山东省青岛市2023届高三数学二模试卷及答案

…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………高三数学二模试卷一、单选题1.集合，集合，则（

）A.

B.

C.

D.

2.设是虚数单位，若复数满足，则复数对应的点位于复平面的（

）A.

第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限3.设、是空间两个不同平面，、、是空间三条不同直线，下列命题为真命题的是（

）A.

若，，则

B.

若直线与相交，，，则与相交

C.

若，，则

D.

若，，，，，则4.行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等差数列的前项和，若，则（

）A.

B.

45

C.

75

D.

1505.已知，则的大小关系正确的为（

）A.

B.

C.

D.

6.已知直线，曲线，则下列说法正确的是（

）A.

“”是曲线C表示圆的充要条件

B.

当时，直线l与曲线C表示的圆相交所得的弦长为1

C.

“是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件

D.

当时，曲线C与圆有两个公共点7.若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，则函数在上的最大值为（

）A.

2

B.

C.

1

D.

8.定义在上的奇函数的图象连续不断，其导函数为，对任意正实数恒有，若，则不等式的解集是（

）A.

B.

C.

D.

二、多选题9.某鱼业养殖场新进1000尾鱼苗，测量其体长(单位：毫米)，将所得数据分成6组，其分组及频数情况如下表：分组(单位：毫米)频数100100m350150n已知在按以上6个分组做出的频率分布直方图中，分组对应小矩形的高为，则下列说法正确的是（

）A.

B.

鱼苗体长在上的频率为

C.

鱼苗体长的中位数一定落在区间内

D.

从这批鱼苗中有放回地连续抽取50次，每次一条，则所抽取鱼苗体长落在区间上的次数的期望为3010.已知曲线分别为曲线C的左右焦点，则下列说法正确的是（

）A.

若，则曲线C的两条渐近线所成的锐角为

B.

若曲线C的离心率，则

C.

若，则曲线C上不存在点P，使得

D.

若为C上一个动点，则面积的最大值为11.在平面直角坐标系中，为坐标原点，P为轴上的动点，则下列说法正确的是（

）A.

的最小值为2

B.

若，则的面积等于4

C.

若，则的最小值为5

D.

若，且与的夹角，则12.在如图所示的几何体中，底面是边长为4的正方形，均与底面垂直，且，点分别为线段的中点，则下列说法正确的是（

）A.

直线与所在平面相交

B.

三棱锥的外接球的表面积为

C.

点C到平面的距离为

D.

二面角中，平面平面为棱上不同两点，，若，则三、填空题13.某机械厂对一台自动化机床生产的标准零件尺寸进行统计发现，零件尺寸误差近似服从正态分布（误差单位），已知尺寸误差的绝对值在内的零件都是合格零件，若该机床在某一天共生产了5000个零件，则其中合格的零件总数为

.附：随机变量服从正态分布，则，.14.若，则

.15.若二项式的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则该展开式中的常数项是

.16.定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数，的“新驻点”分别为，则的大小关系为

.四、解答题17.如图，直四棱柱的底面是边长为1的正方形，点在上，且（1）证明：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.18.在中，角所对的边分别为（1）若，点D在边AB上，，求的外接圆的面积；（2）若，求面积的最大值.19.一场科普知识竞答比赛由笔试和抢答两部分组成，若笔试和抢答满分均为100分，其中5名选手的成绩如下表所示：选手笔试（x分）8790919295抢答（y分）8689899294对于这5名选手，根据表中的数据，试解答下列两个小题：（1）求y关于x的线性回归方程；（2）现要从笔试成绩在90分或90分以上的选手中选出2名参加一项活动，以表示选中的选手中笔试和抢答成绩的平均分高于90分的人数，求随机变量的分布列及数学期望.附：20.在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的焦点为，抛物线上不同两点同时满足下列三个条件中的两个：①；②；③直线的方程为.（1）请分析说明两点满足的是哪两个条件？并求抛物线的标准方程；（2）若直线与抛物线相切于点与椭圆相交于两点，与直线交于点，以为直径的圆与直线交于两点，求证：直线经过线段的中点.21.已知函数.（1）求的最小值；（2）若存在区间，使在上的值域为，求实数的取值范围.22.若数列满足：对于任意，只有有限个正整数使得成立，则记这样的的个数为.（1）求数列的通项公式；（2）在等比数列中，是函数的极小值点，求的取值范围；（3）求数列的通项公式.

答案解析部分一、单选题1.【答案】D【解析】【解答】，为实数集中去掉除1和2以外的所有正整数的实数组成的集合．，所以．故答案为：D．

【分析】有对数定义域求出集合A，指数函数值域求出集合B，再用集合补集和交集运算即可求得。2.【答案】A【解析】【解答】由题意可得，因此，复数对应的点(1,1)位于复平面的第一象限.故答案为：A.

【分析】先由复数乘除运算化简z，再根据复数几何意义即可求得。3.【答案】D【解析】【解答】对于A选项，若，，则或，A选项错误；对于B选项，若直线与相交，，，则与相交或平行，B选项错误；对于C选项，若，，则与的位置关系不确定，C选项错误；对于D选项，若，，，，由面面垂直的性质可得，，所以，，D选项正确.故答案为：D.

【分析】A由面面平行的性质可判断A错误。

B由线面平行性质可判断B错误。

C由面面垂直性质可判断C错误。

D由面面垂直性质和线面垂直性质可判断D正确。4.【答案】C【解析】【解答】由行列式的定义有，即，所以.故答案为：C.

【分析】由二阶行列式定义可求得a8=5，再由等差数列前n项和即可求得。5.【答案】B【解析】【解答】解：，，∴指数函数在上单调递减，，即，又幂函数在上单调递增，，即，，故答案为：B.

【分析】先由已知推出0

再根据指数函数单调性和幂函数单调性判断大小即可判出。6.【答案】C【解析】【解答】对于A，曲线，曲线要表示圆，则或，所以“”是曲线表示圆的充分不必要条件，A不符合题意；对于B，时，直线，曲线，圆心到直线的距离，所以弦长，B不符合题意；对于C，若直线与圆相切，圆心到直线的距离，所以“是直线与曲线表示的圆相切的充分不必要条件，C符合题意；对于D，当时，曲线，其圆心坐标，，曲线C与圆两圆圆心距离为，故两圆相离，不会有两个公共点，D不符合题意.故答案为：C.

【分析】A由圆一般方程可判出A错误。

B由直线与圆相交性质可求出弦长为2可判断B错误。

C由直线与圆位置关系可判断C正确。

D由圆与圆位置关系可判断D错误。7.【答案】A【解析】【解答】函数的图象向左平移个单位长度后，图象所对应解析式为：，由关于轴对称，则，可得，，又，所以，即，当时，，所以当时，即时，.故答案为：A．

【分析】由正弦型函数图像变换求出，再由正弦函数对称性和最值即可求得。8.【答案】D【解析】【解答】因为是定义在上的奇函数，所以，所以当时，有，所以为奇函数，且对于正实数

有，即，所以，所以在是增函数，又因为为奇函数，所以c，由得，所以，即，解得或，故答案为：D.

【分析】由函数奇偶性推出为奇函数，再结合导数推出为奇函数，再解对数不等式即可求得D正确。二、多选题9.【答案】A,C,D【解析】【解答】因为分组对应小矩形的高为0.01，组距为5，所以分组对应的频率为，，则，A符合题意，鱼苗体长在上的频率为，B不符合题意，因为鱼的总数为，，，所以鱼苗体长的中位数一定落在区间内，C符合题意，由表中数据易知，鱼苗体长落在区间上的概率，设所抽取鱼苗体长落在区间上的次数为X，则X服从二项分布，即，则，D符合题意，故答案为：ACD.

【分析】由频率分布直方图可判出A正确，B错误，C正确，由题意依据二项分布期望可判断D正确。10.【答案】A,B,D【解析】【解答】对于A选项，当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，渐近线方程为，故渐近线的倾斜角分别为，所以曲线C的两条渐近线所成的锐角为，A选项正确；对于B选项，离心率，则曲线C为焦点在轴上的双曲线，，故，所以，所以，B选项正确；对于C选项，若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，此时，设椭圆C的短轴的一个顶点坐标为，则，故为钝角，所以线上存在点，使得，C选项错误；对于D选项，若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，此时，为上一个动点，则面积的最大值为，D选项正确.故答案为：ABD

【分析】A根据双曲线渐近线方程可渐近线的倾斜角分别为，所以曲线C的两条渐近线所成的锐角为，A选项正确。

B根据椭圆离心率和椭圆中a,b,c的关系可求出m=-27，故B正确。

C根据椭圆标准方程可判断C表示焦点在轴上的椭圆，再结合余弦定理即可判断C错误。

D根据椭圆标准方程和椭圆性质可判出P在短轴顶点时

面积的最大，根据三角形面积公式即可求出为

，故D正确。11.【答案】A,C,D【解析】【解答】，当且仅当，即时，等号成立，A符合题意；，，轴，，，B不符合题意；，关于轴的对称点，，，当且仅当共线时等号成立．C符合题意；，则，，，与的夹角，即，所以，，令，则，，易知函数在上是增函数，所以，所以，D符合题意．故答案为：ACD．

【分析】A依据向量摸结合基本不等式可判断A正确。

B由三角形面积公式易判B错误。

C根据两点间距离公式结合三角形三边关系可判出C正确。

D根据向量夹角推出，令，则，利用单调性可推出，故D正确。12.【答案】B,C【解析】【解答】取中点，连接，由题意且，

所以是平行四边形，，又平面，平面，所以平面，又由中位线性质得，平面，平面，所以平面，与是平面内两相交直线，所以平面平面，平面，所以平面，又由与平行且相等，得是平行四边形，所以，而平面，所以平面，A不符合题意；把几何体补成长方体，则三棱锥的外接球就是长方体的外接球，球半径为，表面积为，B符合题意；设到平面距离为，由已知，，，，所以，，由得，，C符合题意．作出二面角，由上面的长方体知是二面角的平面角，易得，作且，连接，则是平行四边形，，，，所以，而，所以是二面角的平面角，，，由，，平面，所以平面，又平面，所以，因为，所以，所以．D不符合题意．故答案为：BC．

【分析】取中点，连接，证出平面平面，易证平面，，得到直线

与

位置关系可判A错误。

B把几何体还原成长方体可求得外接圆半径，求得球的表面积可判出B正确。

C利用等积法求出点C到平面AEF的距离可判C正确。

D作出二面角，证出

是二面角的平面角，在二面角中求出MN长，可判断D错误。三、填空题13.【答案】3413【解析】【解答】由已知条件可得，，，因此，合格的零件总数为.故答案为：3413.

【分析】由正态分布求出，易得合格的零件总数为。14.【答案】【解析】【解答】因为，，所以，因为，所以，所以..故答案为：.

【分析】根据同角三角函数基本关系式求得，由正弦和角公式求出sin,再由余弦倍角公式即可求得。15.【答案】240【解析】【解答】的展开式中所有项的二项式系数之和为，.的展开式的通项公式为，令，可得，的展开式的常数项为.故答案为：240.

【分析】根据二项式系数和可求得n,再由二项式定理通项公式即可求得常数项。16.【答案】【解析】【解答】，，，，由得，在上，是增函数，是减函数，，若，则，所以，，由得，，又，所以，所以．故答案为：

【分析】类比题中定义利用导数求得，，再由单调性推出，进而推得

，同理推得，即可判断

的大小。四、解答题17.【答案】（1）在直四棱柱中，平面因为平面，所以又因为，平面所以平面又因为平面，所以平面平面

（2）由（1）知：平面，所以在中，可求得以A为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，因为，所以，所以平面的一个法向量为因为，所以，设平面的一个法向量为，由得，令得设二面角的平面角为，所以．【解析】【分析】（1）由面面垂直判定即可证得。

（2）以A为坐标原点，分别以

为

轴，建立空间直角坐标系

，由法向量的夹角即可求出二面角。18.【答案】（1）由得：，由正弦定理得，因为，所以，因为，所以，又，所以，，在中，由正弦定理得，所以，因为，所以，在中，，由余弦定理得：设外接圆的半径为，由可得：，所以外接圆的面积

（2）由（1）可知，又，由余弦定理可得：，即，因为，所以，从而（当且仅当时取等号），所以面积，从而面积的最大值为.【解析】【分析】（1）由正弦定理得

，求得

进而求得sinA，再由正弦定理求出AB，再由余弦定理求出CD，由正弦定理求出外接圆半径，易得

外接圆的面积

。

（2）由余弦定理结合基本不等式求得，再由面积公式即可求得

面积

的最大值。19.【答案】（1），，，所以，，故回归直线方程为

（2）随机变量的可能取值为0，1，2,因为笔试成绩在90分或90分以上的选手有共4人，他们笔试和抢答的成绩平均分分别为：，平均分高于90分的有2人，所以,故的分布列为012所以.【解析】【分析】（1）由

得

，

再由线性回归方程得

。

（2）由概率求出随机变量分布列，再用期望公式即可求数学期望

。20.【答案】（1）若同时满足条件①②：由①知过焦点，当时，，而，所以①②不同时成立.若同时满足条件①③：由①知过焦点，显然，直线不可能过焦点，所以①③不同时成立.只能同时满足条件②③：因为，且直线的方程为：，所以，解得，拋物线的标准方程为：.

（2）设，因为抛物线，所以，直线的斜率，设中点为，所以，两式作差得：直线的斜率，因为为直径，所以，从而，直线的斜率，所以，所以共线，所以直线经过线段的中点.【解析】【分析】（1）根据抛物线的性质通过推理可判断①②不同时成立，①③不同时成立，只能同时满足条件②③，再由抛物线标准方程即可求得。

（2）由导数求出直线

的斜率

，设

中点为

，A,B坐标代入椭圆方程所得两式做差求出直线

的斜率，再由斜率公式求出直线

的斜率，得

所以

共线，即可证出。2