2023年吉林省松原市宁江区四校中考数学三模试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023年吉林省松原市宁江区四校中考数学三模试卷一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列四个实数中，最小的数是(

)A.−1 B.−|−2| 2.网络用语“6”是比较厉害的意思，且“6”本身是一个自然数.将数字0.000000006用科学记数法表示为(

)A.−6×109 B.−0.6×3.吉林松花石有“石中之宝”的美誉，用它制作的砚台叫松花砚，能与中国四大名砚媲美．如图是一款松花砚的示意图，其俯视图为(

)A.

B.

C.

D.4.下列运算中正确的是(

)A.2a3−a3=2 B.5.不等式组x−1≤0A. B.

C. D.6.《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸(ED=2寸)，锯道长8寸”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径ACA.5寸 B.8寸 C.10寸 D.12寸二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）7.已知直线a//b，一块直角三角板如图所示放置，若∠1=37°，则∠8.关于的一元二次方程x2−3x−k=9.“把弯曲的公路改直，就能缩短路程”，其中蕴含的数学道理是______．10.如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB′

11.如图，⊙O的半径为4，直线AB与⊙O相切于点A，AC平分∠OAB，交⊙O于点C

12.如图，已知在△ABC中，AB=6.AC=10，D，E分别是AB，A

13.如图，以正六边形ABCDEF的边AB为直角边作等腰直角三角形ABG，使点G在其内部，且∠BA

14.如图，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A(−2,0)、点B

三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）15.先化简再求值：(1x−1+四、解答题（本大题共11小题，共79.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.(本小题5.0分)

已知，如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且AB17.(本小题5.0分)

从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取同学担任环保志愿者．

(1)若随机抽取1名，则恰巧是甲同学的概率是______；

(2)若随机抽取2名，求甲同学在其中的概率(用画树状图法或列表法求解18.(本小题5.0分)

中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两(我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何(马、牛单价各是多少两)？”19.(本小题7.0分)

图①、图2均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A，点B均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．

(1)在图①中，以点A，B，C为顶点画一个等腰三角形；

(2)在图②中，以点A，B，D，E为顶点画一个面积为320.(本小题7.0分)

为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛，并随机抽取了50名学生的竞赛成绩(竞赛成绩为百分制，本次竞赛没有满分)，经过整理数据得到以下信息：

信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组(每组数据含左端点值，不含右端点值)．

信息二：第三组的成绩(单位：分)为

74 71 73 74 79 76 77 76 76 73 72 75

根据信息解答下列问题：

(

21.(本小题7.0分)

墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm，花洒AC的长为30cm，与墙壁的夹角∠CAD为43°.求花洒顶端C到地面的距离C22.(本小题7.0分)

如图，在平面直角坐标系中，点A(3,2)在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，点B在OA的延长线上，BC⊥x轴，垂足为C，BC与反比例函数的图象相交于点D，连接AC23.(本小题8.0分)

根据市卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放.在换水时需要经“排水一清洗一灌水”的过程.某游泳馆从早上7：00开始对游泳池进行换水，已知该游泳池的排水速度是灌水速度的1.6倍，其中游泳池内剩余的水量y(m3)与换水时间上x(h)之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：

(1)该游泳池清洗需要______小时．

(2)求排水过程中的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．24.(本小题8.0分)

如图①，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE=AD，∠DAE+∠BAC=180°．

(1)直接用含α的代数式表示∠ADE的度数为______；

(2)以25.(本小题10.0分)

如图，等边△ABC中，AB=6，CD⊥AB，点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿边AB向终点B运动，过点P作PQ⊥AC于点Q，过点P向上作PF//AC，且PF=3PQ，以PF、PQ为边作矩形PQEF，设点P的运动时间为x(秒)，矩形PQEF与△ABC26.(本小题10.0分)

如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线y=x2+bx+c经过点B，D(−4,5)两点，且与直线DC交于一点E．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P为y轴上一点，探究EP+PB是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点P答案和解析1.【答案】B

【解析】解：∵−|−2|=−2，

∴−|−2|<2.【答案】D

【解析】解：0.000000006=6×10−9．

故选：D．

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<3.【答案】C

【解析】解：俯视图是从物体的上面向下面投射所得的视图，

由松花砚的示意图可得其俯视图为C．

故选：C．

由物体的正面示意图可得物体的俯视图为两同心圆．

本题考查物体的三视图，解题关键是掌握物体的三视图的有关概念．

4.【答案】B

【解析】解：A.2a3−a3=a3，原式结果错误；

B.2a2⋅a4=2a6，原式结果正确；

5.【答案】A

【解析】解：解不等式x−1≤0得x≤1，

解不等式x+3>0得x>−3，

所以不等式组的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是：．

6.【答案】C

【解析】解：设⊙O的半径为r．

在Rt△AEO中，AE=4，OE=r−2，OA=r，

则有r2=42+(r−2)2，

解得r=7.【答案】53°【解析】解：作直线AB//a，

∵a//b，

∴AB//a//b，

∵AB//a，

∴∠1=∠3，

∵AB//b，8.【答案】k<【解析】解：根据题意得Δ=(−3)2−4×(−k)<0，

解得k<−94，

即m的取值范围为k<−99.【答案】两点之间线段最短

【解析】解：由线段的性质可知：

两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．

故答案为：两点之间线段最短．

根据线段的性质：两点之间线段最短，解答即可．

本题主要考查了线段的性质，即两点之间线段最短．

10.【答案】1

【解析】解：∵矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB′C′D′，

∴AB=AB′=5，AB=CD=5，

11.【答案】2π【解析】解：∵直线AB与⊙O相切于点A，

∴∠OAB=90°．

∵AC平分∠OAB，

∴∠OAC=12∠OAB=45°．12.【答案】24

【解析】解：∵D，E分别是AB，AC的中点，DE=4，

∴BC=2DE=8，

∵AB2+BC2=62+13.【答案】45

【解析】解：在正六边形ABCDEF中，

∵∠AFE=∠BAF=(6−2)×180°6=120°，

∵∠BAG=90°，14.【答案】−12【解析】解：∵A(−2,0)，B(1,0)，四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=3，点C坐标(1,3)，

当抛物线经过点C时，3=1−4+m，m=615.【答案】解：原式=x+1+x−1x2−1⋅3(x2【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．

本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．

16.【答案】证明：∵AB⊥BE，DE⊥BE

∴∠B=∠E

【解析】因为AB⊥BE，DE⊥BE，所以∠B=∠E，又因为BF=CE，所以BC=FE，又因为AB=DE17.【答案】14【解析】解：(1)若随机抽取1名，则恰巧是甲同学的概率是14，

故答案为：14；

(2)画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中2名同学中有甲同学的结果数为6，

所以甲同学在其中的概率为12．

(1)直接利用概率公式求解即可；18.【答案】解：设马的单价为x两，牛的单价为y两，

依题意得：4x+6y=483x+5y=【解析】设马的单价为x两，牛的单价为y两，根据“马四匹、牛六头，共价四十八两；马三匹、牛五头，共价三十八两”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．

本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

19.【答案】解：(1)如图①中，△ABC即为所求(答案不唯一)．

(2)如图【解析】(1)根据等腰三角形的定义画出图形即可(答案不唯一)．

(2)作应该底为1，高为3的平行四边形即可．

20.【答案】解：(1)10；

(2) 76，78；

(3)1500×20【解析】解：(1)50−4−12−20−4=10(人)，

故答案为：10；

(2)第三组学生竞赛成绩出现次数最多的是76，因此众数是76，

将50名学生的竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为77+792=78，因此中位数是78，

故答案为：76，78；

(3)见答案．

21.【答案】解：过C作CF⊥AB于F，

则∠AFC=90°，

在Rt△ACF中，AC=30，∠CA【解析】过C作CF⊥AB于F，于是得到∠22.【答案】6

【解析】解：(1)∵点A(3,2)在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，

∴k=3×2=6，

故答案为：6；

(2)过点A作AE⊥x，垂足为E，

∵BC⊥x轴，垂足为C，

∴AE//BC，

∴OEOC=AEBC，

∵A(3,223.【答案】1.2

【解析】解：(1)由题意可得，该游泳池清洗需要：2.7−1.5=1.2(小时)，

故答案为：1.2；

(2)设排水过程中的y(m3)与x(h)之间的函数关系式为：y=kx+b，

由题，得b=12001.5k+b=0，解得k=−800b=1200，

∴排水过程中的y与x之间的函数关系式为：y=−800x+1200(0≤x≤1.5)；

(3)由题意可得，排水的速度为：24.【答案】90°【解析】解：(1)如图①中，

∵AB=AC，AD=AE，

∴∠B=∠C，∠ADE=∠E，

∵∠BAC+2∠B=180°，∠DAE+2∠ADE=180°，∠BAC+∠DAE=180°，

∴2∠B+2∠ADE=180°，

∴∠ADE=90°−∠B=90°−α．

故答案为：90°−α．

(2)①如图②中，结论：BD=CD．

理由：∵四边形ABFE是平行四边形，

∴AB//EF，

∴∠CDE25.【答案】3【解析】解：(1)∵△ABC是等边三角形，AB=6，CD⊥AB于点D，

∴∠A=60°，AD=BD=12AB=3，

∵PQ⊥AC于点Q，AP=2x，

∴∠AQP=90°，

∴PQ=AP⋅sin60°=2x×32=3x，

故答案为：3x.

(2)∵四边形PQEF是矩形，PF=3PQ=3×3x=3x，

∴EF=PQ=3x，EQ=PF=3x，EF//PQ，

∴∠CEF=∠EQP=90°，

∵∠ADC=90°，∠A=60°，

∴∠ACD=30°，

当点F落在CD上，则∠CFE=60°，

∴CE=EF⋅tan60°=3x×3=3x，

∵AQ=AP⋅cos60°=2x×12=x，AC=AB=6，

∴x+3x+3x=6，解得x=67，

∴当点F落在CD上时x的值为67．

(3)∵∠ACB=60°，

∴当F落在BC上时，∠CFE=30°，

∴CE=EF⋅tan30°=3x×33=x，

∴x+3x+x=6，解得x=65；

当点E与点C重合，则x+3x=6，解得x=32；

当点P与点B重合，则2x=626.【答案】解：(1)由点D的纵坐标知，正方形ABCD的边长为5，

则OB=AB−AO=5−4=1，故点B的坐标为(1,0)，

则1+b+c=016−4b+c=5，

解得b=2c=−3，

∴抛物线的表达式为y=x2+2x−3；

(2)EP+PB存在最小值，理由如下：

∵点E关于y轴对称点为