差分方程建模专题讲座

差分方程建模专题讲座第一页，共五十六页，编辑于2023年，星期日差分方程的基本概念1全国赛题选讲3差分方程建模专题讲座用Matlab求解差分方程问题2第二页，共五十六页，编辑于2023年，星期日对于k阶差分方程F(n;xn,xn+1,…,xn+k)=0(1.1)若有xn=x(n),满足F(n;x(n),x(n+1),…,x(n+k))=0,则称xn=x(n)是差分方程(1.1)的解,包含k个任意常数的解称为(1.1)的通解,x0,x1,…,xk-1为已知时称为(1.1)的初始条件,通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为(1.1)的特解.差分方程的基本概念1第三页，共五十六页，编辑于2023年，星期日

若x0,x1,…,xk－1已知，则形如xn+k=g(n;xn,xn+1,…,xn+k-1)的差分方程的解可以在计算机上实现.

若有常数a是差分方程(1.1)的解，即F(n;a,a,…,a)=0,则称a是差分方程(1.1)的平衡点.

又对差分方程(4-6)的任意由初始条件确定的解xn=x(n)都有xn→a(n→∞),则称这个平衡点a是稳定的.差分方程模型第四页，共五十六页，编辑于2023年，星期日

一阶常系数线性差分方程

xn+1+axn=b,

(其中a,b为常数，且a≠-1,0)的通解为xn=C(-

a)n+b/(a+1)

易知b/(a+1)是其平衡点，由上式知，当且仅当|a|＜1时，b/(a+1)是稳定的平衡点.差分方程模型第五页，共五十六页，编辑于2023年，星期日

二阶常系数线性差分方程xn+2+axn+1+bxn=r,其中a,b,r为常数.

当r=0时，它有一特解x*=0；

当r≠0，且a+b+1≠0时，它有一特解x*=r/(a+b+1).

不管是哪种情形，x*是其平衡点.设其特征方程2+a+b=0的两个根分别为

=1,=2.差分方程模型第六页，共五十六页，编辑于2023年，星期日①当1,2是两个不同实根时，二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+C1(1)n+C2(2)n;②当1,2=是两个相同实根时，二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+(C1+C2n)n;

则差分方程模型第七页，共五十六页，编辑于2023年，星期日③当1,2=(cos+isin)是一对共轭复根时，二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+

n(C1cosn+C2sinn

).

易知，当且仅当特征方程的任一特征根|i|＜1时,平衡点x*是稳定的.差分方程模型第八页，共五十六页，编辑于2023年，星期日对于一阶非线性差分方程xn+1=f(xn)其平衡点x*由代数方程x=f(x)解出.

为分析平衡点x*的稳定性,将上述差分方程近似为一阶常系数线性差分方程时,上述近似线性差分方程与原非线性差分方程的稳定性相同.因此当时,

x*是稳定的；当时,x*是不稳定的.当差分方程模型第九页，共五十六页，编辑于2023年，星期日问题供大于求现象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定价格下降减少产量增加产量价格上涨供不应求描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡市场经济中的蛛网模型第十页，共五十六页，编辑于2023年，星期日gx0y0P0fxy0xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格消费者的需求关系生产者的供应关系供应函数需求函数f与g的交点P0(x0,y0)~平衡点一旦xk=x0，则yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0

第十一页，共五十六页，编辑于2023年，星期日设x1偏离x0P0是稳定平衡点P0是不稳定平衡点蛛网模型稳定性分析第十二页，共五十六页，编辑于2023年，星期日xy0fgy0x0P0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P1P2P3P4xy0y0x0P0fg曲线斜率稳定性分析第十三页，共五十六页，编辑于2023年，星期日在P0点附近用直线近似曲线P0稳定P0不稳定方程模型方程模型与蛛网模型的一致稳定性分析第十四页，共五十六页，编辑于2023年，星期日~商品数量减少1单位,价格上涨幅度~价格上涨1单位,(下时段)供应的增量~消费者对需求的敏感程度~生产者对价格的敏感程度小,有利于经济稳定小,有利于经济稳定xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格经济稳定结果解释第十五页，共五十六页，编辑于2023年，星期日1.使尽量小，如=0

以行政手段控制价格不变2.使尽量小，如=0靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0x0gf需求曲线变为水平供应曲线变为竖直结果解释－政府干预第十六页，共五十六页，编辑于2023年，星期日生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。生产者管理水平提高设供应函数为需求函数不变二阶线性常系数差分方程模型的推广第十七页，共五十六页，编辑于2023年，星期日方程通解(c1,c2由初始条件确定)1,2~特征根，即方程的根平衡点稳定的条件:平衡点稳定条件比原来的条件放宽了x0为平衡点研究平衡点稳定，即k,xkx0的条件模型的推广第十八页，共五十六页，编辑于2023年，星期日用Matlab求解差分方程问题2一、一阶线性常系数差分方程二、高阶线性常系数差分方程三、线性常系数差分方程组第十九页，共五十六页，编辑于2023年，星期日一、一阶线性常系数差分方程濒危物种的自然演变和人工孵化问题Florida沙丘鹤属于濒危物种，它在较好自然环境下，年均增长率仅为1.94%，而在中等和较差环境下年均增长率分别为-3.24%和

-3.82%，如果在某自然保护区内开始有100只鹤，建立描述其数量变化规律的模型，并作数值计算。第二十页，共五十六页，编辑于2023年，星期日模型建立记第k年沙丘鹤的数量为xk,年均增长率为r，则第k+1年鹤的数量为

xk+1=(1+r)xk

k=0,1,2······已知x0=100,在较好，中等和较差的自然环境下r=0.0194,-0.0324,和-0.0382我们利用Matlab编程，递推20年后观察沙丘鹤的数量变化情况第二十一页，共五十六页，编辑于2023年，星期日Matlab实现首先建立一个关于变量n,r的函数functionx=sqh(n,r)a=1+r;x=100;fork=1:nx(k+1)=a*x(k);end第二十二页，共五十六页，编辑于2023年，星期日在command窗口里调用sqh函数

k=(0:20);y1=sqh(20,0.0194);y2=sqh(20,-0.0324);y3=sqh(20,-0.0382);round([k',y1',y2',y3'])%一个行向量%也是一个行向量%对变量四舍五入，但是不改变变量的值第二十三页，共五十六页，编辑于2023年，星期日利用plot绘图观察数量变化趋势可以用不同线型和颜色绘图rgbcmykw分别表示红绿兰兰绿洋红黄黑白色：+o*.Xsd表示不同的线型第二十四页，共五十六页，编辑于2023年，星期日

plot(k,y1,k,y2,k,y3)在同一坐标系下画图

plot(k,y1,'r',k,y2,'y',k,y3,'--')gtext('r=0.0194')gtext('r=-0.0324')gtext('r=-0.0382')在图上做标记。第二十五页，共五十六页，编辑于2023年，星期日人工孵化是挽救濒危物种的措施之一，如果每年孵化5只鹤放入保护区，观察在中等自然条件下沙丘鹤的数量如何变化Xk+1=aXk+5,a=1+r如果我们想考察每年孵化多少只比较合适，可以令Xk+1=aXk+b,a=1+r第二十六页，共五十六页，编辑于2023年，星期日观察200年的发展趋势，以及在较差条件下的发展趋势可以考察每年孵化数量变化的影响。第二十七页，共五十六页，编辑于2023年，星期日functionx=fhsqh(n,r,b)a=1+r;x=100;Fork=1:nx(k+1)=a*x(k)+b;end第二十八页，共五十六页，编辑于2023年，星期日k=(0:200);n=200;r=-0.0324b=5y=fhsqh(n,r,b)plot(k,y)第二十九页，共五十六页，编辑于2023年，星期日一阶线性常系数差分方程的解、平衡点及其稳定性

自然环境下,b=0人工孵化条件下令xk=xk+1=x得差分方程的平衡点k→∞时，xk→x,称平衡点是稳定的第三十页，共五十六页，编辑于2023年，星期日高阶线性常系数差分方程

如果第k+1时段变量xk+1不仅取决于第k时段变量xk，而且与以前时段变量有关，就要用高阶差分方程来描述第三十一页，共五十六页，编辑于2023年，星期日一年生植物的繁殖一年生植物春季发芽，夏天开花，秋季产种，没有腐烂，风干，被人为掠取的那些种子可以活过冬天，其中一部分能在第2年春季发芽，然后开花，产种，其中的另一部分虽未能发芽，但如又能活过一个冬天，则其中一部分可在第三年春季发芽，然后开花，产种，如此继续，一年生植物只能活1年，而近似的认为，种子最多可以活过两个冬天，试建立数学模型研究这种植物数量变化的规律，及它能一直繁殖下去的条件。第三十二页，共五十六页，编辑于2023年，星期日模型及其求解记一棵植物春季产种的平均数为c,种子能活过一个冬天的(1岁种子)比例为b,活过一个冬天没有发芽又活过一个冬天的（2岁种子）比例仍为b,1岁种子发芽率a1，2岁种子发芽率a2。设c,a1,a2固定，b是变量，考察能一直繁殖的条件记第k年植物数量为xk，显然xk与xk-1,xk-2有关，由

xk-1决定的部分是xk-1Cba1,由xk-2决定的部分是xk-2cb(1-a1)ba2

xk=a1bcxk-1+a2b(1-a1)bcxk-2

第三十三页，共五十六页，编辑于2023年，星期日实际上，就是xk=pxk-1+qxk-2

,我们需要知道x0,a1,a2,c,考察b不同时，种子繁殖的情况。在这里假设x0=100,a1=0.5,a2=0.25,c=10,b=0.18---0.2这样可以用matlab计算了xk=a1bcxk-1+a2b(1-a1)bcxk-2

第三十四页，共五十六页，编辑于2023年，星期日functionx=zwfz(x0,n,b)c=10;a1=0.5;a2=0.25;p=a1*b*c;q=a2*b*(1-a1)*b*c;X(1)=x0;X(2)=p*(x1);fork=3:nx(k)=p*x(k-1)+q*x(k-2);endxk=a1bcxk-1+a2b(1-a1)bcxk-2

第三十五页，共五十六页，编辑于2023年，星期日k=(0:20)’;y1=zwfz(100,21,0.18);y2=zwfz(100,21,0.19);y3=zwfz(100,21,0,20);pound([k,y1’,y2’,y3’])plot(k,y1,k,y2,’:’,k,y3,’o’),gtext(‘b=0.18’),gtext(‘b=0.19’),gtext(‘b=0.20’)第三十六页，共五十六页，编辑于2023年，星期日结果分析：xk=pxk-1+qxk-2

(1)

x1=px0(2)

对高阶差分方程可以寻求形如xk=λk

的解。代入(1)式得λ2-pλ-q=0

称为差分方程的特征方程。差分方程的特征根：方程(1)的解可以表为c1,c2

由初始条件x0,x1确定。第三十七页，共五十六页，编辑于2023年，星期日本例中，用待定系数的方法可以求出b=0.18时,c1=95.64,c2=4.36，这样实际上，植物能一直繁殖下去的条件是b>0.191第三十八页，共五十六页，编辑于2023年，星期日线性常系数差分方程组汽车租赁公司的运营一家汽车租赁公司在3个相邻的城市运营，为方便顾客起见公司承诺，在一个城市租赁的汽车可以在任意一个城市归还。根据经验估计和市场调查，一个租赁期内在A市租赁的汽车在A,B,C市归还的比例分别为0.6,0.3,0.1;在B市租赁的汽车归还比例0.2,0.7,0.1;C市租赁的归还比例分别为0.1,0.3,0.6。若公司开业时将600辆汽车平均分配到3个城市，建立运营过程中汽车数量在3个城市间转移的模型，并讨论时间充分长以后的变化趋势。第三十九页，共五十六页，编辑于2023年，星期日0.60.3ABCABCABC假设在每个租赁期开始能把汽车都租出去，并都在租赁期末归还0.10.70.20.10.60.30.1第四十页，共五十六页，编辑于2023年，星期日模型及其求解记第k个租赁期末公司在ABC市的汽车数量分别为x1(k),x2(k),x3(k)(也是第k+1个租赁期开始各个城市租出去的汽车数量），很容易写出第k+1个租赁期末公司在ABC市的汽车数量为(k=0,1,2,3···)第四十一页，共五十六页，编辑于2023年，星期日用矩阵表示用matlab编程，计算x(k),观察n年以后的3个城市的汽车数量变化情况第四十二页，共五十六页，编辑于2023年，星期日functionx=czqc(n)A=[0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6];x(:,1)=[200,200,200]';fork=1:nx(:,k+1)=A*x(:,k);end如果直接看10年或者20年发展趋势，可以直接在命令窗口（commondwindow）作，而不是必须编一个函数第四十三页，共五十六页，编辑于2023年，星期日A=[0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6];n=10;fork=1:nx(:,1)=[200,200,200]';x(:,k+1)=A*x(:,k);endround(x)第四十四页，共五十六页，编辑于2023年，星期日作图观察数量变化趋势

k=0:10;plot(k,x)，gridgtext('x1(k)'),gtext('x2(k)'),gtext('x3(k)')第四十五页，共五十六页，编辑于2023年，星期日可以看到时间充分长以后3个城市汽车数量趋于180，300，120可以考察这个结果与初始条件是否有关若最开始600辆汽车都在A市，可以看到变化时间充分长以后，各城市汽车数量趋于稳定，与初始值无关第四十六页，共五十六页，编辑于2023年，星期日直接输入x（:,1）的值即可x(:,1)=[600,0,0];round(x');plot(k,x)grid第四十七页，共五十六页，编辑于2023年，星期日商品销售量预测

在利用差分方程建模研究实际问题时，常常需要根据统计数据并用最小二乘法来拟合出差分方程的系数.其系统稳定性讨论要用到代数方程的求根.对问题的进一步研究又常需考虑到随机因素的影响，从而用到相应的概率统计知识.第四十八页，共五十六页，编辑于2023年，星期日

某商品前5年的销售量见表.现希望根据前5年的统计数据预测第6年起该商品在各季度中的销售量.第四十九页，共五十六页，编辑于2023年，星期日

从表中可以看出，该商品在前5年相同季节里的销售量呈增长趋势