)=0,解得x=T

故答案为：-4

14.己知不等式-法-120的解集是卜1-gwxV-g},则不等式-法-4<0的解集是

【答案】{x|2<x<3}

【分析】根据给定的解集求出。，》的值，再代入解不等式即可作答.

【详解】依题意，是方程底-桁-1=0的两个根，且。<0,

23

于是得,，解得：a

因此，不等式f-陵-。<0为：x2-5x+6<0>解得2<x<3,

所以不等式f一笈一。<0的解集是{x|2<x<3}.

故答案为：{X[2<X<3}

15.若“，b,。均为实数，试从①加="；②匕=疝；③中选出“。，b,c成等比数列”的

bc

必要条件的序号.

【答案】①③

【分析】依次判断“明〃，c成等比数列”是否能推出序号中的条件即可.

【详解】设Pi为》2=ac"，P2为“0=怎“，P3为哼，”，

bc

q为“a,b,c成等比数列”，

由于“，b,c成等比数歹U，故axO,b手0,CHO,

若qnPi(i=l，2,3),则％是4的必要条件，

对于①，由等比中项的定义，”。，b,c成等比数歹『，=>"〃=ac”,

是“。，b,c成等比数列”的必要条件，故①正确；

对于②，令a=l,b=—2,c=4,则。，b,。成等比数列，

此时“a,b,。成等比数列%»=疝”，

••."=疝''不是”"，b,。成等比数列”的必要条件，故②错误：

对于③，由等比数列的定义，"4，b,c成等比数歹==

abbc

...”a,b,c成等比数列“n“f=2”，

bc

.•.哼=2”是“a,b,。成等比数列”的必要条件，故③正确.

综上所述，”。，b,。成等比数列”的必要条件的序号为：①③.

故答案为：①③.

16.己知抛物线。：/=2外(P>0)的焦点为凡抛物线C的准线与y轴交于点A,点在抛

物线C上，|MF|=与，则△论"的面积为.

【答案】—##7^

44

【分析】由抛物线的性质以及IMF|=半，可得P的值，进而解出三角形△丽的面积.

4

【详解】解：由抛物线的定义及其性质可知，|叱|=%+聂?，

_2〃

-y()=—，

(招2=2/"小

3

/.p=—,即X?=3y,

A(0,-：),M(y/3,1),F(0,—),

故答案为：述

三、解答题

17.求解下列问题：

⑴解不等式手0>2：

1+X

14

⑵已知a>l,b>09a+b=2,求----H7的最小值.

a-\b

【答案】⑴(f1)口(7,+8)

⑵9

【分析】(1)根据分式不等式的求法求得正确答案.

(2)利用基本不等式求得正确答案.

【详解】(1)不等式;史>2可化简为二>0,

14-XX+1

即(x—7乂%+1)>0,解得X<-1或x>7.

故原不等式的解集为(7,-1)口(7,+8).

(2),：a+b=2,：.(«-1)+/，=1,且a—1>0,b>0,

14

---+—

a-\b

当且仅当上=%二D,即a=g,6T时等号成立.

故六1■+：4的最小值为9.

18.在“SC中，已知J3asinC=csin2A.

⑴求角A的大小；

（2）若”=近，b=26,求AA8C的面积.

【答案】（1）A=?

O

⑵正或还

22

【分析】（1）根据题意，结合正弦定理和二倍角的正弦公式即可求解；

（2）结合（1）的结论，利用余弦定理求出c=5或c=l,然后利用三角形面积公式即可求解.

【详解】（1）因为GasinC=csin2A,

由正弦定理可得：V3siniAsinC=2sinCsinAcos/A,

因为A,Cw（0,兀），所以sinAwO,sinCwO,则有cos4=立，

2

兀

又0<A<兀，所以A=w.

6

（2）因为a=y/l,b=2*\/3f由（1）知：A=—,

6

在A/WC中，由余弦定理可得：a2=b2+c2-2/?ccosA,

即（"）2=（2扃+c?-2x2百X条,

化简得-6c+5=0,

解得c=5或c=l（经检验符合题意），

当C=1时，8c=；6csinA=gx2Gxlxg=亭；

当c=5时，5.=—Z>csinA=—x2>^x5x—=

△AAHBC2222

19.已知数列｛可｝满足q=1,=4a“+3”-l,bn=an+n.

（1）证明：数列色」为等比数列；

（2）求数列m｝的前"项和.

【答案】（1）见证明；（2）|（4--l）-ln2-ln

3、'22

【分析】（1）利用等比数列的定义可以证明;

（2）由（1）可求〃，的通项公式，结合"=%+”可得。“，结合通项公式公式特点选择分组求和法进

行求和.

【详解】证明：(1),/b„=a„+n,：.b„+i=a„+i+n+1

如=+1=(4a,,+3"T)+〃+l=4(/+〃)=4

又：4,+i=44+3"-1，

b„

又,：b、=q+1=1+1=2,

，数列｛〃｝是首项为2,公比为4的等比数列.

解：（2）由（1）求解知,b“=2x4"T,

20-4")+

,,Sn=q+a,+…+a“=2(1+4+4~+…+4"')—(1+2+3+…+〃)=

【点睛】本题主要考查等比数列的证明和数列求和，一般地，数列求和时要根据数列通项公式的特

征来选择合适的方法，侧重考查数学运算的核心素养.

20.已知过抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点，且斜率为⑺的直线交C于4（王心），6（打%）（王<&）

两点，|阴=16.

（1）求抛物线C的方程；

uutlUU11LII

（2）。为坐标原点，。为C上一点，若OD=OA+2OB，求2的值.

【答案】（1）V=12x；（2）4=0或4=*

【分析】（1）设直线AB的方程>=6卜-5］，与抛物线联立，由于直线A8过焦点，故

恒却=%+勺々+勺16,代入即得解；

,\uuuUUutil占-1+9几

（2）设。（玉,%），由00=04+403,可得<）,—2百（3,-1）'代入抛物线方程即得解

【详解】（1）直线A3的方程可表示为y=

y2=2px

与抛物线方程2px联立可得方程组，）,=6卜_«），

消去y得12产-201+3/=0,解得芯=2，&=¥.

62

由于直线A3过焦点，故+U+X2+5=16,

得乎+g+p=16,解得〃=6,

26

所以抛物线。的方程为V=i2x.

（2）由（1）知A（1,-2G）,fi（9,6>/3）.

设。（毛,％），^OD=OA+AOB>得（玉,%）=（1，-2⑹+川9,6@,

x=14-92

叫力3=2百（3"1）.

因为点。在C上，所以12（34-1）2=12（94+1）,

化简得3万—5/1=0,解得2=0或彳=|.

21.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AFJ_平面ABC。，EF//AB,A£>=2,

AB=A尸=2砂=1,点P为。尸的中点，请用空间向量知识解答下列问题：

（1）求证：〃平面APC；

（2）求直线OE与平面APC所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵也

63

【分析】（1）证明而_L平面APC的法向量而即可求解；（2）根据线面角的正弦公式带入即可求解.

【详解】（1）证明：易知A8,AD,■两两相互垂直，

..•以A为坐标原点，AB,AD,AF所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

>Dy

<C

0(0,2,0),£||,0,l'|,F(0,0,l),pfo.l.i'),

则A(0,0,0),80,0,0),c(1,2,0),

e?=(-i,o,i),AA=(o,i,g),衣=(1,2,0),

设平面APC的一个法向量为加=(x,y,z),

in-AP=0

则_，

m-AC=0

y+—z=0

叫)2,

[x+2y=0

取y=i,

x=-2

解得y=i.

z=-2

故平面APC的法向量为比=(-2,1,-2),

易知BF-m=0>

则而：_L比，

又8尸0平面APC,

/.BF〃平面APC.

(2)瓦=

设直线OE与平面4PC所成角为。，

则sm*H瑕砌-网网-囱仁-63.

故直线OE与平面APC所成角的正弦值为竺叵.

63

22.已知1，F,分别为椭圆(7:毛+与=1(。>6>0)的左、右焦点,M为C上的动点，其中M到七

ab~

的最短距离为1，且当的面积最大时，恰好为等边三角形.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）斜率为k的动直线/过点在2,且与椭圆C交于A,B两点,线段A3的垂直平分线交x轴于点/>,

那么，喀是否为定值？若是，请证明你的结论：若不是，请说明理由•

【答案】G）二+f=1；⑵照为定值，证明见解析

43\AB\

【分析】（1）当点M在椭圆的左顶点时，M到写的距离最短，可得a-c=l,当点〃在椭圆的上顶

点（或下顶点）时，ZXMK耳的面积最大，此时AM片乙为等边三角形，可得a=2c,从而可求出。也c,

即可求出椭圆C的标准方程；

[x2y2,

（2）易知直线/的斜率存在，设其方程为y=k（x-l）,联立43，得到关于X的一元二次方

、y=k（x-l）

程，结合韦达定理，可求得A3的中点的坐标，从而可得到线段A3的垂直平分线的方程，令，=0,

可求出点P的坐标，从而可得到