2021年安徽省六安市翁墩中学高二数学理期末试卷含解析

2021年安徽省六安市翁墩中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的导函数为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D2.不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x|＜x＜2}，则关于x的不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞） B．（﹣，1）C．（﹣∞,﹣3）∪（，+∞） D．（﹣3，）参考答案：D【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】由不等式的解集与方程的关系，可知，2是相应方程的两个根，利用韦达定理求出a的值，再代入不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0易解出其解集．【解答】解：由已知条件可知a＜0，且，2是方程ax2+5x﹣2=0的两个根，由根与系数的关系得：×2=﹣解得a=﹣2所以ax2﹣5x+a2﹣1＞0化为2x2+5x﹣3＜0，化为：（2x﹣1）（x+3）＜0解得﹣3＜x＜，所以不等式解集为：（﹣3，）故选：D．3.若点P是以F1，F2为焦点的椭圆上一点，且tan∠PF1F2＝则此椭圆的离心率e＝

（

）A、

B、

C、

D、参考答案：A略4.在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，则有EF∥BC．这个命题的大前提为（）A．三角形的中位线平行于第三边B．三角形的中位线等于第三边的一半C．EF为中位线D．EF∥CB参考答案：A【考点】演绎推理的基本方法．【分析】三段论是由两个含有一个共同项的性质判断作前提得出一个新的性质判断为结论的演绎推理．在三段论中，含有大项的前提叫大前提，如本例中的“三角形的中位线平行于第三边”．【解答】解：本题的推理过程形式是三段论，其大前提是一个一般的结论，即三角形中位线定理，故选：A．5.在△ABC中，如果a=4，b=5，A=30°，则此三角形有（）A．一解B．两解C．无解D．无穷多解参考答案：B略6.参数方程（0＜θ＜2π）表示（）A．双曲线的一支，这支过点B．抛物线的一部分，这部分过C．双曲线的一支，这支过点D．抛物线的一部分，这部分过参考答案：B【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】将参数方程化为普通方程，然后再对A、B、C、D进行判断；【解答】解：∵x=|cos+sin|，∴x2=1+sinθ，∵y=（1+sinθ），∴y=x2，是抛物线；当x=1时，y=；故选B．【点评】此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．7.已知a为常数，函数f（x）=ax3﹣3ax2﹣（x﹣3）ex+1在（0，2）内有两个极值点，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数f（x）的导数，问题转化为y=a和g（x）在（0，2）有2个交点，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：f′（x）=（x﹣2）（3ax﹣ex），若f（x）在（0，2）内有两个极值点，即a=在（0，2）有2个解，令g（x）=，x∈（0，2），问题转化为y=a和g（x）在（0，2）有2个交点，则g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：1＜x＜2，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故g（x）在（0，1）递减，在（1，2）递增，故g（x）min=g（1）=，而f（2）=，x→0时，f（x）→+∞，故a∈（，），故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．8.已知2018是等差数列5,8,11,17,…的第n项，则n=（）A．669

B．670

C．671

D．672参考答案：D由等差数列5,8,11,17，知，首项公差，所以通项公式为，令，选D.

9.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是A.165cm B.175cm C.185cm D.190cm参考答案：B【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．【详解】设人体脖子下端至肚脐的长为xcm，肚脐至腿根的长为ycm，则，得．又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm．故选B．【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．10.已知椭圆的一个焦点为F（0，1），离心率，则该椭圆的标准程为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意得，椭圆的焦点在y轴上，且c=1，e==，从而可得a=2，b=，从而写出椭圆的标准方程．【解答】解：由题意得，椭圆的焦点在y轴上，且c=1，e==，故a=2，b=，则椭圆的标准方程为，故选A．【点评】本题考查了椭圆的标准方程的求法，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若曲线y=与直线y=x+b有公共点，则b的取值范围是．参考答案：﹣3≤b≤1【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；直线与圆．【分析】曲线y=即（x﹣2）2+y2=4（y≥0），表示以A（2，0）为圆心，以2为半径的一个半圆，由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，解得b．当直线过点（4，0）时，b=﹣3，可得b的范围．【解答】解：曲线y=即（x﹣2）2+y2=4（y≥0），表示以A（2，0）为圆心，以2为半径的一个半圆，由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，可得=2，∴b=1，或b=﹣2．当直线过点（4，0）时，b=﹣3，∵曲线y=与直线y=x+b有公共点，∴可得﹣3≤b≤1．故答案为：﹣3≤b≤1．【点评】本题的考点是直线与圆的位置关系，主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．12.设，若，则下列不等式中正确的是（）A. B. C. D.参考答案：D利用赋值法:令排除A,B,C,选D.13.设等差数列的前项和为，若则

参考答案：114.已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为_________________参考答案：15.设双曲线（,）的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于_________.参考答案：略16.《张邱建算经》记载一题：今有女善织，日益功疾.初日织五尺，今一月，日织九匹三丈.问日益几何？题的大意是说，有一个女子很会织布，一天比一天织得快，而且每天增加的长度都是一样的.已知第一天织了5尺，一个月(30天)后共织布390尺，则该女子织布每天增加了

尺.参考答案：17.

若实数x，y满足则x＋y的最大值是________；

参考答案：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分14分)已知(1)若存在实数x0，使得f(x0)≤m，求m的取值范围；(2)若x1≠x2且f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2<0.参考答案：(1)因为在(－∞，0)上单调递减，故x<0时，f(x)∈(1，＋∞)；因为3x在[0，＋∞)上单调递增，故x≥0时，f(x)∈[1，＋∞)，故f(x)的值域为[1，＋∞)，因为存在实数x0，使得f(x0)≤m，故m≥1，所以m的取值范围是[1，＋∞)；(2)证法一：因为x1≠x2且f(x1)＝f(x2)而f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故不妨设x1<0<x2，则－x1>0，设g(x)＝f(－x)，故x>0时，f(x)－g(x)＝3x－＝3x－2x>0所以f(x2)＝f(x1)＝g(－x1)<f(－x1)，又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以x2<－x1，即x1＋x2<0.证法二：因为x1≠x2且f(x1)＝f(x2)而f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故不妨设x1<0<x2，设f(x1)＝f(x2)＝a，由(1)知，a＞1，所以x1＋x2<0.19.过椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1为其左焦点，已知△AF1B的周长为8，椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点P，Q，且⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由题意列关于a，c的方程组，求解方程组的a，c的值，由b2=a2﹣c2求得b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）假设满足条件的圆存在，设出圆的方程，分直线PQ的斜率存在和不存在讨论，当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y=kx+t，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系求出P，Q两点横纵坐标的积，由⊥得其数量积等于0，代入坐标的乘积得到k和t的关系，再由圆心到直线的距离等于半径求出圆的半径，然后验证直线斜率不存在时成立．从而得到满足条件的圆存在．【解答】解：（Ⅰ）由已知，得，解得：，∴b2=a2﹣c2=4﹣3=1．故椭圆Γ的方程为；（Ⅱ）假设满足条件的圆存在，其方程为x2+y2=r2（0＜r＜1）．当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y=kx+t，由，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，①∵，∴x1x2+y1y2=0，又y1=kx1+t，y2=kx2+t，∴x1x2+（kx1+t）（kx2+t）=0，即（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2=0．

②将①代入②，得，即t2=（1+k2）．∵直线PQ与圆x2+y2=r2相切，∴r==∈（0，1），∴存在圆x2+y2=满足条件．当直线PQ的斜率不存在时，易得=，代入椭圆Γ的方程，得=，满足．综上所述，存在圆心在原点的圆x2+y2=满足条件．20.（本小题满分12分）求函数f(x)＝lnx－x的单调区间．参考答案：解：函数f(x)的定义域为．＝－1＝。由<0及x>0，得x>1；由>0及x>0，得；∴当x∈（1，＋∞）时，f(x)是减函数；当x∈（0，1）时，f(x)是增函数，即f(x)的单调递减区间为（1，＋∞），单调递增区间为（0，1）．略21.求函数y=的定义域．参考答案：【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】直接利用对数的真数大于0，分母不为0，求解不等式组，可得函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，可得，解得x∈（﹣1，1）∪（1，+∞）．函数的定义域为：（﹣1，1）∪（1，+∞）．【点评】本题考查函数的定义域的求法，基本知识的考查．22.(1)若求的单调区间及的最小值;(2)若,求的单调区间;

(3)试比较与的大小.,并证明你的结论.参考答案：(1)0；(2)见解析；(3)见证明.【分析】（1）a＝1时，f（x）＝|x﹣1|﹣lnx，将绝对值符号化去，分类讨论，再求导函数，即可确定函数的单调区间，进而可得f（x）的最小值；（2）将绝对值符号化去，分类讨论，再求导函数，即可确定函数的单调区间；（3）由（1）可知，lnx≤x﹣1，从而，令x＝n2，可得，再进行叠加，利用放缩法，即可证得结论成立．【详解】(1)当时,，在上是递增.当时,,.在上是递减.故时,的增区间为,减