2022年福建省莆田市永泰县第三中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2022年福建省莆田市永泰县第三中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知点P是抛物线上任意一点，，P到y轴的距离为d，则的最大值为（

）A．12

B．11

C．10

D．9参考答案：2.执行完如图的程序框图后，S与i应满足的关系为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B根据题中所给的程序框图，在执行完后，不难算出输出的的值分别是，将两个量分别对各个选项逐一验证，可以发现，故选B.

3.若某程序框图如图所示，则输出的n的值是

(

)A.

3

B.

4

C.

5

D.

6参考答案：【知识点】程序框图，等差数列的前n项和公式.【答案解析】C解析：解：框图首先给循环变量n赋值1，给累加变量p赋值1，

执行n=1+1=2，p=1+（2×2-1）=1+3=4；

判断4＞20不成立，

执行n=2+1=3，p=1+3+（2×3-1）=1+3+5=9；

判断9＞20不成立，

执行n=3+1=4，p=1+3+5+（2×4-1）=1+3+5+7=16；

…

由上可知，程序运行的是求首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，

由，且n∈N*，得n=5．

故选C．【思路点拨】框图首先给循环变量n赋值1，给累加变量p赋值1，然后执行运算n=n+1，p=p+2n-1，然后判断p＞20是否成立，不成立循环执行n=n+1，p=p+2n-1，成立时算法结束，输出n的值．且由框图可知，程序执行的是求等差数列的前n项和问题．当前n项和大于20时，输出n的值．4.已知函数其中若的最小正周期为,且当时,取得最大值,则(

)A.在区间上是增函数

B.在区间上是增函数C.在区间上是减函数

D.在区间上是减函数参考答案：A由，所以，所以函数，当时，函数取得最大值，即，所以，因为，所以，，由，得，函数的增区间为，当时，增区间为，所以在区间上是增函数，选A.5.设集合，，则A∩B=（

）A.{4} B.{2,4} C.{1,2,4} D.{1,3,5}参考答案：C【分析】根据交集的定义直接求解即可.【详解】，，

本题正确结果：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.6.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（） A． B． C． D． 参考答案：考点： 由三视图求面积、体积．专题： 计算题；空间位置关系与距离．分析： 三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为圆锥的．解答： 解：由题意，该几何体为圆锥的，其底面面积为×π×22=π，高为4，则其体积V=×π×4=，故选B．点评： 三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．7.集合，，则A．

B．

C．

D．参考答案：A8.设，集合.若，则满足条件的所有实数的和等于

A．

B．4

C．

D．参考答案：D9.若不重合的四点，满足，，则实数的值为

A.

B.

C.

D.参考答案：B，，，所以m-2=1,所以m=310.首项系数为1的二次函数在处的切线与轴平行，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知等比数列中，，，若数列满足，则数列的前项和

．参考答案：12.若x，y满足约束条件，则的最大值为

．参考答案：313.已知P为等边三角形ABC内一点，且满足+λ+（1+λ）=，若三角形PAC与三角形PAB的面积之比为，则实数λ的值为．参考答案：【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据条件可得出，不妨设AC中点为D，BC中点为E，从而得出，从而得到D，P，E三点共线，进而得出，，．从而得出，，这样便可根据三角形PAC与三角形PAB的面积之比建立关于λ的方程，解出λ即可．【解答】解：=；∴；如图，设AC中点为D，BC中点为E，则，即；∴P，D，E三点共线，且DE∥AB，DE=；据题意，﹣λ＜0，∴λ＞0；∴，；∴，，，；∴，；∴；∴；解得．故答案为：．14.已知x∈R，y∈[0，5]，我们把满足方程x2+8xsin（x+y）π+16=0的解（x，y）组成的集合记为M，则集合M中的元素个数是

．参考答案：5考点：元素与集合关系的判断．专题：综合题；三角函数的求值．分析：由x2+8xsin（x+y）π+16=0，可得[x+4sin（x+y）π]2+16cos2（x+y）π=0，即可得出结论．解答： 解：由题意，∵x2+8xsin（x+y）π+16=0，∴[x+4sin（x+y）π]2+16cos2（x+y）π=0，∴x+4sin（x+y）π=0且cos（x+y）π=0，∴x=4，y=，，；x=﹣4，y=，，∴集合M中的元素个数是5个．故答案为：5．点评：本题考查函数的值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数性质的灵活运用．15.已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点在圆（x﹣1）2+y2=4上，则p=．参考答案：6【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出抛物线的焦点（，0），把它代入圆的方程求出p的值．【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为（，0），代入圆（x﹣1）2+y2=4得（﹣1）2=4，∴p=6，故答案为：6．【点评】本题考查由抛物线的方程求焦点坐标，以及点在圆上的性质．16.如图，等腰所在平面为，，，点，分别为，的中点，点为的中点.平面内经过点的直线将分成两部分，把点所在的部分沿直线翻折，使点到达点（平面）.若点在平面内的射影恰好在翻折前的线段上，则线段的长度的取值范围是

．参考答案：

17.已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥P-ABC的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为______.参考答案：【分析】记三棱锥的外接球的球心为O，半径为R，点P到平面的距离为h，利用三棱锥的体积为求得，利用为球O的直径求得球心O到平面的距离等于，求得正的外接圆半径为，再利用截面圆的性质列方程即可得解。【详解】依题意，记三棱锥P-ABC的外接球的球心为O，半径为R，点P到平面的距离为h，则由得.又为球O的直径，因此球心O到平面ABC的距离等于，又正△ABC的外接圆半径为，因此.所以三棱锥P-ABC的外接球的表面积为.【点睛】本题主要考查了方程思想及锥体体积公式，还考查了转化思想及利用正弦定理求三角形的外接圆半径，考查了截面圆的性质及球的表面积公式，考查计算能力及空间思维能力，属于难题。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知函数的图象过坐标原点O,且在点处的切线的斜率是.（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求在区间上的最大值参考答案：解：（Ⅰ）当时，，则.依题意得：，即.解得.

…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，①当时，.令得.

………7分当变化时，的变化情况如下表：0—0+0—单调递减极小值单调递增极大值单调递减又，，.所以在上的最大值为2.

………………..10分②当时,.

当时,,最大值为0；当时,在上单调递增，所以在最大值为………..13分综上，当时，即时，在区间上的最大值为2；当时，即时，在区间上的最大值为……..14分略19.已知函数，当时，求在区间上的取值范围;当=2时，=，求的值。参考答案：略20.（本小题12分）在中，、、对边分别是a、b、c，且满足（1）求的大小；（2）设，且的最大值是5，求的值.参考答案：【知识点】正弦定理的应用；平面向量的坐标运算．C8

F2【答案解析】（1）

；（2）

解析：（1）∵（2a﹣c）cosB=bcosC，∴（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA∵0＜A＜π，∴sinA≠0．∴cosB=∵0＜B＜π，∴B=．（2）=4ksinA+cos2A=﹣2sin2A+4ksinA+1，A∈（0，）设sinA=t，则t∈（0，1]．则=﹣2t2+4kt+1=﹣2（t﹣k）2+1+2k2，t∈（0，1]∵k＞1，∴t=1时，取最大值．依题意得，﹣2+4k+1=5，∴k=．【思路点拨】（1）先根据正弦定理将边的关系转化为正弦值的关系，再由两角和与差的正弦公式和诱导公式求出cosB的值，最后确定角B的值．（2）先根据向量数量积的运算表示出，再运用余弦函数的二倍角公式将2A化为A的关系，最后令t=sinA，转化为一个一元二次函数求最值的问题．21.（12分）在一次抢险救灾中，某救援队的50名队员被分别分派到四个不同的区域参加救援工作，其分布的情况如下表，从这50名队员中随机抽出2人去完成一项特殊任务．区域ABCD人数2010515（1）求这2人来自同一区域的概率；（2）若这2人来自区域A，D，并记来自区域A队员中的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．参考答案：（1）记“这2人来自同一区域”为事件E，那么P（E）==，所以这2人来自同一区域的概率是．

…（4分）（2）随机变量ξ可能取的值为0，1，2，且P（X=0）==，P（X=1）==P（X=2）==

…（8分）所以ξ的分布列是：X012Pξ的数学期望为Eξ=0×+1×+2×=

…（12分）22.已知关于x的函数（Ⅰ）当时，求函数的极值；（Ⅱ）若函数没有零点，求实数a取值范围.参考答案：解：（Ⅰ），.

………………2分当时，,的情况如下表：

20↘极小值↗所以，当时，函数的极小值为.

……………6分（Ⅱ）.

①当时，的情况如下表：20↘极小值↗

---7分

因为F(1)=1＞0,

…………8