四川省成都市川师附中(高中部)高三数学理测试题含解析

四川省成都市川师附中(高中部)高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，分别为双曲线：的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线某条渐近线于、两点，且满足：，则该双曲线的离心率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略2.已知直线m,n，平面，且给出下列命题：①若，则，②若，则，③若，则，④若，则，其中正确的命题是A．①④

B．①③

C．②③

D．③④参考答案：答案:A3.已知O为坐标原点，A、B两点的坐标均满足不等式组，设与的夹角为θ，则tanθ的最大值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C4.椭圆+=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=，且∈[,]，则该椭圆离心率的取值范围为

（▲）A．[,]

B．[,]

C．[，1)

D．[,1)参考答案：A略5.复数（其中为虚数单位）的虚部是（

）

参考答案：C化简得，则虚部为，故选6.函数是（

）.(A)周期为的奇函数

(B)周期为的偶函数(C)周期为的奇函数

(D)周期为的偶函数参考答案：C略7.设，，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略8.函数的反函数

.

参考答案：略9.已知双曲线（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（

）（A）（B）（C）（D）参考答案：D10.顶点都在一个球面上的正四棱柱中，，，则两点间的球面距离为A.

B.

C.

D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若P，Q为y=1﹣x2上在y轴两侧的点，则过P，Q点的切线与x轴围成的三角形的面积的最小值为．参考答案：【考点】IE：直线的截距式方程．【分析】由P，Q为y=1﹣x2上在y轴两侧的点，设P（a，1﹣a2），Q（b，1﹣b2），（a＞0＞b），曲线y=1﹣x2在P（a，1﹣a2）处的切线为l1：y=﹣2ax+a2+1，曲线y=1﹣x2在Q（b，1﹣b2）处的切线为l2：y=﹣2bx+b2+1，所求图形为△EFG，其面积S△EFG=（a﹣b）（2﹣ab﹣），由此能求出所求面积最小值．【解答】解：∵P，Q为y=1﹣x2上在y轴两侧的点，∴设P（a，1﹣a2），Q（b，1﹣b2），（a＞0＞b），又曲线y=1﹣x2在点（x，y）的切线斜率为y′=﹣2x，∴曲线y=1﹣x2在P（a，1﹣a2）处的切线为l1：y=﹣2a（x﹣a）+1﹣a2，即y=﹣2ax+a2+1，曲线y=1﹣x2在Q（b，1﹣b2）处的切线为l2：y=﹣2b（x﹣b）+1﹣b2，即y=﹣2bx+b2+1，直线l1与x轴的交点为点E（，0），直线l2与x轴的交点为点F（，0），直线l1与l2的交点为点G（，1﹣ab），∴所求图形为△EFG，其面积S△EFG=（﹣）?，化简得：S△EFG=（a﹣b）（2﹣ab﹣），令f（a，b）=S△EFG=（a﹣b）（2﹣ab﹣），假设b=b0＜0时，f（a，b）才能取得最小值，则令f（a）=（a﹣b0）（2﹣ab0﹣），则f′（a）=﹣2+2ab0﹣+，令f′（a0）=0，得：﹣2+2a0b0﹣+，得f（a）min=f（a0）=（a0﹣b0）（2﹣a0b0﹣），即a=a0，b=b0时，f（a，b）取得最小值f（a，b）min=f（a0，b0）=（a0﹣b0）（2﹣a0b0﹣），即a=a0＞0时，f（a，b）才能取得最小值，则令f（b）=（a0﹣b）（2﹣a0b﹣），则f′（b）=﹣2+2a0b﹣a02+，令f′（b0）=0，得：﹣2+2a0b0﹣a02+，得f（a）min=f（a0）=（a0﹣b0）（2﹣a0b0﹣），∴﹣2+2a0b0﹣b02+，﹣2+2a0b0﹣a02+=0，（a0＞0＞b0），解得a0=，b0=﹣，f（a，b）min=f（a0，b0）=，∴所求面积最小值为（S△EFG）min=．12.过抛物线的焦点F作直线l交抛物线C于A、B两点，若A到抛物线的准线的距离为4，则

.参考答案：试题分析：∵，∴抛物线的准线为，，又到抛物线准线的距离为4，∴，∴，∵，∴，∴.考点：1.直线与抛物线的位置关系；2.抛物线的定义及性质.13.设x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为________．参考答案：514.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则的值为

.参考答案：

15.已知为虚数单位），则=

．参考答案：616..已知函数，则曲线在点(2，f（2）)处的切线方程为____．参考答案：【分析】求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线方程．【详解】函数f（x）＝x的导数为f′（x）＝1，可得曲线在x＝2处切线的斜率为k＝1，又f（2）＝2，可得曲线在x＝2处切线方程为y（x﹣2），化为yx﹣3．故答案为：yx﹣3．【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查直线方程的运用，属于基础题．17.对于函数f（x）=x|x|+px+q，现给出四个命题：①q=0时，f（x）为奇函数②y=f（x）的图象关于（0，q）对称③p=0，q＞0时，方程f（x）=0有且只有一个实数根④方程f（x）=0至多有两个实数根其中正确命题的序号为．参考答案：①②③【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①若f（x）为奇函数，则f（0）=q=0，反之若q=0，f（x）=x|x|+px为奇函数；②y=x|x|+px为奇函数，图象关于（0，0）对称，再利用图象变换可得结论；③当p=0，q＞0时，x＞0时，方程f（x）=0的无解，x＜0时，f（x）=0的解为x=；④q=0，p=1时，方程f（x）=0的解为x=0或x=1或x=﹣1，即方程f（x）=0有3个实数根．【解答】解：①若f（x）为奇函数，则f（0）=q=0，反之若q=0，f（x）=x|x|+px为奇函数，所以①正确．②y=x|x|+px为奇函数，图象关于（0，0）对称，把y=x|x|+px图象上下平移可得f（x）=x|x|+px+q图象，即得f（x）的图象关于点（0，q）对称，所以②正确．③当p=0，q＞0时，x＞0时，方程f（x）=0的无解，x＜0时，f（x）=0的解为x=﹣（舍去正根），故③正确．④q=0，p=﹣1时，方程f（x）=0的解为x=0或x=1或x=﹣1，即方程f（x）=0有3个实数根，故④不正确．故答案为：①②③【点评】本题考查命题的真假判断和应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分14分）高考资源网w。w-w*k&s%5￥u已知函数，（为自然对数的底）(Ⅰ)求的单调区间；（II）若对任意给定的，在区间上总存在两个不同的，使得成立，求的取值范围.高考资源网w。参考答案：解(Ⅰ)∵，

………………1分∴⑴当即时恒成立.

………3分⑵当即时，由，得；由，得.

………………

……5分因此：当时函数的单调减区间是；当时，函数的单调减区间是，单调增区间是

……6分（II）∵，∴在上单调递增，在上单调递减，又因为，，，∴在上的值域为.………8分由(Ⅰ)知当时函数在区间上单调递减，不合题意，∴，并且，即

①

高考资源网w。w-w*k&s%5￥u

∵时，故对任意给定的，在区间上总存在两个不同，使得成立，当且仅当满足，

………………12分注意到，故只要，即

②由①②知，所求的得取值范围是

………………14分略19.已知中，角的对边分别为，（1）求角的大小；（2）若，求的面积.参考答案：(1)，由正弦定理可得又（2）由余弦定理可得又的面积为20.已知函数．设时取到最大值．（1）求的最大值及的值；（2）在中，角所对的边分别为，，且，求的值．参考答案：解：（1）依题又，则，故当即时，（2）由（1）知，由即，又，则即，故略21.设正项数列{an}的前n项和Sn，且满足Sn=a+（n∈N*）．（Ⅰ）计算a1，a2，a3的值，猜想{an}的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）设Tn是数列{}的前n项和，证明：Tn＜．参考答案：【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由已知条件利用递推导思想求出a1=1，a2=2，a3=3．由此猜想an=n，再用数学归纳法进行证明．（Ⅱ）证法一：由，利用裂项求和法和放缩法进行证明．证法二：利用用数学归纳法进行证明．【解答】（Ⅰ）解：当n=1时，，解得a1=1，，解得a2=2，，解得a3=3．猜想an=n….3分，证明：（ⅰ）当n=1时，显然成立．（ⅱ）假设当n=k时，ak=k….4分，则当n=k+1时，，结合an＞0，解得ak+1=k+1…..6分，于是对于一切的自然数n∈N*，都有an=n…7分．（Ⅱ）证法一：∵，…10分∴．…14分证法二：用数学归纳法证明：（ⅰ）当n=1时，，，….8分（ⅱ）假设当n=k时，…9分则当n=k+1时，要证：只需证：由于所以…13分于是对于一切的自然数n∈N*，都有….14分【点评】本题考查数列的通项公式的求法和证明，考查不等式的证明