二元一次不等式组

二元一次不等式组第一页，共三十六页，编辑于2023年，星期六1．二元一次不等式和二元一次不等式组的定义（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序实数对（x,y），所有这样的有序实数对（x,y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。（3）二元一次不等式（组）的解集：第二页，共三十六页，编辑于2023年，星期六（4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标.二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。第三页，共三十六页，编辑于2023年，星期六2.探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形（1）回忆、思考一元一次不等式(组)的解集所表示的图形---数轴上的区间在直角坐标系内,二元一次不等式(组)的解集表示什么图形？（2）探究二元一次不等式x-y<6的解集所表示的图形。如图：在平面直角坐标系内，x-y=6表示一条直线。平面内所有的点被直线分成三类：第一类：在直线x-y=6上的点；第二类：在直线x-y=6左上方的区域内的点；第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点。第四页，共三十六页，编辑于2023年，星期六在平面直角坐标系中，不等式x-y<6表示直线x-y=6左上方的平面区域；如图。

二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图。

直线叫做这两个区域的边界第五页，共三十六页，编辑于2023年，星期六（3）结论：二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）3．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点,把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）第六页，共三十六页，编辑于2023年，星期六例4一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐18t,硝酸盐；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t,现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。解：设x,y分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数于是满足以下条件：在直角坐标系中可表示成如图的平面区域（阴影部分）。第七页，共三十六页，编辑于2023年，星期六1.出示例1要将两种大小不同的钢板截成A，B，C三种规格，每个钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A，B，C三种规格的成品分别15，18，27块，用数学关系式和图形表示上述要求.A规格B规格C规格第一种钢板211第二种钢板123规格类型钢板类型解:设需截第一种钢板x张,第二种钢板y张,得2x+y=15x+3y=27x+2y=18x0y246181282724681015第八页，共三十六页，编辑于2023年，星期六练习：一个家具厂计划生产两种类型的桌子A和B.每类桌子都要经过打磨，着色，上漆三道工序.桌子A需要10min打磨，6min着色，6min上漆；桌子B需要5min打磨，12min着色，9min上漆.如果一个工人每天打磨和上漆分别至多工作450min，着色每天至多工作480min，请你列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出相应的平面区域.打磨着色上漆桌子A1066桌子B5129工序桌子类型第九页，共三十六页，编辑于2023年，星期六例4一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐18t；硝酸盐4t,生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t,现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。解：设x,y分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数于是满足以下条件：4x+y=1018x+15y=66oyx5101234第十页，共三十六页，编辑于2023年，星期六引例：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？解:设甲、乙两种产品分别生产x、y件，又已知条件可得二元一次不等式组：（1）用不等式组表示问题中的限制条件：第十一页，共三十六页，编辑于2023年，星期六（2）画出不等式组所表示的平面区域：如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。（3）提出新问题：进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为z,z=2x+3y

第十二页，共三十六页，编辑于2023年，星期六经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M时，截距的值最大

当x,y满足不等式组（1）并且为非负整数时，z的最大值是多少？上述问题就转化为：

⑴z=2x+3y2x+3y=0M即M(4,2)所以第十三页，共三十六页，编辑于2023年，星期六5x+4y=202x+3y=12线性目标函数Z的最大值为44已知实数x,y满足下列条件:5x+4y≤

202x+3y≤12x≥0y≥0求z=9x+10y的最大值.最优解可行域9x+10y=0想一想(问题):线性约束条件．．．．．．．．．．．．．0123456123456xy代数问题图解法第十四页，共三十六页，编辑于2023年，星期六线性规划的有关概念：

线性规划：在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．可行域：由所有可行解组成的集合叫做可行域；可行解：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解；最优解：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。线性约束条件：不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．第十五页，共三十六页，编辑于2023年，星期六例5

营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？食物/kg碳水化合物/kg蛋白质/kg脂肪/kgA0.1050.070.14B0.1050.140.07将已知数据列表得解:设每天食用xkg食物A,ykg食物B,总成本为z,那么第十六页，共三十六页，编辑于2023年，星期六解:设每天食用xkg食物A,ykg食物B,总成本为z,那么目标函数为z=28x+21y作出二元一次不等式组所表示的可行域,如图:第十七页，共三十六页，编辑于2023年，星期六目标函数为z=28x+21y答:每天食用食物A约143g,食物B约571g,能够满足日常饮食要求,又使花费最低,最低成本为16元.第十八页，共三十六页，编辑于2023年，星期六例1、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t,硝酸盐18；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t，硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t,硝酸盐66t,在此基础上生产这两种混合肥料。若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元。那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？解：设生产甲种肥料x车皮，乙种肥料y车皮，能够产生利润z万元，则4x+y≤1018x+15y≤66x≥0y≥04x+y=1018x+15y=66X+0.5y=0oyx5101234M第十九页，共三十六页，编辑于2023年，星期六4x+y=1018x+15y=66MX+0.5y=0oyx5101234把z=x+0.5y变形为y=-2x+2z,得到斜率为-2,在轴上的截距为2z,随z变化的一族平行直线由图可知,当直线经过可行域上的点M时,截距2z最大,即z最大.答:生产甲,乙两种肥料各2车皮,能够产生最大利润,最大利润为3万元.第二十页，共三十六页，编辑于2023年，星期六用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤:（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解第二十一页，共三十六页，编辑于2023年，星期六1.出示例1要将两种大小不同的钢板截成A，B，C三种规格，每个钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A，B，C三种规格的成品分别15，18，27块，用数学关系式和图形表示上述要求.A规格B规格C规格第一种钢板211第二种钢板123规格类型钢板类型解:设需截第一种钢板x张,第二种钢板y张,得2x+y=15x+3y=27x+2y=18x0y246181282724681015第二十二页，共三十六页，编辑于2023年，星期六例2

要将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：

解：设需截第一种钢板x张，第一种钢板y张，一共使用z张.则

规格类型钢板类型第一种钢板第二种钢板A规格B规格C规格212131作出可行域（如图）目标函数为z=x+y今需要A,B,C三种规格的成品分别为15，18，27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。第二十三页，共三十六页，编辑于2023年，星期六2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y=02x+y≥15,{x+2y≥18,x+3y≥27,x≥0,x∈N*y≥0y∈N*直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解.

答:(略)作出一组平行直线z=x+y，目标函数z=x+yB(3,9)C(4,8)M(18/5,39/5)调整优值法作直线x+y=12当直线经过点M时z=x+y=11.4,但它不是最优整数解，解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8)x0y第二十四页，共三十六页，编辑于2023年，星期六2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y=0经过可行域内的整点B(3,9)和C(4,8)且和原点距离最近的直线是x+y=12，它们是最优解.答:(略)作出一组平行直线z=x+y，目标函数z=x+yB(3,9)C(4,8)M(18/5,39/5)打网格线法在可行域内打出网格线，当直线经过点M时z=x+y=11.4,但它不是最优整数解，将直线x+y=11.4继续向上平移，x0y第二十五页，共三十六页，编辑于2023年，星期六转化转化转化四个步骤：1。画（画可行域）三个转化4。答（求出点的坐标，并转化为最优解）3。移（平移直线L。寻找使纵截距取得最值时的点）2。作（作z=Ax+By=0时的直线L。）图解法想一想(结论):线性约束条件可行域线性目标函数Z=Ax+By一组平行线最优解寻找平行线组的

最大（小）纵截距第二十六页，共三十六页，编辑于2023年，星期六如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。§3.4基本不等式

第二十七页，共三十六页，编辑于2023年，星期六将图中的“风车”抽象成如图:

由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有第二十八页，共三十六页，编辑于2023年，星期六一般的，如果

特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b,可得

一般的，如果

(证明)第二十九页，共三十六页，编辑于2023年，星期六(1)从不等式的性质推导基本不等式

(2)在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点,AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？在数学中，我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.第三十页，共三十六页，编辑于2023年，星期六例1已知x、y都是正数，求证：(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.(1)(3)已知a、b、c都是正数，求证

(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥８abc第三十一页，共三十六页，编辑于2023年，星期六例1（1）用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？解：（1）设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m。

由可得

等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.

因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.第三十二页，共三十六页，编辑于2023年，星期六（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?解：设矩形菜园的长为xm.,宽为ym,则2(x+y)=36,x+y=18,矩形菜园