2022-2023学年四川绵阳市高三年级上册学期12月二诊模拟考试三理科数学试题

2020级绵阳二诊理科数学模拟试题（三）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.设集合Z={xeZ|-l<x<3},5=jx||<2v<2^则Nc8=()

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{x|-1<x<1}D.{x|0<x<1}

2.“直线x+即一1=0与直线Qx—y+1=0相互垂直”是“a=l”的（）

A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知正数x,y满足：log/<logj（0<Q<l）,则下列关系式恒成立的是（）

A.sinx>sinyB.—>—C.m2x>m2yGR）D.x3>y3

xy

22

4.已知双曲线与一]=1（。>01>0）的实轴长为4,虚轴长为6,则双曲线的渐近线方程为（）

CTb2

A."x,32,V13

B.y=±—xC.y=±—xD.y=±---x

22,3-2

5.人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级d（x）（单位：dB）与声音强度x（单位：%/冽2）满

足d（x）=91g]x；-i§•一般两人小声交谈时，声音的等级约为54dB,在有50人的课堂上讲课时，老师

声音的等级约为63dB,那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的（）

A.1倍B.10倍C.100倍D.1000倍

6.[1+：）（1+X）4的展开式中含/项的系数为（）

A.10B.12C.4D.5

7.下列说法中，正确的命题的是（）

A.一台晚会有6个节目，其中有2个小品，如果2个小品不连续演出，共有不同的演出顺序240种

B.以模型y=ce&去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny,求得线性回归方程为5=0.3x+4,

则c,%的值分别是e4和0.3

C.若事件/与事件8互斥，则事件/与事件6独立

D.若样本数据%，吃，…%的方差为2,则数据2芯一1,2x2—1,…，2芯0—1的方差为16

8.若离散型随机变量X的分布列如下，若E（X）=0,D（X）=1,则P（X<1）=（)

X-1012

1

Pabc

12

2”—mxv1

9.若函数/(x)=,'有最小值，则实数加的取值范围是()

[2x~-4mx+3m,x>1

A.(-<x),o)B.[2,+00)C.(-oo,0)u[l,+a?)D.(0,1)U[2,+oo)

10.蒙特•卡罗方法(MonteCarlomethod),也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的

发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法.某同学

根据蒙特•卡罗方法设计了以下实验来估计圆周率冬的值，每次用计算机随机在区间(0,3)内取两个数，共

进行了2000次实验，统计发现这两个数与3能构成以3为最长边的钝角三角形的情况有565种，则由此估计

万的近似值为()

A.3.15B.3.14C.3.13D.3.12

X2v2

11.已知点P在以耳，耳为左、右焦点的椭圆C:j+J=l(a>b>0)上，椭圆内存在一点0在尸鸟的

ab

3

延长线上，且满足0月，0P,若sin/”尸0=：,则该椭圆离心率取值范围是()

C.

B」I。当2J肉)(3,2J

sinx,sinx>cosx

12.对于函数/(x)=<给出下列四个命题:

cosx,sinx<cosx

①该函数的值域是卜1,1]；②当且仅当x=2?br+T(>eZ)时，该函数取最大值1：

③该函数的最小正周期为2%；④当且仅当2左乃+乃<x<2左乃+羊/eZ)时，f(x)<0;

其中所有正确命题个数是()

A.1B.2C.3D.4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.i是虚数单位，复数B刊的虚部是

l+2i-------

14.已知平面向量5=(2,1),B为单位向量，且9+25),©—5),则向量3在向量3上的投影为

15.已知数列｛4｝的各项互异，且《>0,———L=2(〃GN*),则------色二巴--------=______.

4+1%\^a2+a2a3+---+all_iail

16.已知曲线G：y=e\抛物线。2：/=4*，？(%,%,)为曲线G上一动点，。々2，了°)为抛物线6上

一动点，与两条曲线都相切的直线叫做这两条曲线的公切线，则以下说法正确的有.

①直线/：y=x+i是曲线G和G的公切线②曲线G和G的公切线有且仅有一条；

③|P0|+4最小值为啦—1;④当尸0〃X轴时，归。|最小值为上相.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考生

都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(―)必考题：共60分.

17.已知数列也｝的首项q=2,且=%+l(〃eN)

(1)求证：数列,”—1｝是等比数列；

(2)设％=log2(a“—1),求使不等式优+…+2<-45成立的最小正整数〃.

18.当前，新冠肺炎疫情防控形势依然复杂严峻.为进一步增强学生的防控意识，让全体学生充分了解新冠

肺炎疫情的防护知识，提高防护能力，做到科学防护，某中学组织学生进行了新冠肺炎疫情防控科普知识线

上问答，共有100人参加了这次问答，将他们的成绩(满分100分)分成六组：[40,50),[50,60),

[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],制成如图所示的频率分布直方图.

频率/组距

0.030

0.025

0.020

0.005

O405060708090100成绩/分

(1)求图中。的值；

(2)试估计这100人的问答成绩的中位数和平均数(结果保留整数)；

(3)用分层抽样的方法从问答成绩在[70,100]内的学生中抽取24人参加疫情防控知识宣讲，那么在

[70,80),[80,90),[90,100]内应各抽取多少人？

19.在△48。中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,且.在①=-J3ccosB；

②2s△”c=—60•就；③taM+tanC—G=—百tanJtanC这三个条件中任选一个，补充在上面的问

题中，并进行解答.

(1)求角8的大小；

(2)若角8的内角平分线交ZC于。，且80=1,求。+4。的最小值.

20.已知函数/(%)=-10%-。12+8(420).

(1)讨论函数/(x)的极值点的个数；

(2)若函数/(x)有两个极值点罚，X”证明：/(x1)+/(x2)>3-21n2.

21.在△尸片与中，已知点”G6,O)F2sg年;边上的中线长与尸与边上的中线长之和为6.记

△尸片工的重心G的轨迹为曲线C.

(1)求。的方程；

(2)如图，若圆。：/+/=],£(0,-1),过坐标原点。且与y轴不重合的任意直线/与圆。相交于点

A,B,直线E4,£8与曲线C的另一个交点分别是点尸，M,求面积的最大值.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.已知OC的极坐标方程为夕=4cos。，以极点。为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系,

(1)求OC的直角坐标方程，

⑵过"(1,1)作直线/交圆OC于P,Q两点，S.\PM\^2\QM\,求直线/的斜率.

23.已知/(x)=卜_2|+|》+3].

(1)解不等式/(x)>9.

(2)记/(x)的最小值为用，若a+b=m,求Z=J®+1)2+(6+2)2的最小值.

2020级绵阳二诊理科数学模拟试题(三)答案

题号123456789101112

答案AADCBABDBCDB

8.【详解】由题意知，a+b+c+'=l①；

12

由£(X)=0,即E(X)=—lxa+0xb+lxc+2x-5-=0,得—a+c+，=0②；

126

由。(x)=l,即0(x)=(—1—0)2xa+(0—0)2xb+(l—0)2xc+(2—0)2x*=l整理得a+c+；=l③

联立①@③解得a=\,b=:,c=；；又因为P(X<1)=尸(X=-1)+P(X=O)

2

所以P(X<l)=a+b=:.故选：D.

2X-m,x<\

9.【详解】因为/(%)=<,有最小值,

2x-4mx+3/w,x>1

当x<l时，f(x)=2x-m,显然/(x)在(一力/)上单调递增,

且/(%)>—加,即/(x)在(一8,1)上没有最小值；当xNl时,/(x)=2x2-4mx+3m,

易知/(x)在[1,+“)上必有最小值，

因为/(x)开口向上，对称轴为x=m,当〃?£1时，f(x)min=f(l)=2-m,易知

/(0)=2°-〃?=1一m<2-加=/(1),故/(1)不是/(x)在R上的最小值，

2

则/(x)在R上没有最小值，不满是题意；当〃z〉l时，/(x)min=/(/»)=-2/M+3W,

要使得/(加)是/(x)在R上的最小值，则/(〃?)4—加，即—2加2+3用4—〃？，

解得加W0或机22,所以加22；综上：m>2,即加e[2,+a?).故选：B.

3

11.【详解】解：因为。片，0P,sin/片尸0=《，不妨设尸片=5x,QF{=3x,0P=4x,

由椭圆定义可知：PF2=2a-5x,QF2=9x-2af

由勾股定理可知：QF：+QF；=F、F；,即9/+(9x—2a)2=4。2,化简可得：45/—18ax+2〃=0,

点。在Pg延长线上，且在椭圆内部，所以9x—2a>0,QFi+QF2=nx-2a<2a,解得：

2aa

—<x<—.

93

2a

<0

2aa1b28

令/'(x)=45——18ax+2/?2在上单调递增，所以V.、，解得:_<r<一，

既>。2a29

eeCl也)

3司

6

又。耳，凿，且0在椭圆内部，所以c<b,则。<刀，・,・c£

作出函数/(x)的图象，利用图象逐项判断，可得出合适的选项.

sinx-cosx|+sinr+cosxsinx,sinx>cosx

12.【详解】因为

2cosx,siiir<cosx

/、Isinx-cosxl+sinx+cosx

所以，f(x)=j---------1-----------,对于(3),

.、|sin(x+2^-)-cos(x+2^)|+sin(x+2^)+cos(x+2/r)|sinx-cosx|+sinx+cosx

/(x+n)-2―2―/⑺

，所以，函数/(x)为周期函数，作出函数/(X)的图象(图中实线)如下图所示：

结合图形可知，函数/(x)的最小正周期为2万，(3)对；

对于(1),由图可知，函数/(x)的值域为-三」，(1)错；

对于(2),由图可知，当且仅当x=2左万或x=2左"+^GeZ)时，函数/(x)取得最大值1,(2)错;

对于(4),由图可知，当且仅当2左乃+乃<x<2%乃+羊/wZ)时，/(x)<0,(4)对.故选：B.

13.-214.---15.216.①③④.

15.【详解】由题意，得」——L=2,则区1—4=2。“_W“，(〃22,〃€^),即勺_4=—一%.

22

«n+i«„

所以-------色二4--------=-----------立二4-----------=2•巧二&=2.故答案为：2

«i«2+«2«3+•••+«„-!«„幺—竺+竺_%+...+%_%6一。”

222222

vv

16.选项①，对于曲线G：y=e，y=e,当x=0时，y=e°=1,y|v=0=e°=1.

故直线/:歹=x+l与曲线G：y=e'相切与点(0,1)；

联立<；2二11，可得(N—2)2=0,故此时直线/:^=工+1与歹=2五切于点(2,2),

故直线/:y=x+l是曲线G和G的公切线，故①正确:

对于②，设公切线分别与y=e",丁=24(*>0)切于点1(%,必)，8(/)2)，

则曲线_y=ex的切线乙为：y一9=e』(x—%),曲线y=2j"x〉0)的切线。为

y-2H=3(X_X2),

fx1

e$=___

根据乙与。表示同一条直线，则有(,

e"(1-X])=

解得e2X|(l-x,)-1=0,令*x)=e2'(l-x)-l(x>0),

则有h'(x)=2e2jt(l-x)-e2x=e2v(l-2x),

可得〃(x)在区间(0,；)上单调递增；在区间

上单调递减,

0,A(l)=-l<0,根据零点存在性定理可知,

/?(x)在区间(；』)上存在一个零点，即存在一条公切线故曲线G和G的公切线有且仅有2条，故②错误;

对于③，如图所示，可得尸(1,0),根据抛物线的焦半径公式可得|。刈=》0+1,

故有：|尸0|+々=归0+|°q一12归尸卜1,G：y=e、，y=ev

设点尸的坐标为尸(x。©。):，则有：附=jGo—iy+e?%,

令q(x)=(x—l)2+e2",可得，(x)=2x—2+2e2*=2(e2，+x—i),

再次求导可得：g"(x)=2(e2'+l)>0,故，(x)=2(e2*+x—l)在R上单调递增，

又17'(0)=0,可得：当xe(—8,0)时，，(x)<0,即式x)在(—8,0)上单调递减;

当xe(0,+力)时，q'(x)〉0,即q(x)在(0,+(»)上单调递增：

故如篇=夕(0)=2,则|PRLn=&，故间|+/N3-1，故③正确；

(2x\、2xl

对于④，当P0〃x轴时，设尸(x”e*)(石>0),则0―e，小，则有：|尸0|二e——西，

I4J4

Q~Xp2xIp9

记p(x)=7--x,则有,令p'(x)=o,解得：X=W，

故当竽卜，p'(x)<0,p(x)在区间(0,当)上单调递减；

当xe(当,+“)时，"(x)〉0,p(x)在区间(当,+e)上单调递增；

故有Mx)min=/{㈣1=4一里2,故|尸。lmin=匕也，故选项④正确.故答案为：①③④.

I2)222

17.(1)由题意得：根据2a“+1=%+1,得：。,用一1=；(%—1),可知数列也一1｝是以q—1=1为首项,

公比为g的等比数列。.••4=(3)+1wN*).

(2)*.*bn=log2(<7„-1)=1-«；.+%+&+…2=—[1+2+3H---卜(“-[)]=〃；

A«-«2<-90.解得〃<—9或〃〉10,又〃GN*二使不等式成立的最小正整数”为11.

18.(1)(0.005+a+0.020+0.030+0.025+0.005)x10=1,解得a=0.015.

(2)(0.005+0.015+0.020)x10=0.4,故中位数为-^^^xl0+70=73.

,70.030x10

平均数为45x0.05+55x0.15+65x0.2+75x0.3+85x0.25+95x0.05=72.

(3)0.03:0.025:0.05=6:5:1,[70,80),[80,90),[90,100]内应各抽人数分别为：

9x24=12,9x24=10,—x24=2.

121212

19.(1)若选条件①，由正弦定理得：siaSsinC=-V3sinCcos5,VCG(0,^),/.sinC#0,

sin5=-V3cos5,则tanS=-VJ,又8£(0,乃)，:.B=弋.

若选条件②，由2sAABC~-拒BA-BC得：acs\nB=-也accosB,

sin5=一J§cos8,则tan5=一,又Be(0,:.B=.

若选条件③，由tarU+tanC-V3=一JJtaMtanC得：tarU+tanC=(1-tanJtanC),

.tanA+tanC/r小r:

…-----------=\J3,即tan(A+C)=V3，

1-taivitanC

又tanfi=tan[)一(4+C)]=-tan(4+C)=-VJ,BG(0,^),B~~~

⑵•S△布，=S+S/.—acsin—=—c-5Dsin—+—a-BDsm—,即

ABDBCD232323

&也+旦,

444

a+c11厂a4c、厂八

a+c=ac,+-1,I.a+4c=(Q+4C)5+—+—>5+29

acaCca

（当且仅当?—,即。=2c=3时取等号），，。+4c的最小值为9.

a

20.(1)解•函数/(x)=-Inx-a^+xQ^o),

2ax~—x+1—2ax2+x—1

•**j(x)=----2ax+1

xx

x>0,丁a20,・•・当Q=0时，/(x)=——-,x>0,

当X£（O,1）时，/（X）＜O,/（x）单调递减；当X£（l,+8）时，/（x）＞o,/（x）单调递增;

.•.当X=1时，/（x）有极小值；当时，A＜0,故/（x）WO,

8

J/（X）在（0,+。）上单调递减，故此时/（X）无极值;

当0＜。＜；时，A＞0,方程/（x）=0有两个不相等的实数根玉，x2.可得须=1-8a

1+Jl-8a

X.=-------------------

4a

/

1-J1—8。1+J1—8a

易知0＜X]＜々，则当x£0,及XQ~\a~~收时，/'（x）＜0,“X）单调递减;

4aJ

当xe1-?84,l+[8a时，/，（》）＞。，/（x）单调递增.

.../（X）在X=X1处有极小值，在处有极大值.综上所述：当。=0时,

/（X）有1个极值点；当a2.时，/（x）没有极值点；当0＜4＜（时，/（x）有2个极值点.

（2）证明由（1）可知当时/（X）有极小值点X]和极大值点x,

I82

且玉，々是方程/'（X）=O的两个正根，则玉+工2=1-

+力)2-2XjX

2-0riX|+lnx9)=In(2Q)+——h1=Ina+——FIn2+1

,令g(a)=111〃+止+1112+1,0<a<^,g®)=<0,Jg(a)在(0,g)上单调递减,

故g(〃)>g=3-21n2.•./(x,)+/(x2)>3-21n2.

2

21.⑴解：根据三角形重心的性质及已知条件，得|G凰+|6周=6'§=4：4〉闺周，

曲线。是以E，玛为焦点，长轴长2a=4的椭圆（不含x轴上的两点）由a=2,c=出,

得〃=/_。2=1,.・.c的方程为宁+/=1°；力0）；

（2）解：法一，因为£（0,-1）,由题意知直线PE,"E的斜率存在且不为0,

PE1ME,不妨设直线PE的斜率为左6＞0）,则依：歹=履一1.

8k

y=Ax-1x—~

左x=0'8k4A2-1、

242+1T

由＜x,，解得，、或《,:.P

—+/=1442_1U=T、奴：2+1'4%2+"

I4-

4%2—I

.•.附=8k

轨2+14〉+1

用一,代替上Jl+F,

k

(1

人+二)（左+犷）32—+k

]_8k32(132k

,,44EPA44公+1(4+左2为+4左2)-4人4+17人2+4-4-+~4

2+17

k2

可得人+，1匙J左:=2,当且仅当左

设上+'=〃，由左〉0,即左=1时，取等号,

kk

32〃32

.•//>2,.•S^EPM

(2)"9"

17+4//-24//+

4

Q

令/(〃)=4〃+j(〃22),函数/(〃)在[2,+”)上递增,

Q753?6464

・・・/(〃)=4必+32',・・.^^?<上，当〃=2时，取等号，，面积的最大值为巴.

V7A24〃+22525

4

法二、设P（x”y）,M（x2,y2）,易知PM斜率存在，设直线尸河为歹=Ax+m

y=kx+m

2

由＜x2得(1+4左2卜2+8加Ax+4〃/-4=0，

彳+‘‘一

22

二A=64/左2一4(1+4k2)(4加2-4)=64k-16w+16>0,

8mk

&+工2=---------2

1+4左”(oi),PE工ME.

4m2-4'7

/.EP-EM=0,得$%2+(必+1)(72+1)=0，即玉X2+