2023年北京市昌平区高三二模理科数学

昌平区2023-2023学年第二学期高三年级期第二次质量抽测

数学试卷（理科）

（总分值150分，考试时间120分钟）2023.4

考生须知：

1.本试卷共6页，分第一卷选择题和第二卷非选择题两局部。

2.答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填

写。

3.答题卡上第I卷（选择题）必须用2B铅笔作答，第II卷（非选择题）必须用黑色字迹

的签字笔作答,作图时可以使用2B铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答,

未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

4.修改时，选择题局部用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。保持答题卡整洁，不

要折叠、折皱、破损。不得在答题卡上做任何标记。

5.考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。

第一卷（选择题共40分）

一、选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项.）

（1）集合A={x|2'>1},8={x|x<l},那么AB=

A.{x|x>l}B.{x|%>0}C.{x10<x<1}D.{x|x<1}

（2）命题p:VxeR,xN2,那么以下结论正确的是

A.命题—7?:VxeR,XW2B.命题一1〃：玉eR,x<2

C.命题-1p:VxwR,x^-2D.命题x<-2

x-3+1

（3）圆/+（丁一2）2=1的圆心到直线/"'（f为参数）的距离为

）=-2—

A.-----B.1C.D.2^/2

2

x+y>0,o

（4）设（,与抛物线丁=-41的准线围成的三角形区域（包含边界）为Q,P（x,y）

x-y>0

为。内的一个动点，那么目标函数z=x—2y的最大值为

A.-1B.0C.21）.3

⑸在区间［0,可上随机取一个数xx>-"发生

2

的概率为

A.-B.-C.-D.-

3234

（6）四棱锥P-A8CO的三视图如下图，侧视图

俯视图

那么此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是

A.3

B.2石

C.6

D.8

(7)如图，在边长为2的菱形ABCD

中，ZBAD=60,E为CD的中点，

那么的值为

A.1B.V3C.亚D.不

(8)设等比数列｛%｝的公比为q,其前〃项的积为9，并且满足条件q>l,

。99即)0—1>0，&^<0.给出以下结论：

"100-1

①0<q<l；(g)-aiOt-1>0；

③丁网的值是中最大的；④使《〉1成立的最大自然数〃等于198.

其中正确的结论是

A.①③B.①④C.②③D.②④

第二卷(非选择题共110分)

填空题(本大题共6小题，每题5分，共30分)

(9)二项式(2x+」)5的展开式中1的系数为

X

2

(10)双曲线V一如"Mis〉。)的一条渐近线方程为

y=那么b=.

(11)如图，A8切圆。于点A,AC为圆。的直径,

8C交圆。于点。，E为C。的中点，且

BD=5,AC=6,那么CO=:

A£=.

(12)执行如下图的程序框图，

假设①是i<6时，输出的S值为；

假设①是i<2013时，输出的5值为.

图1

4

1+-,U>4)

(13)函数/(x)=,x

log2x,(0<x<4)

假设关于X的方程/(x)=左有两个不同的实根，那么实数％的取值范围是.

(14)曲线c是平面内到直线4：X=-1和直线4：y=i的距离之积等于常数

合仅>0)的点的轨迹.给出以下四个结论：

①曲线C过点(—1,1)；

②曲线C关于点对称；

③假设点P在曲线C上，点分别在直线上，那么网|+归却不小于2k

④设玲为曲线C上任意一点，那么点庶关于直线》=-1、点及直线y=l

对称的点分别为《、2、4，那么四边形《66A的面积为定值4k2.

其中，所有正确结论的序号是.

三、解答题(本大题共6小题，共80分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

(15)(本小题总分值13分)

函数/(x)=sin(^--2x)+2>j3cos2X,XGR.

TT

(I)求/%);

o

(ID求f(x)的最小正周期及单调递增区间.

(16)(本小题总分值14分)

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCO是边长为2的正方形，

侧面底面ABC。，且24=尸。=立4。，

2

P

E、R分别为PC、BO的中点.

(I)求证：EF〃平面P4O；/於匚二£2^^=^.

(II)求证：面Q46_L平面POC；//尸二7

(in)在线段AB上是否存在点G,使得.1/

二面角C-PD—G的余弦值为工？说明理由.

3

(17)(本小题总分值13分)

某市为了提升市民素质和城市文明程度，促进经济开展有大的提速，对市民进行了“生活满

意"度的调查.现随机抽取40位市民，对他们的生活满意指数进行统计分析，得到如下分

布表：

满意级别非常满意满意一般不满意

满意指数(分)9060300

人数(个)151762

(I)求这40位市民满意指数的平均值；

(II)以这40人为样本的满意指数来估计全市市民的总体满意指数，假设从全市市民(人

数很多)中任选3人，记&表示抽到满意级别为“非常满意或满意”的市民人数.求J的分

布列；

(III)从这40位市民中，先随机选一个人，记他的满意指数为加，然后再随机选另一个

人，记他的满意指数为"，求〃2m+60的概率.

(18)(本小题总分值13分)

函数f(x)=^x2-a\nx(a>0).

(I)假设a=2,求/(幻在(1"⑴)处的切线方程；

(II)求/(处在区间［l,e］上的最小值；

(III)假设/(x)在区间(l,e)上恰有两个零点，求a的取值范围.

(19)(本小题总分值13分)

V22

如图，椭圆=+4v=1(。>〃>0)的长轴为AB,过点8的直线/与x轴垂直，椭圆的离心

ab

率e:手/为椭圆的左焦点，且|4/忖尔［=1.

(I)求此椭圆的方程；

(II)设P是此椭圆上异于A,8的任意一点，轴，”为垂足，延长HP到点。使

得HP=PQ.连接AQ并延长交直线/于点M,N为MB的中点，判定直线QN与以

为直径的圆。的位置关系.

(20)(本小题总分值14分)

设数列｛4｝对任意〃eN*都有(切+A)(q+。“)+〃=2(%+4+4,)(其中4、b、

〃是常数).

⑴当左=0,b-3,p=-4时，求4+。2+%++%；

(II)当攵=1,b=0,p=0时，假设/=3,为=15,求数列｛&｝的通项公式；

am假设数列｛4｝中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项，那么称该数列是“封

闭数列”.当％=1,。=0,p=o时，设s,是数列｛4｝的前w项和，g―q=2,

试问：是否存在这样的“封闭数列”{4},使得对任意“wN*,都有S“wO,

且.假设存在，求数列{q}的首项外的所有

12S]S,SySa18

取值；假设不存在，说明理由.

昌平区2023-2023学年第二学期高三年级期第二次质量抽测

数学试卷参考答案〔理科〕

一、选择题(本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项.)

题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)⑻

答案CBADCCAB

二、填空题〔本大题共6小题，每题5分，共30分.)

(9)80(10)6

(11)4；2底(12)5；2013

(13)(1,2)(14)②③④

三、解答题(本大题共6小题，共80分.解容许写出文字说明，证明过程或演算

步骤.)

〔15〕(本小题总分值13分)

解：[I)

,//(x)=sin(»-2x)+2百cos?x=sin2x+6cos2x+&=2sin(2x+?)+6..4分

£)=2sin(y+1o+G=2x曰+G=26..6分

(II)f(x)=2sin(2x+|)+6的最小正周期T=半=7...................8分

j

又由2k兀-----<2XH——<2ATT+—=>kjv----<x<k7r^一(％cZ)可得

2321212

S77IT

函数/(x)的单调递增区间为k7r-—,k7T+-^(ZeZ)......13分

〔16〕(本小题总分值14分)

(I)证明：连结ACBD=F,

ABCD为正方形,尸为4c中点，

E为PC中点.

,在△。以中，EF//PA...................2分

且E4u平面口4£>,瓦'«平面。40；.£：///平面24。.................4分

(II)证明：因为平面24。，平面ABCD,平面P4Z)^ABCD=AD

ABCD为正方形,CD.LAD,C£>u平面ABC。

所以CD_L平面P4O.

，CD±PA....................................6分

又PA=PD=^AD

所以是等腰直角三角形,

2

71

且NAPD=2即

2

CDPD=D,且C。、POu面PDC

.•.24，面尸。。

又24<=面~钻，

...面B43J•面POC...............9分

(III)如图，取AD的中点。,连结。尸，取尸.

VPA=PD,：.PO±AD.

•.•侧面底面A8CD

平面曰。c平面ABC。=AD,

POL平面ABCZ),

而O,尸分别为AD,8。的中点，,OFIIAB,

又A8C£>是正方形，故OF±AD.

VPA=PD=—AD,：.PAA.PD,OP=OA=1.

2

以。为原点,直线OA,OF,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

那么有41,0,0),尸(0,1,0),£>(-1,0,0),P(0,0,l).

假设在AB上存在点G,使得二面角C-PO—G的余弦值为I，连结PG,OG

3

设G(l,a,0)(04a42).

由(n)知平面PDC的法向量为PA=(1,0,-1).

设平面PGD的法向量为n=(x,y,z).；DP=(1,0,1),GO=(-2,-^0),

・・・由〃•。2=0,〃・6。=0可得<>，令x=l,那么y=--,z=-l,

-2・1-a・y+0・z=0a

M八2.n-PA221

故〃=(1,—,—1)・・cos<n,PA>=]—r;—r=

T-3'

a,懊2+——

a2

解得，a=~.

2

所以，在线段AB上存在点G(l,’,0),使得二面角C—PD—G的余弦值为

23

.......................14分

(17)(本小题总分值13分)

解：〔I〕记又表示这40位市民满意指数的平均值，那么

一I

X=—(90x15+60x17+30x6+0x2)=63.75(分)..............2分

(II〕:的可能取值为0、1、2、3.

.•冷的分布列为

0123

1124864

P

125125125125

...................8分

(III)设所有满足条件〃2加+60的事件为A

①满足m=0且〃=60的事件数为：&|47=34

!

②满足m=0且〃=90的事件数为：A24=3。

③满足m=30且〃=90的事件数为：父4=90

所以满足条件，吐加+60的事件的概率为，」................13分

780

(18)(本小题总分值13分)

12

解：⑴a=2,f(x)=-x2-2\nx,f\x)=x——,

2x

f(x)在(1,7(I))处的切线方程为2x+2y-3=0..................................3分

(II)由/(x)=x—=--------

XX

由上>0及定义域为(0,+8),令f(x)=0,得x=«.

①假设G<1,即0<。41,在(l,e)上，f\x)>0,/(x)在［l,e］上单调递增,

因此,/(x)在区间［l,e］的最小值为/(I)=；♦

②假设l<G<e,即l<a<e2,在(1,6)上，f\x)<0,/(x)单调递减；在(G,e)

上，/(x)>0,/(%)单调递增，因此/(%)在区间［l,e］上的最小值为

=—a(l-lna).

③假设G2e,即。次2,在(l,e)上，f\x)<0,f(x)在［e］上单调递减,

1,

因此,/(x)在区间［l,e］上的最小值为/(e)=-e2-«.

综上,当。时，£加0)=；；当Ivave?时，7mhi(x)=；a(l-lna)；

当aNe?时，.7min(x)=ge2-a...........................9分

(III)由(II)可知当0<a〈l或aNe?时，/(x)在(l,e)上是单调递增或递减函数，不

可能存在两个零点.

当l<a<e2时，要使/(x)在区间(l,e)上恰有两个零点，那么

—4z(l-lnd;)<0,

2

AJ/(l)=i>0,即112,此时，e<tz<-e.

2ci<—e~2

1I2

/(e)=-e2-a>0,

所以，a的取值范围为(e-e2)...........................................13分

2

(19)(本小题总分值13分)

解：(I)由题意可知，A(—a,0),B(a,0)F(-c,0),

x/J2c2cr-tr-13

又e=—，e=—=------=——=一解得"=4

2矿aa4

V*

所求椭圆方程为....................5分

(II)设尸(如先)，那么。(玉),2%)(/HZ,不工一2)

由4一2,0),得kAQ=—

所以直线A。方程y=3-(x+2)

'"%+2

由B(-2,0),得直线I的方程为x=2,

_x0+22%%

由kNQ

2-％的2-4

又点P的坐标满足椭圆方程得到：/2+4%2=4,

所以/2_4=-4靖

二直线NQ的方程：y-2y0=---(x-x0)

2%

22

化简整理得到：x0x+2yy0=x0+4j0=4即/8+2%=4

4

所以点0到直线NQ的距离d=1=2=圆弼半径

2

7v+4y0

直线NQ与4?为直径的圆。相切..............................13分

(20)(本小题总分值14分)

解：(I)当k=0,b=3,〃=一4时，

3(q+。“)-4=2(%+4+«„)»①

用〃+1去代"得，3(6+。“+])—4=2(q+%+。"+%+1)，②

②一①得，3(an+1-«„)=2an+l,an+x=3an,...........................................2分

在①中令九=1得，q=1,那么a,产0,.,.—^=3,

二数列仅“｝是以首项为1,公比为3的等比数列，

.3"-1

・•q+%+%++a“=———...........................................................

③

III)当Z=l,b-Q,p=0时，n(at+a”)=2(a(+a2+a”)，

④

用〃+l去代〃得，(〃+1)©+a“+|)=2(q+%+«„+a„+1),

④一③得，(n-l)an+l-nan+q=0,⑤.

用〃+1去代”得，”。"+2一(〃+