数字逻辑第三讲逻辑函数的标准形式

数字逻辑第三讲逻辑函数的标准形式第一页，共二十页，编辑于2023年，星期三1.格雷码利用异或逻辑求格雷码如：(13)10=(01101)21011第二页，共二十页，编辑于2023年，星期三例1.两个单刀双掷开关A、B，分别安装在楼上和楼下。上楼之前在楼下开灯，上楼后关灯；反之下楼之前在楼上开灯，下楼后关灯。试建立其逻辑函数式。解：假设A为楼上开关，B为楼下开关，A、B为输入变量。Y表示灯，为输出变量。A=1、B=1时开关向上；A=0、B=0时开关向下。Y=1时灯亮；Y=0时灯暗。ABY0001101110012.建立逻辑函数第三页，共二十页，编辑于2023年，星期三例2.建立飞机允许滑跑信号的逻辑函数，滑跑需满足以下条件：(1)发动机开关接通(2)飞行员入座，保险带扣上(3)乘客入座，保险带扣上；或座位上无乘客解：假设①发动机开关接通S=1②飞行员入座A=1，保险带扣上B=1③乘客入座Mi=1，保险带扣上Ni=1④允许滑跑F=1F=f(S,A,B,Mi,Ni)=SAB(M1N1+M1)(M2N2+M2)‥‥‥

=SAB(N1+M1)(N2+M2)‥‥‥第四页，共二十页，编辑于2023年，星期三3.反演规则例.求F=A[B+(CD+EG)]的反函数F方法一：反演规则F=A+B(C+D)(E+G)方法二：直接对F求反F=A[B+(CD+EG)]=A+B+(CD+EG)=A+B·CD+EG=A+B·CD·EG=A+B·(C+D)(E+G)第五页，共二十页，编辑于2023年，星期三逻辑函数的标准形式内容：最大项和最小项的定义及其性质逻辑函数的标准形式及其求取方法目的与要求： 理解并掌握最大项和最小项之间的关系； 掌握逻辑函数的标准形式及其求取方法；重点与难点：重点：最大项和最小项之间的关系；难点：最大项的应用。第六页，共二十页，编辑于2023年，星期三一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、与非-与非表达式、或非-或非表达式、与或非表达式5种表示形式。一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。尽管一个逻辑函数表达式的各种表示形式不同，但逻辑功能是相同的。逻辑函数的表达式(1)与或表达式：Y=AB+AC(2)或与表达式：Y=(A+B)(A+C)(3)与非-与非表达式：Y=AB·AC(4)或非-或非表达式：Y=A+B+A+C(5)与或非表达式：Y=AB+AC第七页，共二十页，编辑于2023年，星期三逻辑函数的标准形式

一个逻辑函数具有唯一的真值表，但它的逻辑表达式不是唯一的。逻辑函数存在一个唯一的表达式形式即标准形式。

一、最小项与最大项

1.最小项设一逻辑函数为利用互补律A+=1对函数进行扩展变换得：

最小项：与项中包含了全部的输入逻辑变量，每个输入逻辑变量在与项中可以以原变量的形式出现，也可以以反变量的形式出现，且只出现一次。又称为标准与项。第八页，共二十页，编辑于2023年，星期三对于有n个输入变量（自变量）的逻辑函数，变量有2n种取值组合，因此有2n个最小项。全部由最小项构成的与-或表达式称为函数的最小项表达式，又称为标准与-或表达式或标准积之和式。

为简化书写，用mi来表示一个最小项。m的下标i实际上是该最小项将其原变量用1、反变量用0代入构成的二进制数转换为的十进制数。

前述逻辑函数F可用最小项的代号表示为：

F（A，B，C）=m7+m6+m3+m1

=∑m（1，3，6，7）

第九页，共二十页，编辑于2023年，星期三最小项具有下列性质：①n个变量构成的任何一个最小项mi，有且仅有一种变量取值组合使其值为1，该种变量取值组合即序号i对应的二进制数。换言之，在输入变量的任何取值组合下必有一个最小项，并且只有一个最小项的值为1。②任意两个不同最小项相与为0，即mi·mj=0（i≠j）。③n个变量的全部最小项相或为1，即

。④n个变量的任何一个最小项有n个相邻最小项。所谓相邻最小项是指两个最小项中仅有一个变量不同，且该变量分别为同一变量的原变量和反变量。因此两个相邻最小项相加一定能合并成一项并消去一对以原变量和反变量形式出现的因子。如

第十页，共二十页，编辑于2023年，星期三2.最大项

继续讨论前式。因为

所以最大项：或项中包含了全部的输入逻辑变量，每个输入逻辑变量在或项中可以以原变量的形式出现，也可以以反变量的形式出现，且只出现一次。这种包含所有输入逻辑变量的或项称为最大项（或标准或项）。

第十一页，共二十页，编辑于2023年，星期三

对于有n个输入变量（自变量）的逻辑函数，变量有2n种取值组合，因此有2n个最大项。全部由最大项构成的或—与表达式称为函数的最大项表达式，又称为标准或—与表达式或标准和之积式。为了简化书写，用Mi来表示一个最小项。M的下标i实际上是该最大项将其原变量用0、反变量用1代入构成的二进制数转换为的十进制数。

逻辑函数F的最大项代号表示：

F（A，B，C）=M0M2M4M5=∏M（0，2，4，5）

第十二页，共二十页，编辑于2023年，星期三最大项具有如下性质：①n个变量构成的任何一个最大项Mi，有且仅有一种变量取值组合使其值为0，该种变量取值组合即序号i对应的二进制数。换言之，在输入变量的任何取值组合下必有一个最大项，并且只有一个最大项的值为0。②相同变量构成的两个不同最大项相或为1，即Mi+Mj=1（i≠j）。③n个变量的全部最大项相与为0，即。④n个变量的任何一个最大项有n个相邻最大项。第十三页，共二十页，编辑于2023年，星期三列出函数F的真值表及其最小项和最大项代号如下表。

通过比较可以发现相同编号的最小项和最大项之间存在互补关系，即：所以：mi+Mi=1mi·Mi=0第十四页，共二十页，编辑于2023年，星期三因此，同一函数的最小项表达式和最大项表达式之间的关系为：

F（A，B，C）=∑m（1，3，6，7）

=∏M（0，2，4，5）

推广到一般情况，同一逻辑函数从一种标准形式变换为另一种标准形式时，只需将∑m和∏M符号互换，并在其后的括弧中填入原标准形式缺少的数字即可。如：F（A，B，C，D）=∑m（1，3，6，7，11，12，14）=∏M（0，2，4，5，8，9，10，13，15）第十五页，共二十页，编辑于2023年，星期三代数变换法求函数的最小项表达式

首先将函数变换成一般与-或表达式。从一般与-或表达式得到最小项表达式只须利用互补律（A+=1）将每个与项乘上未出现的变量的原变量与反变量和的形式，展开后即得到最小项表达式。例1：求F（A，B，C）=AB+BC+AC的最小项表达式。二、逻辑函数标准形式的求取方法-----------代数变换法和真值表法第十六页，共二十页，编辑于2023年，星期三2.真值表法求函数的最小项表达式将真值表中使函数值为1的变量取值组合对应的最小项相加，即可得到函数F的最小项表达式。例2：写出下列真值表对应的最小项表达式。F(A,B,C)=m0+m1+m4+m5+m6

=∑m（0，1，4，5，6）

第十七页，共二十页，编辑于2023年，星期三3.代数变换法求函数的最大项表达式首先将函数变换成一般或—与表达式。从一般或—与表达式得到最大项表达式只须利用吸收律(A+B)(A+)=A将每个非最大项的或项A扩展成最大项，即可得到最大项表达式。其中B为非最大项或项中所缺少的变量。4.真值表法求函数的最大项表达式

作出函数F的真值表。将真值表中使函数值为0的变量取值组合对应的最大项相与，即可得到函数F的最大项表达式。

第十八页，共二十页，编辑于2023年，星期三5.综合举例例1：如果逻辑函数F(A，B，C，D)=∑m(1，4，9，12)，G(A，B，C，D)=∏M(1，4，9，12)，求F+G=？解：F和G是具有相同变量个数的两个函数，F(A，B，C，D)=∑m(1，4，9，12)意味着ＡＢＣＤ取值为０００１、０１００、１００１、１１００时F的值为1，否则F的值为0。G(A，B，C，D)=∏M(1，4，9，12)意味着ＡＢＣＤ取值为０００１、０１００、１００１、１１００时G的值为0，否则G的值为1。由此可见，F和G互为反函数。所以F+G=1第十九页，共二十页，编辑于2023年，星期三例2：已知逻辑函数F（A，B