广东省高三下学期模拟考试(文)数学试卷-附参考答案与解析

第第页广东省高三下学期模拟考试(文)数学试卷-附参考答案与解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知复数满足，其中为虚数单位，则的实部为（

）A．1 B． C．0 D．2．中国明代商人程大位对文学和数学颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》．这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文为：今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少石米？请你计算甲应该分得（

）A．76石 B．77石 C．78石 D．79石3．（

）A． B． C． D．4．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（

）A． B． C． D．5．2020年双十二这一天，某实体店新进两款棉服，统计如表所示，现用分层随机抽样的方法从新进的商品中抽取6件，再从这6件中任抽2件检测，则抽到的2件均为甲款的概率为（）棉服甲款乙款进货数量2010A． B． C． D．6．在同一平面直角坐标系中函数的图象与的图象关于直线对称，若，则的值是（

）A． B． C． D．7．记为数列的前项和，满足，则（

）A． B． C． D．8．已知F为抛物线的焦点，P为抛物线上任意一点，O为坐标原点，若，则（

）A． B．3 C． D．9．关于的方程有唯一解，则实数的取值范围是（

）A．或B．或或C．或或D．或二、多选题10．下列命题为真命题的有（

）A．过直线l外一点P，存在唯一平面与直线l垂直B．过直线l外一点P，存在唯一平面与直线l平行C．过平面外一点P，存在唯一平面与平面垂直D．过平面外一点P，存在唯一平面与平面平行11．下列函数的最小值为4的是（

）A． B．C． D．12．已知的定义域是，既是奇函数又是减函数．若，，且，则（

）A． B．C． D．三、填空题13．已知集合，，若，则实数的所有可能的取值组成的集合为_________.14．已知函数在点处的切线经过点，则的最小值为___________.15．若，则__________．16．已知是双曲线：（，）的左焦点，A为右顶点，是双曲线上的点，轴，若，则双曲线的两条渐近线的夹角的正弦值为______．四、解答题17．在等差数列中，.(1)求的值；(2)2023是否为数列中的项？若是，则为第几项，若不是，请说明理由.18．如图，四边形为正方形，分别为，的中点，以为折痕把折起.使点到达点的位置，且.(1)证明：平面平面；(2)求与平面所成角的余弦值.19．在中角所对的边分别为，已知.(1)求；(2)求.20．2022年“中国航天日”线上启动仪式在4月24日上午举行，为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了60名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)若该中学参加这次竞赛的共有2000名学生，试估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数；(2)估计参加这次竞赛的学生成绩的80%分位数；(3)若在抽取的60名学生中利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，则从成绩在[70，80），[80，90），[90，100]内的学生中分别抽取了多少人？21．已知椭圆，、两点分别为椭圆的左顶点、下顶点，是椭圆的右焦点，，直线与椭圆相切与（在第一象限），与轴相交于（异于），记为坐标原点，若是等边三角形，且的面积为(1)求椭圆的标准方程；(2)、两点均在直线：，且在第一象限，设直线、分别交椭圆于点，点，若、关于原点对称，求的最小值22．已知定义在上的函数.(1)若，讨论的单调性；(2)若，且当时，则不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案与解析1．C【分析】求出，即得解.【详解】解：所以，的实部为0．故选：C2．C【分析】设出未知数，列出方程组，求出答案.【详解】设甲、乙、丙分得的米数为x+d，x，x-d，则，解得：d=18，，解得：x=60，所以x+d=60+18=78（石）故选：C3．D【分析】根据诱导公式和余弦的和角公式求解即可.【详解】解：故选：D4．A【分析】根据给定条件，证明平面，再确定球心O的位置，求出球半径作答.【详解】在三棱锥中如图，，则，同理而平面，因此平面在等腰中，则，令的外接圆圆心为，则平面，有，取中点D，连接OD，则有，又平面，即从而，四边形为平行四边形，，又因此球O的半径所以球的表面积.故选：A5．B【分析】由题可得抽取的6件新进产品中乙款有2件，甲款有4件，然后利用列举法及古典概型概率公式即得.【详解】根据题意得抽取的6件新进产品中乙款有2件，记为A，B，甲款有4件，记为a，b，c，d从这6件中任意选取2件，所有可能的情况有ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB，共15种其中抽到的2件均为甲款的有ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6种故所求概率.故选：B.6．D【分析】由题得根据即得解.【详解】解：因为函数的图象与的图象关于直线对称所以因为，所以.故选：D7．B【分析】先由与的关系可得是以1为公差的等差数列，进而可得，再利用裂项相消法求和即可【详解】由得，即①当时，则②①-②得，即即所以，且所以是以1为公差的等差数列又所以则，时也符合则则．故选：B．8．C【分析】根据抛物线定义结合，求得点P的坐标，即可求得答案.【详解】由题意F为抛物线的焦点，则,且准线方程为设,由可得,代入得即,故故选：C9．C【分析】将问题转化为曲线与有唯一交点，采用数形结合的方式可确定临界状态，结合圆的切线方程的求解方法可求得临界值，结合图形可得结果.【详解】方程有唯一解等价于曲线与有唯一交点由得：，则其图形为以为圆心，为半径的圆的上半部分；为恒过定点的直线；作出与图象如下图所示由图象可知：当或或或时，则曲线与有唯一交点；当直线与圆相切时，则，解得：即，；又，方程有唯一解时，则实数的取值范围为或或.故选：C.10．AD【分析】对AD，利用反证法推出矛盾判断即可；对BC，举反例判断即可；【详解】对A，假设过直线l外一点P，存在另一平面β与直线l垂直，又垂直于同一直线的两平面平行这与矛盾，所以不存在另一平面β与直线l垂直，所以A正确；对B，如图：，故B错误；对C，如图：，故C错误；假设过平面α外一点P，存在不同于β的平面也与平面α平行，则，这与矛盾所以不存在不同于β的平面也与平面α平行，所以D正确．故选：AD11．CD【分析】A选项，当时不成立；B选项，利用基本不等式，但等号取不到，故错误；CD选项，利用基本不等式可求出最小值为4.【详解】当时，则无最小值，故A错误；当时，则，由基本不等式可得：当且仅当，即时，则等号成立，显然所以等号取不到，故B选项错误；，由基本不等式得：，当且仅当，即时，则等号成立，故C正确；因为，所以，由基本不等式得：，当且仅当即，时，则等号成立，故D正确.故选：CD12．AD【分析】根据定义域为，且其既是奇函数又是减函数，可知，结合即可判断A,C选项，,则，结合其单调性和奇偶性得到，即可判断B,D选项.【详解】的定义域为，且既是奇函数又是减函数则，，，故A正确，C错误,则又是在上单调递减的奇函数,即，故D正确，B错误.故选：AD.13．【分析】由条件可知，则或或，然后再求解的值.【详解】由得，则或或当时，则，当时，则，得或，得所以实数的所有可能的取值组成的集合为.故答案为：14．6【分析】根据导函数几何意义求出切线方程，得到，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】，则切点为，又，切线斜率为切线方程为，又点在切线上，则当且仅当，即时等号成立.故答案为：6.15．【详解】令，则，为的系数，其中展开式中的系数为，展开式中的系数为，则.【点睛】解决二项式定理问题，第一常利用通项公式，求出展开式的某些指定项，第二要熟悉二项式系数及性质，弄清楚二项式系数和项的系数，第三要掌握赋值法求系数和，第四要学会利用换元法转化问题.16．##0.96【分析】由双曲线的定义及性质构建齐次方程求得双曲线离心率，即可求出渐进线的斜率，由两直线的夹角公式及切弦互换即可求两渐进线的夹角的正弦值.【详解】由题可得，设，∵轴，则，代入双曲线方程可得由得，即，解得或（舍）.故渐近线斜率由两直线的夹角公式得两渐进线的夹角满足，故两条渐进线的夹角的正弦值为.故答案为：17．(1)(2)不是，理由见解析【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为d，由，求解；（2）令求解.【详解】（1）解：由题意，设等差数列的首项为，公差为d由，即，解得所以数列的通项公式为.所以.（2）令解得所以2023不是数列中的项.18．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）先证明平面，再由面面垂直的判定定理得结论；（2）作，垂足为H，得平面，以H为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由线面垂直的性质定理得线线垂直，求得图形中的线段长得出点坐标，然后用空间向量法求线面角．【详解】（1）由已知可得，，又，平面所以平面，又平面所以平面平面；（2）作，垂足为H，又平面平面，平面平面平面，所以平面以H为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系不妨设因为，平面，所以平面，平面所以，又，所以，又故.可得则，，则易知平面的一个法向量为所以设与平面所成角为，则∴，即与平面所成角的余弦值为.19．(1)(2)【分析】（1）根据已知条件及余弦定理即可求解；（2）根据（1）的结论及正弦定理，利用大边对大角及同角三角函数的平方关系，结合二倍角的正弦公式即可求解.【详解】（1）因为，且所以所以.（2）由（1）知因为，且所以.因为，所以为锐角所以故.20．(1)600人；(2)85；(3)3人，2人，1人.【分析】（1）根据频率分布直方图可求成绩在[80，100]内的频率，从而可求“航天达人”的人数.（2）根据频率和可确定成绩的80%分位数在[80，90）内，根据公式可求80%分位数；（3）根据成绩在[70，80），[80，90），[90，100]的频率比值可求各自抽取人数.【详解】（1）由频率分布直方图可知成绩在[80，100]内的频率为0.020×10+0.010×10=0.3则估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数约为2000×0.3=600人.（2）由频率分布直方图可知成绩在[40，50）内的频率为0.005×10=0.05成绩在[50，60）内的频率为0.015×10=0.15成绩在[60，70）内的频率为0.020×10=0.2成绩在[70，80）内的频率为0.030×10=0.3成绩在[80，90）内的频率为0.020×10=0.2所以成绩在80分以下的学生所占的比例为70%，成绩在90分以下的学生所占的比例为90%所以成绩的80%分位数一定在[80，90）内，而因此估计参加这次竞赛的学生成绩的80%分位数约为85.（3）因为，，所以从成绩在[70，80），[80，90），[90，100]内的学生中分别抽取了3人，2人，1人.21．(1)(2)6【分析】(1)由可得，再根据△是等边三角形，求出点，代入椭圆方程即可求解；(2)结合(1)可得，设，，写出直线的方程，求出点的坐标，同理求出点，利用两点间距离公式和不等式即可求解.【详解】（1）∵，则∵△是等边三角形，∴，则∵，，则，将代入，∴，解得∴椭圆的标准方程为.（2）因为，设，则直线：，所以因为，，则直线：所以所以设，则∵，当且仅当时取等，∴当且仅当，等号成立，所以，即的最小值为6.22．(1)分类讨论，答案见解析；(2).【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论解和作答.（2）当时，则可得为任意正数，当时，则变形给定不等式，构造函数并利用单调