梯度与方向导数

§8．7方向导数与梯度一、方向导数二、梯度方向导数与偏导数的关系、三元函数的方向导数梯度与方向导数、梯度的模、方向导数的最大值等高线、梯度与等高线的关系三元函数的梯度、等量面数量场与向量场、势与势场2021/5/91一、方向导数

设函数zf(x，y)在点P(x，y)的某一邻域U(P)内有定义．自点P引射线l

．设x轴正向到射线l的转角为j

，并设P

(xx，yy)为l

上的另一点且P

U(P)．若此极限存在，则称此极限为函数

f(x，y)在点P

沿方向l

的方向导数，记作，即其中r．OxyPljPxy考虑，，r2021/5/92

定理如果函数zf(x，y)在点P(x，y)是可微分的，那么函数在该点沿任一方向l

的方向导数都存在，且有方向导数与偏导数的关系：=cosj+sinj，其中j为x

轴到方向l

的转角．

简要证明：f(xx，yy)f(x，y)2021/5/93

定理如果函数zf(x，y)在点P(x，y)是可微分的，那么函数在该点沿任一方向l

的方向导数都存在，且有方向导数与偏导数的关系：=cosj+sinj，其中j为x

轴到方向l

的转角．

简要证明：f(xx，yy)f(x，y)2021/5/94讨论函数zf(x，y)在点P

沿x

轴正向和负向，沿y轴正向和负向的方向导数如何?讨论：

根据公式=cosj+sinj提示：沿x

轴正向时，cosj=1，sinj=0，

沿x

轴负向时，cosj=-1，sinj=0，；=cosj+sinj．=cosj+sinj，2021/5/95

例1

求函数zx

e2y在点P(1，0)沿从点P(1，0)到点Q(2，1)的方向的方向导数．因此x轴到方向因为l

的转角为j．

e2y，2x

e2y．故所求方向导数为在点(1，0)处，1，2．1·cos()2·sin()．xyO-112PQ2021/5/96x轴到射线l

的转角为j

，x

轴到的转角为q

，讨论：jq和j

q

时的方向导数．

解因为sinq．cosq，所以cosqcosj

sinqsinj

cos(qj)．Oxylj2021/5/97其中r，xrcosa

，yrcosb

，

对于三元函数uf(x，y，z)，定义它在空间一点P(x，y，z)着方向(设方向的方向角为a

、b

、g)的方向导数如下，zrcosg

．

如果函数在所考虑的点处可微分，有=cosa

sinb

cosg

．三元函数的方向导数：2021/5/98二、梯度

设函数zf(x，y)在平面区域D

内具有一阶连续偏导数，则对于任一点P(x，y)D

及任一方向l

，有称为函数f(x，y)在点P

的梯度，记作gradf(x，y)，即gradf(x，y)

=cosj+sinj{，}·{cosj

，sinj}，其中向量2021/5/99梯度与方向导数：=cosj

sinj{，}·{cosj

，sinj}2021/5/910

函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值．讨论：已知方向导数为的最大值是什么？结论：梯度的模：|gradf(x，y)|．=cosj

sinj2021/5/911

曲面z

f(x，y)上的曲线等高线：在xOy面上的投影曲线f(x，y)c称为函数zf(x，y)的等高线．2021/5/912梯度与等高线的关系：

等高线f(x，y)c上任一点P(x，y)处的法线的斜率为yxOgradf(x，y)fyfxgradf(x,y)法线的方向向量是什么？PyxOf(x，y)cf(x，y)c1(c1>c)2021/5/913

函数zf(x，y)在点P(x，y)的梯度的方向与过点P的等高线

f(x，y)c在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数．这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向．梯度与等高线的关系：

等高线f(x，y)c上任一点P(x，y)处的法线的斜率为2021/5/914三元函数的梯度：设函数uf(x，y，z)在空间区域G

内具有一阶连续偏导数，对于每一点P(x，y，z)G

，函数uf(x，y，z)在该点的梯度gradf(x，y，z)定义为：结论：三元函数的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值．2021/5/915等量面：曲面

f(x，y，z)c为函数uf(x，y，z)的等量面．函数uf(x，y，z)在点P(x，y，z)的梯度的方向与过点P

的等量面f(x，y，z)c在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数．2021/5/916例3

求grad．

解这里f(x，y)．因为，，所以grad．

例4

设f(x，y，z)x2y2z2

，求gradf(1，1，2)．

解gradf

{fx，fy，fz

}{2x，2y，2z}，于是gradf(1，1，2){2，2，4}．2021/5/917

如果与点M相对应的是一个向量(M)，则称在这空间区域G

如果对于空间区域G内的任一点M，都有一个确定的数量

f(M)，则称在这空间区域G内确定了一个数量场(例如温度场、密度场等)．一个数量场可用一个数量函数f(M)来确定．数量场与向量场：内确定了一个向量场(例如力场、速度场等)．一个向量场可用一个向量函数(M)来确定，而其中P(M