高中数学北师大选修22学案112类比推理版含解析

[基础·初探整理 类比推阅读P5“1.2类比推理”至P6前16行，完成下列问题类比推理是两类事物特征之间的推理 ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等【解析】正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，①②③都对【答案】整理 合情推阅读P6的最后4个自，完成下列问题 下列说法正确的是 C.D.【解析】根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论【答案】[质疑·手记[小组合作型4的等比数列{bn}Tn是数列{bn}nTT，，

TT

3差数列{an}Sn是{an}n项和【点拨】结合已知等比数列的特征可类比等差数列每隔10项和的有【自主解答】(1)S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差300.该结论是正确的.∵等差数列{an}10S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差数列，k2d.观察、比较→联想、类推→猜测新的结论[再练一题数列.类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4， T，成等比数列T【导学号 【解析】等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，，得类比结论为：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则 ，

4，T，4

【答案】

1­1­10ha，hb，hc分别是△ABC三条边上的高，P为△ABC内任意一点，Ppa，pb1­1­10 bc到结论ha＋h＋hbc1­1­证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明【点拨】三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边1

同理 ，h ∴ha＋h＋h

hd分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P为该四面体内任意一点，P到相 1p

VP­证明如下： ­

VA­ VP­

VP­ VP­同理 ，h

，h VA­

VA­ b∴ha＋hb­ VA­

一般地，点线形线面体[再练一题a＝b·cosC＋c·cosB可类比四面体的什么性质？【解】在如图所示的四面体中，S1，S2，S3，S分别表示△PCA，△ABC的面积猜想 α＋S2·cosβ＋S3·cos[探究共研型探究1 ““【提示】类比推理探究 已知以下过程可以求1＋2＋3＋…＋n的和.因为有 所以 【提示】因为…12＋22＋…＋n2 M，NC上关于原点对称的两个点，PPM，PNkPM，kPN 类似特征的性质，并加以证明 点拨

【自主解答】M，N为双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)点对称的两个点，P是双曲线上任意一点，PM，PN都存在时，kPMkPNP的位置无关的定值.M，P的坐标分别为(m，n)，(x，y)，则N(－m，－n).M(m，n)是双曲线上的点， b2 b2 n＝a2m－b.y＝a2x－by－n b2 mmxkPM·kPN＝x－·＋＝2－m2＝a2·x2－m2＝a2(定值mmx用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想[再练一题→ 5－1当FB⊥AB时，其离心率为 圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等 1­1­ 【解析】如图所示，设双曲线方程为 所以→又因为→所以1＋1－1＋

1＋2

(舍去[构建·体系下面使用类比推理恰当的是 a·3＝b·3a＝ba·0＝b·0

bc【解析】由实数运算的知识易得C项正确【答案】

已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积扇形面积为

【导学号 22

D.【解析】扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，可得扇形面 ＝2.【答案】类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为 【解析】由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在1∶8.【答案】先改写第k项

1

的一次因式的积的形式 【解析】

各式相加，得

6【答案】61­1­12(2)A­BCD中，ADABCA点在BCDM 1­1­【解】所在平面内的射影为M，则有 ，是一个真命题

如图，DM，BCE，AE，AD⊥ (建议用时：45分钟) 【解析】由正四面体的内切球可知，内切球切于四个面的中心【答案】下列推理正确的是 a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sinx＋sin把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有【解析】乘法的结合律与加法结合律相类比得(xy)z＝x(yz).【答案】设△ABCa，b，c，△ABCS则r＝ ，类比这个结论可知：四面体S­ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S­ABC的体积为V，则 【导学号

O，O到四4个三棱锥体积的和.V面体S­ 【答案】正确的是() 【解析】【答案】的重心，则AG＝2”.若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四 【解析】如图1，＝＝，O即为正四面体内切球的球心，

3

3 6

r＝

6×3×4r＝3×4×3

＝— 6＝

612＝4，AO∶OM＝412【答案】6.(2016·山东日照一模)36 【解析】36的所有正约数之和的方法，200的所有正约数之和可【答案】Rt△ABCC＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC2

，将此结论类比到空间 【解析】Rt△ABCA­BCD，AC⊥AD；△ABCA­BCD的外接球2【答案】A­BCD2AC＝b，AD＝cA­BCD已知等差数列{a

n

列{bn}中，会有类似的结 【解析】 【答案 如图1­1­13(1)，在平面内有面积关系S△PA′B′＝PA′·PB′，写出图1­1­

中类似的体积关系，并证明你的结论【解】

1­1­

VP­..

类比

PA·PB

VP­证明：如图，设C′，C到 则h＝PC

1故­VP­

＝PA·PB·h＝PA·PB·PC在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立.类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}b9＝1，【解】在等差数列{an}中，a10＝0，＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立相应地，在等比数列{bn}中，b9＝1，则可得[能力提升1类似的结论是 3正四面体的内切球的半径是其高的34正四面体的内切球的半径是其高的41【解析】原问题的解法为等面积法，即

， 题的解法应为等体积法

⇒r＝1h，.是其高的.4【答案】

若数列{a}是等差数列，则数

nn nnD.dn＝n【解析】若{an}是等差数列则 ∴b

d

{b}为等差数列；若{c}是等比数列

1－2，即 则c1·c2·…·cn＝cn·q1＋2＋ n∴dn＝【答案】

2，即{dn}为等比数列已知数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，那么a18＝ 数列的前n项和Sn的计算为 【导学号 定义“等和数列”：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一 2，n为奇数

由上述定义，

a18＝3. 为偶数

【答案】 4.(1)C