第三章4讲简单三角恒等变换

第4讲 考点一三角函数式的化简 （1＋sinθ＋cosθ）sinθcos化简：(1)

22＋2cos

2 －tan

2·(1＋tan

2

2sin2cos2＋2cos22sin2－cos

cos2sin2

－cos2·cosθ (1)原式θ

cos cos θ 因为0<θ<π，所以0<2<2，所以cos 所以原式＝－coscos sinα

sinαcos sinαcosαcos2

sin 2

sin 2

α·1＋cos

α sin

cos2

cos

sin2cos

cosαcos2cos sin

α＝cos 2＝ sincosαcos 三角函数式的化简要遵循“三看”原二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的，常见的有“切化弦22

－x 解 解 原式 ＝cos 2sin4－xcos4 2sin4－xcos4 sin2 cos4 考点二三角函数式的求值(高频考点 sin110°sin 的值为 cos155°－sin3 3

2cos

sin

2

tan

sin110°sin

sin70°sin

＝－7 cos20°sin

1sin

＝

cos

cos

sin cosθ－sin 1－tan cosθ＋sin 1＋tan

2tanθtan ＝－2tan∈2 1－tan∴2tan2θ－tanθ－即(2tanθ＋1)(tanθ－

1－tan

1＋故tanθ＝－2或tanθ＝2(舍去 2＝3＋2 1＋tantan（α－β）＋tan

1－21 21∵tan

＝＞0，∴0＜α＜1－tan（α－β）tan

2122tan

3π3tan

＝＞0，∴0＜2α＜

tan2α－tan

＝ 7＝1.∵tan

1＋tan2αtan

∴2α－β＝－42 2

— 三角函数求值有三“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解(2“给值求值”“变角

2.(1)tanα4＝22<α<0

2

3 3

2．－ B．－

D.

π，且tanα1＋sin ，2

，2π

cosπ 1＋sin

tan

π

2sin2α＋sin解析：(1)∵tanα＋4 ＝2，∴tanα＝－3，∵－2<α<0，∴sin 1－tan 2sinα（sinα＋cos

25 252（cosα＋sin＝22sinα＝222（cosα＋sin1＋sin

sin

1＋sin法一：tan

cos

＝cosβcos即sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，∴sin(α－β)＝cos sin2

∴由 ，得α－β＝ 2

1＋sin

cos2

2cos－

cos－

sin＋法二：tan

4 4 4

tan＋cos

cos＋

sin2

2sin4－2cos－ sin－

4 π＋＋

∈0，

＝4 ＝ 2 1－cos

1＋sin

1＋sin

2（1＋sin1

2（1＋sin

2（1＋sin 考点三三角恒等变换的简单应 已知f(x)＝ sinx－2sin

tan

＋4

－4tanα＝2f(α)若 12，2 (1)f(x)＝(sin2x＋sinxcos

1－cos

1sin 2sinx＋4·cosx＋4

＝1＋1(sin2x－cos2x)＋cos2x＝1(sin2x＋cos 由tanα＝2，得sin 2sinαcosα 2tanα＝

cos

.

(sin2α＋cos2α)＋＝ (2)由(1)得f(x)＝1(sin2x＋cos2x)＋1＝

2sin2x＋4 由

，

＋4 22∴－ 2

4

2≤sin2x＋4 ，所以f(x)的取值范围是 (1)将f(x)化简是解题的关键，本题中巧妙运用“1”的代换技巧，将sin2α，cos2α化为关于正切tanα的关系式，为第(1)问铺平道路．(2)y＝asinx＋bcosxy＝Asin(x＋φ)3.a＝(sinθ，－2)b＝(1，cosθ)

，2.(1)sinθ和cosθ.(2)若5cos(θ－φ)＝35cos cosφ的值解：(1)∵a⊥b，∴a·b＝sinθ－2cosθ＝0sinθ＝2cos，即 又∵θ∈0，π，∴sinθ＝25，cosθ＝

5(2)∵5cos(θ－φ)＝5(cosθcosφ＋sinθsin＝5cosφ＋25sinφ＝35cos2∴cosφ＝sinφ，∴cos2φ＝sin2φ＝1－cos2φ2又 π，∴cosφ＝ 2sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β1cos2α·cos2 法一：原式2222222 1－cos2α1－cos

1＋cos2α1＋cos 法二：原式

－2cos2α·cos＝1(1＋cos2α·cos2β－cos2α－cos2β)＋1(1＋cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β)－1cos2α·cos ＝1＋1cos2α·cos2β－1cos2α·cos 222222 ＝1＋cos2β－cos 1＋cos －2cos α＝β＝0

cosαπ(2015·高考重庆卷)tanα＝2tan5

－10 π 解析：选C.法一：由cosα－3

sinα－5 10

cosα＋5－2 α＋5 sinα＋5

sinαcos5＋cos∴原式

sinαcos5－cos πtantanα－tan5 2tan5又∵tanα＝2tan5，∴原式 2tan5 cos2－α＋5法二

sinα＋5

sinαcos5＋cos

sinαcos5－cos tanαcos5＋sin 2tan5cos5π πtanαcos 2tan5cos5 2sin5π

π2sin5 4

＋4

tan

tan解析：选C.因为tanα－4 ＝4，所以tanα＝3，故tanα＋4

＝－4. 1＋tan

1－tan的值为 cos10°－3sin

－cos 332cos10°－2sin

＝2sin20°＝α，βsinα＝

cos

3

α＋β等于

5

10 B.4 C. D．2kπ＋4解析：C.sinα＝5，cosβ＝310α，βcosα＝25，sinβ＝ cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝2

310－

10＝0<α＋β<πα＋β＝4

5×

5×

πβ<0，cosα

β＝3，则 A.

0<α<2，－2

＋43B．－3

4

C.

D．－D解析：

π <

π -

2

β＝由已知得4

4，4<

2<

sin4＋α＝

cos－

cos4＋αcos－

＋αsin－ 3＝3

a＝(cos2α，sinα)，b＝(1，2sin

π的值为

22

＋4 解析：C.∵a·b＝cos2α＋sinα(2sin5＝1－2n＋22α－inα＝1－in5∴sin cos ∈2 ∴tan

tan . tanα＋4 1－tan

3π)θθ∈[0，2π)

的值

＋3 解析：∵P坐标为(，－2 2∴θ为第四象限角，tan1＋1＋θ∴tan(θ＋3＝1－3tanθ2答案：2－

π－sinα3

3 3

＋6

＋6解析：∵cosα＋6－sinα＝5 ∴cos

π－nα＝3 3∴ 3

2cosα2n

5，∴cosα＋3

α＋6＝cos2 6 cosα＋3 5设α是第二象限角，tan

，则 α

2

2 解析：∵α是第二象限角，∴23∵tan3

2，∴2

∴cosα＝－3，∴cos 1＋cos

5答案：tan

cosβ＝

＝－π

πtan(α＋β)α＋β

5 (2π

，2解：cosβ＝5，β∈(05sinβ＝25，tan5

tanα＋tan

3 31－tanαtan

∴2＜α＋β＜2∴α＋β＝4 已 β<π，cos

0<α<2

－4 cosαπ ＋4

2222解：(1)法一：∵cosβ4＝cos4cosβ＋sin4sin2222

cos

sin ∴cosβ＋sinβ＝2，∴1＋sin2β＝2，∴sin 法二：sin cos2 π(2)∵0<α<2 π ∴4

－4<4π，2<α＋β<2 π＝2

8 8

5×3＋5×3 π 7 7．－ B.C．－ 2＝解析：选D.由三角函数的定义得tanθ＝2，cosθ＝±5，所以tan 2tanθ＝－4，cos2θ＝2cos2θ－1＝22 22＝－3sin2θ＝cos2θtan2θ＝4

2222

θ＋cos

4－3＝2 ＋

(sin

2．(2015·杭州市第二次模拟)在△ABC中，若3cos2A－B＋5cos2C＝4，则tanC的最大值为 4C．－4

2C2

1＋cos解析：B.

＝4⇒3cos(A－B)＋5cos43cos(A－B)－5cos(A＋B)＝0⇒cosAcosB＝4sinAsinB⇒tanAtanB＝1，由此可知，tanA>0，tan4又tan tanA＋tanB＝－4(tanA＋tanB)≤－4，其中tanA＋tanB≥2tanAtanB＝1，因1－tanAtan 3此，tanC的最大值为－43sinx＋cos若

sinx－cossinx＋cos解析： sinx－costan ＝3，即tantantan（y－x）－tan

.

＝1－43

tan若α、β是锐角，且sinα－sin cosα－cosβ

解析：∵sinα－sinβ＝－1，cosα－cos

2两式平方相加得：2－2cosαcosβ－2sinαsin2 ∵α、β是锐角，且sinα－sin ＜π∴－24 1－cos2（α－β）＝－4∴tan(α－β)＝sin（α－β）＝－答案：

3 1＋cos

－tan

2sin20°－sin10°tan 2cos2

cos

sin解：原式 －sin cos＝

2×2sin10°coscos25°－sin2－sin

sin

cos2sincos

sin5°coscos －sin2sincos

2sincos10°－2sin －2cos2sin 2sincos＝2sincos10°－