江西省萍乡市城厢中学2022年高三数学理下学期期末试卷含解析

江西省萍乡市城厢中学2022年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若时，函数取得最小值，则是（

）A．奇函数且图像关于点对称

B.偶函数且图像关于直线对称C．奇函数且图像关于直线对称

D.偶函数且图像关于点对称参考答案：D2.若A＝{2,3,4}，B＝，则集合B中的元素个数是(

)A．2

B．3

C．4

D．5参考答案：B3.过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们到直线x＝－2的距离之和等于5，则这样的直线

()A．有且仅有一条；

B．有且仅有两条；C．有无穷多条；

D．不存在；参考答案：4.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为x（米），则其腰长x的取值范围是(

) A．[3，5] B．（3，5） C．（2，6] D．[2，6）参考答案：D考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：根据题意，画出图形，结合图形，用腰长表示高h与上底BC的长，从而求出x的取值范围．解答： 解：过点B作EB⊥AD，垂足为E，∵AB=x，∠A=60°，∴BE=h=x，AE=x，如图所示；∴梯形的面积为S梯形ABCD=（AD+BC）?BE=（2BC+2AE）?h=（BC+x）?x=9；∴BC=﹣x＞0，解得x＜6；又h=x≥，∴x≥2；综上，2≤x＜6；∴x的取值范围是[2，6）．故选：D．点评：本题考查了函数的性质与应用的问题，解题时应画出图形，结合图形，求出腰长的取值范围．5.在样本颇率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于它8个长方形的面积和的，且样本容量为140，则中间一组的频数为(

)A．28 B．40 C．56 D．60参考答案：B【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】设中间一组的频数为x，利用中间一个小长方形的面积等于它8个长方形的面积和的，建立方程，即可求x．【解答】解：设中间一组的频数为x，因为中间一个小长方形的面积等于它8个长方形的面积和的，所以其他8组的频数和为，由x+=140，解得x=40．故选B．【点评】本题主要考查频率直方图的应用，比较基础．6.集合M＝{y|y＝lg(x2＋1)，x∈R}，集合N＝{x|4x＞4，x∈R}，则M∩N等于()A．[0，＋∞) B．[0,1)C．(1，＋∞) D．(0,1]参考答案：C略7.运行如右图所示的算法框图，则输出的结果S为A．－1

B．1

C．－2

D．2参考答案：A8.设x、y、z均为负数，且2x=3y=5z，则（）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z参考答案：D【考点】4H：对数的运算性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；4H：作差法；51：函数的性质及应用．【分析】令2x=3y=5z=t，则0＜t＜1，x=，y=，z=，利用作差法能求出结果．【解答】解：∵x、y、z均为负数，且2x=3y=5z，∴令2x=3y=5z=t，则0＜t＜1，x=，y=，z=，∴2x﹣3y=﹣=＞0，∴2x＞3y；同理可得：2x﹣5z＜0，∴2x＜5z，∴3y＜2x＜5z．故选：D．9.在平面直角坐标系xOy中，已知A(),B(0,1)，点C在第一象限内，，且|OC|=2，若，则,的值是(A)

，1

(B)

1，

(C)

，1

(D)1，参考答案：A因为，所以。。则。，即。，即，所以，选A.10.函数f(x)的图像如图所示，下列数值排序正确的是

参考答案：B

【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性．B9B12解析：观察图象可知，该函数在（2，3）上为连续可导的增函数，且增长的越来越慢．所以各点处的导数在（2，3）上处处为正，且导数的值逐渐减小，所以故f′（2）＞f′（3），而f（3）-f（2）=，表示的连接点（2，f（2））与点（3，f（3））割线的斜率，根据导数的几何意义，一定可以在（2，3）之间找到一点，该点处的切线与割线平行，则割线的斜率就是该点处的切线的斜率，即该点处的导数，则必有：0＜f′(3)＜＜f′(2)．故选：B．【思路点拨】观察图象及导数的几何意义得，即函数在（2，3）上增长得越来越慢，所以导数值为正，且绝对值越来越小，故f′（2）＞f′（3），同时根据割线的性质，一定可以在（2，3）之间找到一点其切线的斜率等于割线斜率，即其导数值等于割线的斜率，由此可得结论．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，3）时，；②f（3x）=3f（x）．（i）f（6）=；（ii）若函数F（x）=f（x）﹣a的零点从小到大依次记为x1，x2，…，xn，…，则当a∈（1，3）时，x1+x2+…+x2n﹣1+x2n=．参考答案：3,6（3n﹣1）.【考点】数列的求和；函数的值；函数的零点．【分析】（i）由于f（3x）=3f（x），可得f（6）=3f（2），又当x=2时，f（2）=2﹣1=1，即可得到f（6）．（ii）如图所示，由题意当x∈[0，1）时，不必考虑．利用已知可得：当x∈[3，6]时，由，可得，f（x）∈[0，3]；同理，当x∈（6，9）时，f（x）∈[0，3]；此时f（x）∈[0，3]．分别作出y=f（x），y=a，则F（x）=f（x）﹣a在区间（3，6）和（6，9）上各有一个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2=2×6，依此类推：x3+x4=2×18，…，x2n﹣1+x2n=2×2×3n．利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：当1≤x≤2时，0≤f（x）≤1；当2＜x＜3时，0＜f（x）＜1，可得当x∈[1，3）时，f（x）∈[0，1]．（i）∵f（3x）=3f（x），∴f（6）=3f（2），又当x=2时，f（2）=2﹣1=1，∴f（6）=3×1=3．（ii）当时，则1≤3x＜3，由可知：．同理，当时，0≤f（x）＜1，因此不必要考虑．当x∈[3，6]时，由，可得，f（x）∈[0，3]；同理，当x∈（6，9）时，由，可得，f（x）∈[0，3]；此时f（x）∈[0，3]．作出直线y=a，a∈（1，3）．则F（x）=f（x）﹣a在区间（3，6）和（6，9）上各有一个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2=2×6，依此类推：x3+x4=2×18，…，x2n﹣1+x2n=2×2×3n．∴当a∈（1，3）时，x1+x2+…+x2n﹣1+x2n=4×（3+32+…+3n）==6×（3n﹣1）．12.若，则的最小值为________.参考答案：【知识点】基本不等式E6因为，所以.【思路点拨】可利用1的代换，把所求的式子转化成基本不等式特征，利用基本不等式求最值.13.已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是．参考答案：20【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a9的值．【解答】解：∵{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a1+a22=﹣3，S5=10，∴，解得a1=﹣4，d=3，∴a9=﹣4+8×3=20．故答案为：20．14.已知函数，则不等式<0的解集为

。参考答案：

15.从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）125

124

121

123

127则该样本标准差

（克）（用数字作答）．参考答案：

16.若圆与圆（a>0）的公共弦的长为，则___________。参考答案：1解析：由知的半径为，由图可知解之得17.并排的5个房间，安排给5个工作人员临时休息，假设每个人可以进入任一房间，且进入每个房间是等可能的，问每个房间恰好进入一人的概率是_______A.

B

C.

D.参考答案：A三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图,在斜三棱柱中,侧面⊥底面,侧棱与底面成60°的角,.底面是边长为2的正三角形,其重心为点,是线段上一点,且.(1)求证://侧面;(2)求平面与底面所成锐二面角的余弦值。

参考答案：解法1:(1)延长B1E交BC于点F,∽△FEB,BE=EC1,∴BF=B1C1=BC,从而点F为BC的中点.∵G为△ABC的重心,∴A、G、F三点共线.且,又GE侧面AA1B1B,∴GE//侧面AA1B1B.

…………5分(2)∵侧面AA1B1B⊥底面ABC,侧棱AA1与底面ABC成60°的角,∴∠A1AB=60°,

又AA1=AB=2,取AB的中点O,则AO⊥底面ABC.

以O为原点建立空间直角坐标系O—如图,

则,,,,,.

∵G为△ABC的重心,∴.,∴,∴.

又GE侧面AA1B1B,∴GE//侧面AA1B1B.

…………6分(2)设平面B1GE的法向量为,则由得

可取

又底面ABC的一个法向量为

设平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为,则.

故平面B1GE与底面ABC成锐二面角的余弦值为.

…………12分略19.已知椭圆的焦距为，且C与y轴交于两点．(1)求椭圆C的标准方程及离心率；(2)设P点是椭圆C上的一个动点且在y轴的右侧，直线PA，PB与直线交于M，N两点．若以MN为直径的圆与x轴交于E，F两点，求P点横坐标的取值范围及的最大值．参考答案：（Ⅰ）由题意可得，，所以,，椭圆的标准方程为.

…………………3分（Ⅱ）设，，，所以，直线的方程为，同理得直线的方程为，直线与直线的交点为，直线与直线的交点为，线段的中点，所以圆的方程为.

………8分令，则，因为，所以，因为这个圆与轴相交,所以该方程有两个不同的实数解，则，又0，解得．

………10分

设交点坐标，则，所以该圆被轴截得的弦长最大值为1．

…………12分

解法二:直线的方程为，与椭圆联立得：，，同理设直线的方程为可得，由，可得，所以，，的中点为，所以为直径的圆为.…8分时，，所以，因为为直径的圆与轴交于两点，所以，代入得：，所以，所以在单增，在单减，所以.………10分,当且仅当即取等号，所以的最大值为.………12分20.（本小题满分16分）

设函数（1）当时，求函数的极值；（2）当时，讨论函数的单调性.（3）若对任意及任意，恒有成立，求实数的取值范围.参考答案：（1）函数的定义域为.当时，当时，单调递减；当时，单调递增，无极大值.（2）

当，即时，在定义域上是减函数；当，即时，令得或令得当，即时，令得或令得综上，当时，在上是减函数；当时，在和单调递减，在上单调递增；当时，在和单调递减，在上单调递增；

（3）由（Ⅱ）知，当时，在上单减，是最大值，是最小值.

,而经整理得，由得，所以21.(本题14分)已知椭圆C的对称中心为坐标原点O，焦点在轴上，左右焦点分别为，且=2,点在该椭圆上．（1）求椭圆C的方程；

(2)设椭圆C上的一点在第一象限，且满足,圆的方程为．求点坐标，并判断直线与圆的位置关系；（3）设点为椭圆的左顶点，是否存在不同于点的定点,对于圆上任意一点,都有为常数，若存在，求所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由．

参考答案：解：（1）设椭圆的方程为，由题意可得：椭圆C两焦点坐标分别为，

----------------------1分由点在该椭圆上，.又得，

---------------------------3分故椭圆的方程为.

-----------------------------------4分（2）解法1：设点P的坐标为,则-----------①由得，∴，即-------②

---------------5分由①②联立结合解得：，即点P的坐标为---7分∴直线的方程为∵圆的圆心O到直线的距离∴直线与相切-------------------------------------------9分[解法2：设点P的坐标为∵，

∴＝20又∵

∴∵

∴∴，，即点P的坐标为，下同解法1.](3)设点M的坐标为，则假设存在点，对于上任意一点,都有为常数，则,∴(常数)恒成立-----------------------------11分可得∴∴或（不合舍去）--------13分∴存在满足条件的点B，它的坐标为．-----------------------