2021年湖南省株洲市高枧中学高二数学理模拟试卷含解析

2021年湖南省株洲市高枧中学高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）=f（x﹣2），f（4）=1，则不等式f（x）＜ex的解集为（）A．（0，+∞） B．（1，+∞） C．（4，+∞） D．（﹣2，+∞）参考答案：A【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】可设函数g（x）=，求出导数，判断g（x）的单调性，由f（x+2）=f（x﹣2），f（4）=1，可得f（0），g（0），原不等式转化为g（x）＜g（0），由单调性，即可得到所求解集．【解答】解：可设函数g（x）=，g′（x）=，由f′（x）＜f（x），可得g′（x）＜0，即有g（x）在R上递减，f（x+2）=f（x﹣2），f（4）=1，可得f（0）=f（4）=1，g（0）==1，由f（x）＜ex即为＜1，可得g（x）＜g（0），由g（x）在R上递减，可得x＞0．则所求不等式的解集为（0，+∞）．故选：A．2.已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）A．[0，） B． C． D．参考答案：D【考点】导数的几何意义．【分析】利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率，再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围．【解答】解：因为y′===，∵，∴ex+e﹣x+2≥4，∴y′∈[﹣1，0）即tanα∈[﹣1，0），∵0≤α＜π∴≤α＜π故选：D．【点评】本题考查导数的几何意义及直线的斜率等于倾斜角的正切值．3.函数的定义域是 （）A． B． C． D．参考答案：D4.关于的不等式的解集为，则复数所对应的点位于复平面内的象限为（

）．

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：B略5.满足f(x)＝f′(x)的函数是（

）A．

f(x)＝1－x

B．

f(x)＝x

C．

f(x)＝0

D．f(x)＝1

参考答案：C略6.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、…这样的数称为“正方形数”．从如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的是（）A．16=3+13 B．25=9+16 C．36=10+26 D．49=21+28参考答案：D【考点】F1：归纳推理．【分析】题目中“三角形数”的规律为1、3、6、10、15、21…“正方形数”的规律为1、4、9、16、25…，根据题目已知条件：从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．可得出最后结果．【解答】解：这些三角形数的规律是1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，且正方形数是这串数中相邻两数之和，很容易看到：恰有21+28=49．故选D．7.法国数学家费马观察到，，，都是质数，于是他提出猜想：任何形如N*）的数都是质数，这就是著名的费马猜想.半个世纪之后，善于发现的欧拉发现第5个费马数不是质数，从而推翻了费马猜想，这一案例说明

（

）

A．归纳推理，结果一定不正确

B．归纳推理，结果不一定正确

C．类比推理，结果一定不正确

C．类比推理，结果不一定正确参考答案：B略8.已知两点M(-5,0)和N(5,0),若直线上存在点P,使|PM|-|PN|=6,则称该直线为“B型直线”.给出下列直线:①y=x+1；②y=2；③；④y=2x+1,其中为“B型直线”的是(

)A.①③

B.①②

C.③④

D.①④参考答案：B9.设，则（

）A．

B.

C.D.

参考答案：C10.在极坐标系中，已知圆C经过点，圆心为直线与极轴的交点，则圆C的极坐标方程为A. B.C. D.参考答案：A【分析】求出圆C的圆心坐标为（2，0），由圆C经过点得到圆C过极点，由此能求出圆C的极坐标方程．【详解】在中，令，得，所以圆C的圆心坐标为（2，0）.因为圆C经过点，所以圆C的半径，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为.故选：A【点睛】本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在样本的频率分布直方图中，共有个小长方形，这个小长方形的面积由小到大构成等比数列，已知，且样本容量为，则小长方形面积最大的一组的频数为_______．参考答案：160略12.在三棱锥P—ABC中,,,,则两直线PC与AB所成角的大小是______.参考答案：略13.已知椭圆C：，则其长轴长为___▲___；若F为椭圆C的右焦点，B为上顶点，P为椭圆C上位于第一象限内的动点，则四边形OBPF的面积的最大值___▲___.参考答案：

(1).

(2).由题意易得：长轴长为；四边形OBPF的面积为三角形OBF与三角形BFP的面积和，三角形OBF的面积为定值，要使三角形BFP的面积最大，则P到直线BF的距离最大，设与直线BF平行的直线方程为y=﹣x+m，联立，可得3x2﹣4mx+2m2﹣2=0．由△=16m2﹣4×3×（2m2﹣2）=0，解得m=．∵P为C上位于第一象限的动点，∴取m=，此时直线方程为y=﹣x+．则两平行线x+y=1与x+y﹣的距离为d=.．∴三角形BFP的面积最大值为S=．∴四边形OAPF（其中O为坐标原点）的面积的最大值是=．故答案为：．14.若△ABC的内角A、B、C的对边分别是，且，则cosB等于

参考答案：15.已知椭圆上一动点P，与圆上一动点Q，及圆上一动点R,则的最大值为

;参考答案：616.若对|x|≤1的一切x，t+1>(t2－4)x恒成立，则t的取值范围是_______________.参考答案：。解析：①若t2－4>0，即t<－2或t>2，则由>x(|x|≤1)恒成立，得,t+1>t2－4,t2－t－s<0解得，从而－2或2。②若t2－4=0，则t=2符合题意。③若t2－4<0，即－2，则由<x(|x|≤1)恒成立，得，t+1>－t2+4;t2+t－3>0，解得：t<或t>，从而。综上所述，t的取值范围是：17.（3x2+k）dx=10，则k=

．参考答案：1【考点】69：定积分的简单应用．【分析】欲求k的值，只须求出函数3x2+k的定积分值即可，故先利用导数求出3x2+k的原函数，再结合积分定理即可求出用k表示的定积分．最后列出等式即可求得k值．【解答】解：∵∫02（3x2+k）dx=（x3+kx）|02=23+2k．由题意得：23+2k=10，∴k=1．故答案为：1．【点评】本小题主要考查直定积分的简单应用、定积分、利用导数研究原函数等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然常数，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，研究f（x）的单调性与极值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：f（x）＞g（x）+；（Ⅲ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的极小值；（Ⅱ）f（x）在（0，e]上的最小值为1，令h（x）=g（x））+，求导函数，确定函数的单调性与最大值，即可证得结论；（Ⅲ）假设存在实数a，使f（x）的最小值是3，求导函数，分类讨论，确定函数的单调性，利用f（x）的最小值是3，即可求解．【解答】（Ⅰ）解：f（x）=x﹣lnx，f′（x）=…∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减当1＜x＜e时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增

…∴f（x）的极小值为f（1）=1

…（Ⅱ）证明：∵f（x）的极小值为1，即f（x）在（0，e]上的最小值为1，∴f（x）＞0，f（x）min=1…令h（x）=g（x））+=+，，…当0＜x＜e时，h′（x）＞0，h（x）在（0，e]上单调递增

…∴h（x）max=h（e）=＜=1=|f（x）|min

…∴在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+；…（Ⅲ）解：假设存在实数a，使f（x）的最小值是3，f′（x）=①当a≤0时，x∈（0，e]，所以f′（x）＜0，所以f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，∴a=（舍去），所以，此时f（x）无最小值．…②当0＜＜e时，f（x）在（0，）上单调递减，在（，e]上单调递增，f（x）min=f（）=1+lna=3，∴a=e2，满足条件．…③当时，x∈（0，e]，所以f′（x）＜0，所以f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，∴a=（舍去），所以，此时f（x）无最小值．…综上，存在实数a=e2，使f（x）的最小值是3．…19.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为：.（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当到直线l的距离最大时，求.参考答案：（1）；（2）16.【分析】（1）直接利用极坐标和直角坐标互化的公式求曲线的直角坐标方程；（2）设，当到直线的距离最大时，得到，故.再利用直线的参数方程的弦长公式求.【详解】解：（1）曲线：，即：.∴曲线的标准方程为：.（2）设，当到直线的距离最大时，，故.∴的参数方程为（为参数），将直线的参数方程代入得：.∴，∴.【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角方程坐标的互化，考查直线参数方程t的几何意义的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.20.（选修4-4：坐标系与参数方程）已知直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为.（1）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（2）若点是直线l上的动点，过P作直线与圆C相切，切点分别为A、B，若使四边形PACB的面积最小，求此时点P的坐标.参考答案：解：（1）直线的参数方程为（为参数），消去参数得直线的普通方程为.由，两边同乘得，，∴，∴圆的直角坐标方程为.（2）依题意，若使四边