2022年上海市普陀区高考数学二模试卷

2022年上海市普陀区高考数学二模试卷

试题数：21,总分：150

1.（填空题，4分）若J：2；1=2,则实数m的值为

2.（填空题，4分）若复数z在复平面内对应的点为（1,-1）,则2=_.

Z

2

3.（填空题，4分）已知等差数列｛an｝（nCN*）满足a3+a7=a5+1,则a5=_.

4.（填空题，4分）在（2x+y）5的展开式中，含x3y2项的系数为一.

5.（填空题，4分）若增广矩阵为（二:）的线性方程组无实数解，则实数m=_.

6.（填空题，4分）已知一个圆锥的侧面积为若其左视图为正三角形，则该圆锥的体积为

7.（填空题，5分）设函数f（x）=三的反函数为（x）,若集合A=｛x「（x）>2,xGZ）,

x—1

则由A中所有元素所组成的一组数据的中位数为一.

8.（填空题，5分）设椭圆八三+t=l的左、右两焦点分别为Fi，F,P是「上的点，则

842

使得APFiFz是直角三角形的点P的个数为一.

9.（填空题，5分）从集合｛a,b,c｝的非空子集中随机任取两个不同的集合M和N,则使得

MCN=0的不同取法的概率为一（结果用最简分数表示）.

1。.（填空题，5分）若xe（弯，4，则等式胃口+驾券=2成立的一个x的值可以

是_.

11.（填空题，5分）设直线1：3x-y-n=0（nCN*）与函数f（%）=弓）"？和gQ）=弓7+3的

图像分别交于Pn,Qn两点，则I七QM=_.

n->oo

12.（填空题，5分）如图，动点C在以AB为直径的半圆0上（异于A,B）,NDCB=：,且

DC=CB,若|AB|=2,则沆•布的取值范围为

13.（单选题，5分）已知点M（2,2）,直线1：x-y-l=0,若动点P至U1

的距离等于|PM|,则点P的轨迹是（）

A椭圆

B.双曲线

C.抛物线B

D.直线

14.(单选题，5分)"x>y>0"是-；"的()

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既非充分也非必要条件

15.(单选题，5分)数列｛aj的前n项的和Sn满足%+i+Sn=n(n€N*),则下列选项中正

确的是()

A.数列｛an+i+aj是常数列

B.若则｛aj是递增数列

C.若ai=-l,则SZO22=1O13

D.若a1=l,则｛a»的最小项的值为-1

16.(单选题，5分)已知定义在R上的偶函数f(x)，满足[f(x)]3-[f(x)]2-x2f(x)

+x2=0对任意的实数x都成立，且值域为[0,1].设函数g(x)=|x-m|-|x-l|,(m<l),若

对任意的巧C(-2,存在X2>xi，使得g(x2)=f(xi)成立，则实数m的取值范围为

()

A.[-6,1)

C.[0,1)

17.(问答题，14分)如图所示，正四棱柱ABCD-AiBCiDi的底面边长为2,侧棱长为4,设

DE=4西(0<A<l).

(1)当人=之时，求直线BiE与平面ABCD所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)；

(2)当人=；时，若昭=tB^C,且锯・瓦e=0,求正实数t的值.

18.(问答题，14分)设Sn是各项为正的等比数列｛aj的前n项的和,

且S2=3,a3=4,nWN*.

(1)求数列｛aj的通项公式；

（2）在数列｛a»的任意ak与ak+i项之间，都插入k（keN*）个相同的数（-1）'<k,组成数列

｛bn｝,记数列｛bn｝的前n项的和为Tn，求T」的值.

19.（问答题，14分）如图所示，等腰直角4ABC是某大型商场一楼大厅的局部，商场管理部

门拟用围栏在其中围出一个三角形区域OEF,供商家开展促销活动.已知AB=AC=20（米），

E,F分别是AB,AC上的动点，。为BC的中点，且NEOF=点，设/OEA=a.

（1）当a=］时，求围栏EF段的长度（精确至0.01）；

（2）求区域OEF面积的最小值（精确到0.01）,并指出面积达到最小值时的相应的a值.

20.（问答题，16分）设Fi，F2分别是双曲线「条—\=1（a>0,b>0）的左、右两焦点,

过点F2的直线1：x-my-t=0（m,tGR）与「的右支交于M,N两点，「过点（-2,3）,且它

的虚轴的端点与焦点的距离为V7.

（1）求双曲线「的方程；

（2）当|MFI|=|F2FI|时，求实数m的值；

（3）设点M关于坐标原点0的对称点为P,当丽=:所时,求4PMN面积S的值.

21.(问答题，18分)对于函数f(x)和g(x),设集合A={x|f(x)=0,xGR},B={x|g(x)

=0,xeR),若存在xiWA,X2CB,使得|xi-X2区k(k>0),则称函数f(x)与g(x)“具有性

(1)判断函数f(x)=sinx与g(x)=cosx是否“具有性质M(J",并说明理由；

(2)若函数f(x)=2x」+x-2与g(x)=x2+(2-m)x-2m+4"具有性质M(2)”,求实数m

的最大值和最小值；

(3)设a>0且aHl,b>l,若函数f(%)=—a*+log”与g(x)=-ax+logbX“具有性质M

b

(1)"，求)1—小的取值范围.

2022年上海市普陀区高考数学二模试卷

参考答案与试题解析

试题数：21,总分：15（）

1.（填空题，4分）若|：2；|=2,则实数m的值为

【正确答案】：口］2

【解析】：根据矩阵的运算法则列式计算即可.

【解答】：解：由匕2；|=2,可得：2x3-lx2m=2,解得：m=2.

故答案为：2.

【点评】：本题考查矩阵的运算，是基础题.

2.（填空题，4分）若复数z在复平面内对应的点为（1,-1）,则:=_.

【正确答案】：

【解析】：直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共辗复数的概念得答案.

【解答】：解：•••复数z在复平面内对应的点为（1,-1）,

22（l+i）1.

.•.z=［大片匚元商=1+''

故答案为:l+i.

【点评】：本题考查了复数的几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题.

3.（填空题，4分）已知等差数列⑶}（nWN*）满足+a7=as?+1，则a5=_.

【正确答案】：口］1

【解析】：利用等差中项的性质可得2a5=as?+120,进而可求结果.

2

【解答】：解：•••等差数列⑶}（nGN*）满足a3+a7=a5+1,

•••（a5-l）2=0,解得as=l.

故答案为：1.

【点评】：本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

4.（填空题，4分）在（2x+y）5的展开式中，含x3y2项的系数为

【正确答案】：［1］80

【解析】：先求得二项式展开式的通项公式，再令y的暴指数等于2,求得r的值，即可求得

含x3y2项的系数.

【解答】：解：二项式（2x+y）5的展开式的通项公式为7；+］=Cj・25-r・％5-r.yr,

令r=2,所以含X3y2项的系数为点X23=8O,

故答案为：80.

【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题.

5.（填空题，4分）若增广矩阵为j的线性方程组无实数解，则实数m=_.

【正确答案】：［1］-2

【解析】：由阴=0,且I，夕#0求解即可.

Im411441

【解答】：解：增广矩阵为（17勿的线性方程组无实数解，

Vm44/

所以71=0,且I：3黄0,

411441

所以m2-4=0且4m-8。0,

解得:m=-2.

故答案为：-2.

【点评】：本题考查矩阵的运算，是基础题.

6.（填空题，4分）已知一个圆锥的侧面积为三，若其左视图为正三角形，则该圆锥的体积为

【正确答案】：［1］粤

【解析】：由圆锥侧面积公式求得底面半径r=/圆锥的高为当，应用圆锥的体积公式求体

积.

【解答】：解：•••其左视图为正三角形，二设圆锥底面半径为r,则高为gr,母线为2r,

所以［x2rx2nr=,则r=：,

故圆锥的体积为:xbrxnr』等.

324

故答案为：粤.

24

【点评】：本题考查圆锥的体积公式，属于基础题.

7.（填空题，5分）设函数/（%）的反函数为fi（x）,若集合A={x「（x）>2,xCZ},

x—1

则由A中所有元素所组成的一组数据的中位数为一.

【正确答案】：［1］5

【解析】：先求出反函数，再求出集合A,根据中位数的定义可得.

【解答】：解：y=W，则yx-y=3x,即*=三，

Jx-1JJy-3

••fi（X）=,

X-3

•・・集合A={x|fi（x）>2,xGZ},

x

：•—32,xWZ,

x-3

解得3VxW6,xGZ,

••.A={4,5,6},

・•・由A中所有元素所组成的一组数据的中位数为5.

故答案为：5.

【点评】：本题考查了反函数的定义和中位数，属于基础题.

8.（填空题，5分）设椭圆r：三+t=l的左、右两焦点分别为Fi，F2,P是「上的点，则

84

使得△PF1F2是直角三角形的点P的个数为一.

【正确答案】：口］6

【解析】：根据椭圆的性质，判断P为r上下顶点时NF1PF2的大小，从而判断直角三角形个

数，再加上PF1JT1F2,PFZ_LFIF2对应直角三角形个数，即可得结果.

【解答】：解：由椭圆性质知：当P为「上下顶点时，4F1PF2最大，此时|PF“=|PF2|=2或,

|FIF2|=4,

cos/FiPF2=g*3=0,故焦点三角形中NF1PF2最大为90。，故有2个；

又PFI1FIF2,PF21FIF2对应直角三角形各有2个；

综上，使得APF1F2是直角三角形的点P的个数为6个.

故答案为：6.

【点评】：本题考查椭圆的性质，属于中档题，焦点三角形是关键.

9.（填空题，5分）从集合｛a,b,c｝的非空子集中随机任取两个不同的集合M和N,则使得

MCIN=0的不同取法的概率为一（结果用最简分数表示）.

【正确答案】：［1］彳

【解析】：先求出集合（a,b,c｝的子集，依题意对集合M,N中元素的个数分类讨论，最后

利用古典概型的概率公式计算能求出结果.

【解答】：解：集合｛a,b,c｝的非空子集有23-1=7个，

从中任取两个不同的集合M和N,共有度=42种，

要使MCN=0,

①M中含有1个元素，N中也含有1个元素，有盘废=6种,

②M中含有1个元素，N中含有2个元素，有盘废=3种，

③M中含有2个元素，N中含有1个元素，有底盘=3种，

满足MClN=0的集合M,N的取法有6+3+3=12种，

故使得MCN=0的不同取法的概率为P=i|=|.

故答案为：|.

【点评】：本题考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

10.（填空题，5分）若xe（-?,7T）,则等式竺色2+理色2=2成立的一个x的值可以

2cosxsinx

是—•

【正确答案】：［1］居（答案不唯一）

【解析】：根据已知条件，结合三角函数的恒等变换公式，即可求解.

COS&+9।

【解答】：解：•••=2,

COSXsinx

sinx*cos(x+^sin(x+^»cosxsi〃(x+%+g

=2,即sin(2x+g)=sin2x,

sinx^cosxsinx•cosxsinx*cosx

，2%+卜2%=兀+2g解得x=和+”keZ,

当k=o时，X=^7T符合题意.

lo

故答案为：曾(答案不唯一).

16

【点评】：本题主要考查三角函数的恒等变换公式，属于基础题.

11.(填空题，5分)设直线1：3x-y-n=0(n£N*)与函数/(%)=(D*+?和g(x)=弓)、+3的

图像分别交于Pn,Qn两点，则I七Qnl=一.

71T8

【正确答案】：口］6»

【解析】：两条曲线一条无限接近X轴，另一条无限接近y=3,画出图像分析即可.

【解答】：解：直线1的斜率k=3,

故答案为：V10.

【点评】：本题考查了函数极限，属于基础题，数形结合是关键.

12.(填空题，5分)如图，动点C在以AB为直径的半圆0上(异于A,B),zDCB=］，且

DC=CB,若|AB|=2,则沅•话的取值范围为

【正确答案】：［1］(1,2］

【解析】：利用NB0C=23把向量内积通过投影转化为三角函数问题进

行求解即可.

【解答】：解：设NBOC=2。，则ee(o,，作DE_LOE交oc的延长

线于点E,

D

B

由余弦定理BC2=l+l-2cos20=2-2cos20=4sin20,

所以BC=2sin0,即DC=2sin。,

Z.OCB==,因为NCCB=],所以NDCE=O,

JWWCE=DC-cos0=2sin0cos0=sin20e(0,1],

所以说•而=OC・OE=lx(l+sin26)=1+sin2dG(1,2],

故答案为：（1,2].

【点评】：本题主要考查数量积的运算，平面向量的坐标运算等知识，属于中等题.

13.（单选题，5分）已知点M（2,2）,直线1：x-y-l=0,若动点P至U1的距离等于|PM|,

则点P的轨迹是（）

A椭圆

B.双曲线

C.抛物线

D直线

【正确答案】：C

【解析】：由抛物线的定义可判断点P的轨迹是抛物线.

【解答】：解：由点M（2,2）,直线1：x-y-l=0,所以点M不在直线上，

又动点P到1的距离等于|PM|,由抛物线的定义知点P的轨迹是抛物线.

故选：C.

【点评】：本题考查抛物线的定义，属基础题.

14.（单选题,5分）"x>y>0"是-;的（）

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既非充分也非必要条件

【正确答案】：A

【解析】：应用作差法，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可.

【解答】：解：由三一（y—"=忙匚一"二=至把2殳包，又x>y>0,

x\ryJxyxy

所以工—工—（y—2）>0,即％—工>y—工，充分性成立；

xVy）xyy

当％-二〉y—三时.，即竺1120>o,显x=2,y=-l时成立，必要性不成立;

xyxy

故"x>y>0"是""的充分非必要条件.

故选：A.

【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决

本题的关键.

15.（单选题，5分）数列｛aj的前n项的和Sn满足%+i+Sn=n（neN*）,则下列选项中正

确的是（）

A.数列®+i+an｝是常数列

B.若的<葭则｛a»是递增数列

C.若ai=-l,贝ijS2022=1013

D.若ai=l,则｛an｝的最小项的值为-1

【正确答案】：D

【解析】：由题设可得2a2+ai=l且an+i+an=l（n>2）,进而可知n22时，数列｛aj的偶数

项的值，奇数项的值分别相等，再结合各选项的条件判断即可.

【解答】：解：当n=l时，S2+Si=2ai+a2=l,

当n32时，由已知可得Sn+Sn1=n・l,所以an+i+an=l（n>2）,

而az+ai=l不一定成立，故数列｛an+i+aj不一定是常数列，故A错误；

由an4-i4-an=an+an-i=an-i+an-2='--=a3+a2=l,显然有an4-i=an.i=an-3=---Man=an-2=an-4='••，即

｛aj不是单调数列，故B错误；

若ai=-l,则a2=3,a3=-2,故n“时，数列⑶｝的偶数项为3,奇数项为-2,

而S2022=ai+（82+33）+（84+35）H-------F（32020+^2021）+32022="1+1000+3=1012,故C错误;

若a1=l,则a2=・l,a3=2,故n“时，数列｛aj的偶数项为-1,奇数项为2,故｛aj的最小项

的值为・1,故D正确.

故选：D.

【点评】：本题考查数列的递推公式，涉及数列的求和，属于中档题.

16.(单选题,5分)已知定义在R上的偶函数f(X),满足[f(x)]3-[f(x)]2-x2f(x)

+x2=0对任意的实数x都成立，且值域为[0,1].设函数g(x)=|x-m|-|x-l|,(m<l),若

对任意的与6(-2,存在X2>x]，使得g(X2)=f(xi)成立，则实数m的取值范围为

()

A.[-6,1)

C.[0,1)

D-[-r°]

【正确答案】：D

【解析】：先根据函数f(x)满足的关系式及奇偶性，值域，得到/(%)=

1,x<—m—1,x<m

|%|,一1WxW1，再写出g(x)=〈2%-小一1,?nWxW1,同一坐标系中画出两函数图

1,X>1—m+1,%>1

象，结合当x>l时，g(x)=-m+l>l及%€(-8,3时，g(x)的图象要位于f(x)的下

方，得到gG)w/G)，求出实数m的取值范围.

【解答】：解：[f(x)]3-[f(x)]2-x2f(x)+x2=0变形为[R(x)-X2][f(x)-l]=0,

所以f(x)=1或件(x)=x2,即f(x)=1或f(x)=|x|,

因为f(x)为偶函数,且值域为[0,1],

[1,x<-1

所以fM=<|x|,-1<X<1,

[1,X>1

—1,x<m

因为mVl,所以g(x)=|%--1%—1|=<2%—m—1,m<x<1,

、一7n+1,x>l

在同一坐标系中画出两者的函数图象，如下图:

要想满足若对任意的C(-2,1),存在X2>X1，使得g(X2)=f(XI)成立,

则当x>l时，g(x)=-m+l>l,所以mMO,

且%£(-8,0时，g(x)的图象要位于f(x)的下方，

故只需gQw/G),即—mW］解得：m>-i,

综上：实数m的取值范围是［-10］.

故选：D.

【点评】：对于函数恒成立或有解问题，要画出函数图象，对比函数值域，数形结合，列出不

等式，求出参数的取值范围.

17.(问答题，14分)如图所示，正四棱柱ABCD-AiBiCiDi的底面边长为2,侧棱长为4,设

~DE=4西(O<A<1).

(1)当人=：时，求直线BiE与平面ABCD所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)；

(2)当人=3时，若的二t跖,且正•瓦1=0,求正实数t的值.

【正确答案】：

【解析】：(1)以A为坐标原点，AB,AD,AAi分别为坐标轴，建

立如图所示的空间坐标系，求得直线BiE的方向向量与平面ABCD的一个法向量，利用向量

法可求线BiE与平面ABCD所成角的大小.

(2)求得瓦？=(0,2,-4),EG=(2,2t-2,3-4t),利用数量积可求t的值.

【解答】：解：（1）以A为坐标原点，AB,AD,AAi分别为坐标轴，建立如图所示的空间

坐标系，

则点E(0,2,2),Bi(2,0,4),即率=(-2,2,-2),

平面ABCD的一个法向量元=(0,0,4),

设直线BiE与平面ABCD所成角为0,

则sin0=—=—,即0=arcsin—,

忸第|.|殖2V3X433

则直线BiE与平面ABCD所成角的大小为arcsing.

(2)由(1)中所建坐标系得E(0,2,1),Bi(2,0,4),C(2,2,0),

则瓦^=(0,2,-4),

又瓦百=t及2,则G(2,2t,4-4t),则宙=(2,2t-2,3-4t),

又丽•瓦7=0,则0x2+2・(2t-2)+(-4)•(3-4t)=0,解得t=g.

【点评】：本题考查直线与平面所成的角的求法，利用向量的数量积求参数的值，属中档题.

18.（问答题，14分）设Sn是各项为正的等比数列｛aj的前n项的和，月.Sz=3,a3=4,neN,.

（1）求数列｛a»的通项公式；

（2）在数列｛aj的任意ak与ak+i项之间，都插入k（keN*）个相同的数（-1）卜工组成数列

｛bn｝,记数列｛bn｝的前n项的和为Tn，求T100的值.

【正确答案】：

【解析】：（1）设等比数列｛an｝的公比为q>0,由已知建立方程组求解可得数列的通项公式

（2）数列｛bn｝中在ak+1之前共有k+（l+2+3+...+k）=等项，再分组，分别利用等

差.等比求和公式可求得答案

【解答】：解：(1)设等比数列｛an｝的公比为q>0,

则ai(1+q)=3,aiq2=4,.，总1=1,q=2.

则等比数列｛an｝的通项公式为an=2-i,nGN*.

(2数列｛bn｝中在ak+i之前共有k+(l+2+3+...+k)=卜+幺产=号^项

当k=12吐忆手=90<100.当k=13吐号^=104>100

则Tioo=(1+2+22+...+212)+(-12+22-32+42-...+122)-13x9,

=^—+(1+2+3+4+...+12)-117=2-40=8152.

1-2

则所求的数列｛bn｝的前100项和为8152.

【点评】：该题考查了等比数列的基本运算和等比数列求和公式的应用，属于较难题型.

19.（问答题，14分）如图所示，等腰直角4ABC是某大型商场一楼大厅的局部，商场管理部

门拟用围栏在其中围出一个三角形区域OEF,供商家开展促销活动.已知AB=AC=20（米），

E,F分别是AB,AC上的动点，0为BC的中点，且/EOF=/，设4OEA=a.

（1）当a=］时，求围栏EF段的长度（精确至U0.01）；

（2）求区域OEF面积的最小值（精确至U0.01）,并指出面积达到最小值时的相应的a值.

【正确答案】：

【解析】：（1）在三角形OFC中,由正弦定理得,黑=缶，可求°F,再由余弦定理

可示EF；

（2）在三角形OFC中,由正弦定理得黑=缶,可得°F,在三角形OEF中,由正弦定

理得器=缶，可求0E，可求MEF面积的最小值，以及面积达到最小值时的相应的a

值.

【解答】：解：(1)由a=],可得OE=10,OC=10V2,zOFC=y

4

oc

在△OFC中，可得，.

sin^OFC

cLOCsinC20V3

OF=-................=--------

sinWFC3

在AOEF中，可得,EF2=OE2+OF2-20E-OF•cos乙EOF=100

即Ep=J700+200V3x1868,贝ijEF=18.68米.

7n]

(2)由条件得，20%=兀一管一N0EA)=?+a,zOEB=n-a,且12_1

在AOFC中，可得黑=缶

即OF=10

si”(a+匀

0B

在ZkOEF中，可得士-

sinBsinz-OEB

即OE=1010

sinCn-a)sina

25遍

所以AOEF的面积为S=1OExOFsinNEOF=

sina・sin(a+£)

50vl

可得s=

T+Sin(2a4)

5711

又a4,瞽即2a冶啖61

当2a-g=；,即a=工时，S取得最小值，且值为200次-300工46.41,

则区域OEF面积的最小值为46.41(平方米)，对应的a值为工.

【点评】：本题考查正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属中档题.

20.(问答题，16分)设Fi，Fz分别是双曲线小捻一3=1(a>0,b>0)的左、右两焦点,

过点F2的直线1：x-my-t=0(m,teR)与「的右支交于M,N两点，「过点(-2,3),且它

的虚轴的端点与焦点的距离为V7.

(1)求双曲线「的方程；

(2)当|MFI|=|F2FI|时，求实数m的值;

(3)设点M关于坐标原点0的对称点为P,当丽=3可时，求APMN面积S的值.

【正确答案】：

【解析】：(1)根据点在双曲线上及两点距离列方程组求双曲线参数，即可得方程；

(2)由点在直线上求得t=2根据Fi到直线1：x-my-2=0与等腰三角形F1MF2底边MF2上的

高相等，列方程求参数m；

(3)设M(xi,%),N(X2,y2),联立双曲线与直线方程，应用韦达定理得yi+y2=

萼力叩2=—由向量的数量关系可得m2=白，根据对称点，三角形面积公式

l-3m2,'l-3mz35

S=2SAOMN=2|yi-y2|,求aPlVIN面积.

【解答】：(1)因为双曲线r过点(-2,3),且它的虚轴的端点与焦点的距离为旧，

仁」=1

可得：«2，

l.b2+(a2+b2)=7

（2

解得:a=1

lb2=3

所以双曲线「的方程为/一7=1.

(2)因为直线1：x-my-t=O,且过点F2(2,0),

则2-mx0-t=0,解得:t=2,

由IMF1RF2F1I得:三角形F1MF2为等腰三角形,

所以等腰三角形F1MF2底边MFz上的高的大小为JMF/_(峥彳=V15,

又因为点Fi到直线1：x-my-2=0的距离等于等腰三角形F1MF2底边上的高，

贝3号等1=质，

vm2+l

化简得：m2=^,即血=±普.

(3)设M(xi,yi),N(X2，y2),

由直线与双曲线联立得：卜2-白=1,

X-my-2=0

化简得：（3m2・l）y2+12my+9=0,

12m9

由韦达定理得:y/2=-

yi+%=l-3m2l-3m2

又1O，即y2=-2yi，则一yi=舌袅，2yJ=-2—

即2(禹，彘，则源

又点M关于坐标原点0的对称点为P,

2

则S=2SAOMN=2|yi-y2l=2V(yi+y2)-4yty2=2_4(-合适)=

12V7n2+i_9建

l-3m2.4•

则所求的aPMN面积为见变.

4

【点评】：本题考查直线与双曲线的综合应用问题，利用韦达定理是解决本题的关键.

21.(问答题，18分)对于函数f(X)和g(x),设集合A={x|f(x)=0,xeR},B={x|g(x)

=0,xGR),若存在xiWA,X2GB,使得|x/X2区k(k>0),则称函数f(x)与g(x)“具有性

质M(k)

(1)判断函数f(x)=sinx与g(x)=cosx是否“具有性质M(J”,并说明理由；

(2)若函数f(x)=2x-1+x-2与g(x)=x2+(2-m)x・2m+4"具有性质M(2)”,求实数m

的最大值和最小值；

(3)设a>0且aHl,b>l,若函数f(%)=-Q"+logy与g(x)=-ax+logbX"具有性质M

b

(1)”,求"1一”2的取值范围.

【正确答案】：

【解析】：(1)可得xi=km,kGZ,x2=k2n+,k2&Z,即%—不1=|(七一七)兀一

>2>i,从而求解；

(2)依题意可得在XI=1CA,X26B,使得俄-1区2,即-1WXZW3,即方程x?+(2-m)x-

2m+4=0在区间［1,3］上有解，分离参数即可求解；

'0<久1<1

(3)当a>l时，由X1<X2得k)gbX2Xi>0,则X2X1>1,由Xi，X2满足,“2>1,利用

x2-Xi<1

<X2Xi>1

可行域即可求解，当0<a<l时，由X1<X2得10gbX2Xi<0,则O<X2X1<1,由Xi