安徽省合肥市凯越中学2022-2023学年高三数学文期末试卷含解析

安徽省合肥市凯越中学2022-2023学年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.复数,则（

）.（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D2.设，则

A、

B、

C、

D、参考答案：B3.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A．2 B． C． D．2参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=4，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得c的值，进而可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），即点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，则p=4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（﹣2，0），即a=2；点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±x，由双曲线的性质，可得b=1；则c=，则焦距为2c=2故选：D．4.八个一样的小球按顺序排成一排，涂上红、白两种颜色，5个涂红色，三个涂白色，求恰好有个三个的连续的小球涂红色，则涂法共有

（

）A

24种

B

30种

C

20种

D

36种

参考答案：A5.已知函数的导函数图象如右图所示，若为锐角三角形，则一定成立的是()(A)

(B)(C)

(D)参考答案：B略6.已知复数Z1和复数Z2，则Z1·Z2

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略7.如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则（

）A．2

B．3

C．6

D．12参考答案：C故选：C

8.已知集合M={0，1，2，3，4}，N={x|1＜log2（x+2）＜2}，则M∩N=（）A．{0，1} B．{2，3} C．{1} D．{2，3，4}参考答案：C【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可．【解答】解：由N中不等式变形得：log22=1＜log2（x+2）＜2=log24，即2＜x+2＜4，解得：0＜x＜2，即N=（0，2），∵M={0，1，2，3，4}，∴M∩N={1}，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．9.已知a、b是实数，则“a>1，b>2”是“a+b>3且ab>2”的(

)A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分且必要条件

D．既不充分也不必要条参考答案：A略10.设为虚数单位，复数等于A． B．

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：4，现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，样本中A种型号产品有18件，那么此样本的容量=

．参考答案：81略12.过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为

.参考答案：【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题．【答案解析】解析：解：设，则，

∵过点作斜率为的直线与椭圆：相交于A，B两点，是线段的中点，∴两式相减可得，

∴∴，∴．【思路点拨】利用点差法，结合是线段的中点，斜率为，即可求出椭圆的离心率．13.若曲线与曲线有四个不同的交点，则实数的取值范围是

。参考答案：14.命题“若lna＞lnb，则a＞b”是命题（填“真”或“假”）参考答案：真【分析】由自然对数的定义及性质可以判定a＞b＞0的关系，从而判定命题的真假．【解答】解：∵lna＞lnb，由自然对数的定义及性质可则a＞b＞0，所以命题是真命题．故答案：真15.已知正三棱柱ABC—A1B1C1的高为6，AB＝4，点D为棱BB1的中点，则四棱锥C—A1ABD的表面积是________．参考答案：16.已知向量，，若与垂直，则

参考答案：2略17.阅读下列程序:Read

S1For

I

from

1

to

5

step2

SS+I

PrintSEndforEnd输出的结果是

。参考答案：2，5，10三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分13分)如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等.D,E,F分别为棱AB,BC,A1C1的中点.(Ⅰ)证明EF//平面A1CD;(Ⅱ)证明平面A1CD⊥平面A1ABB1;(Ⅲ)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.参考答案：（I）证明：如图，在三棱柱中，∥，且=，连接ED，在中，因为D,E分别为AB,BC的中点，所以DE=且DE∥AC，又因为F为的中点，可得,且∥，即四边形为平行四边形，所以∥又平面,平面，所以，∥平面。（II）证明：由于底面是正三角形，D为AB的中点，故CD⊥AB，又由于侧棱⊥底面，CD平面，所以⊥CD，又，因此CD⊥平面，而CD平面，所以平面⊥。（III）解：在平面内，过点B作BG⊥交直线于点G，连接CG.由于平面⊥平面，而直线是平面与平面的交线，故BG⊥平面。由此得为直线BC与平面所成的角。设棱长为a，可得，由∽，易得BG。在Rt中，sin.所以直线BC与平面所成角的正弦值为。19.已知函数f（x）=mln（x+1），g（x）=（x＞﹣1）．（Ⅰ）讨论函数F（x）=f（x）﹣g（x）在（﹣1，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若y=f（x）与y=g（x）的图象有且仅有一条公切线，试求实数m的值．参考答案：【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求得F（x）的导数，讨论当m≤0时，当m＞0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意定义域；（Ⅱ）分别求出f（x），g（x）在切点处的斜率和切线方程，化为斜截式，可得y=f（x）与y=g（x）的图象有且仅有一条公切线等价为=（1），mln（a+1）﹣=（2），有唯一一对（a，b）满足这个方程组，且m＞0，消去a，得到b的方程，构造函数，求出导数和单调性，得到最值，即可得到a=b=0，公切线方程为y=x．【解答】解：（Ⅰ）F′（x）=f′（x）﹣g′（x）=﹣=（x＞﹣1），当m≤0时，F′（x）＜0，函数F（x）在（﹣1，+∞）上单调递减；…当m＞0时，令F′（x）＜0，可得x＜﹣1+，函数F（x）在（﹣1，﹣1+）上单调递减；F′（x）＞0，可得＞﹣1+，函数F（x）在（﹣1+，+∞）上单调递增．综上所述，当m≤0时，F（x）的减区间是（﹣1，+∞）；当m＞0时，F（x）的减区间是（﹣1，﹣1+），增区间是（﹣1+，+∞）…（Ⅱ）函数f（x）=mln（x+1）在点（a，mln（a+1））处的切线方程为y﹣mln（a+1）=（x﹣a），即y=x+mln（a+1）﹣，函数g（x）=在点（b，）处的切线方程为y﹣=（x﹣b），即y=x+．y=f（x）与y=g（x）的图象有且仅有一条公切线所以=（1），mln（a+1）﹣=（2），有唯一一对（a，b）满足这个方程组，且m＞0…由（1）得：a+1=m（b+1）2代入（2）消去a，整理得：2mln（b+1）++mlnm﹣m﹣1=0，关于b（b＞﹣1）的方程有唯一解…令t（b）=2mln（b+1）++mlnm﹣m﹣1，t′（b）=﹣=，方程组有解时，m＞0，所以t（b）在（﹣1，﹣1+）单调递减，在（﹣1+，+∞）上单调递增．所以t（b）min=t（（﹣1+）=m﹣mlnm﹣1．由b→+∞，t（b）→+∞；b→﹣1，t（b）→+∞，只需m﹣mlnm﹣1=0…令u（m）=m﹣mlnm﹣1，u′（m）=﹣lnm在m＞0为单减函数，且m=1时，u′（m）=0，即u（m）min=u（1）=0，所以m=1时，关于b的方程2mln（b+1）++mlnm﹣m﹣1=0有唯一解．此时a=b=0，公切线方程为y=x…20.已知函数.(1)若曲线在处的切线相互平行，求两平行直线间的距离．（2）若对任意恒成立，求实数的值；（3）当时，对于函数，记在图象上任意两点A、B连线的斜率为,若恒成立，求的取值范围．参考答案：（Ⅰ）,依题意得:a=2;……………2分曲线y=f(x)在x=1处的切线为2x－y－2=0,曲线y=g(x)在x=1处的切线方程为2x－y－1=0.……………3分两直线间的距离为……………4分（Ⅱ）令h(x)=f(x)－g(x)+1,,则当a≤0时,注意到x>0,所以<0,所以h(x)在(0,+∞)单调递减,………………5分又h(1)=0,故0<x<1时,h(x)>0,即f(x)>g(x)-1,与题设矛盾.……………6分当a>0时,当,当时,所以h(x)在上是增函数,在上是减函数,……………8分∴h(x)≤因为h(1)＝0,又当a≠2时,,与不符.所以a＝2.

……………9分（Ⅲ）当a<0时,由(2)知<0,∴h(x)在(0,＋∞)上是减函数,不妨设0<x1≤x2,则|h(x1)－h(x2)|＝h(x1)－h(x2),|x1－x2|＝x2－x1,……………10分∴|h(x1)－h(x2)|≥|x1－x2|等价于h(x1)－h(x2)≥x2－x1,即h(x1)＋x1≥h(x2)＋x2,……………11分令H(x)＝h(x)＋x＝alnx－x2＋x＋1,H(x)在(0,＋∞)上是减函数,∵(x>0),……………12分∴－2x2＋x＋a≤0在x>0时恒成立,∴a≤(2x2－x)min……………13分又x>0时,(2x2－x)min=∴a≤－,又a<0,∴a的取值范围是.

……………14分21.对于数列，定义其平均数是，．

（Ⅰ）若数列的平均数，求；（Ⅱ）若数列是首项为1，公比为2的等比数列，其平均数为，对一切恒成立，求实数的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）因为，所以．变形得

①

---------------------2分当时有

②①-②得

．

---------------------5分又当时，，适合．

---------------------6分故

（）．

--------------------7分（Ⅱ）因为，其平均数．

---------------------9分由已知对一切恒成立，即恒成立．令，则，当时，，当时，，ks5u所以，因此实数的取值范围．

---------------------14分22.某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润50元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利润30元（1）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n∈N）的函数解析式（2）商店记录了50天该商品的日需求量n（单位：件）整理得表：日需求量89101112频数91115105若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[400，500]的概率．参考答案：考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布表．专题：概率与统计．分析：（1）根据题意分段求解得出当1≤n≤10时，y利润，当n＞10时，y利润，（2）运用表格的数据求解：频数9天，380；频数11天，440；频数9，500；频数5，560，得出当天的利润在区间[400，500]有20天，即可求解概率．解答： 解：（1）当1≤n≤10时，y利润=50n+（10﹣n）×（﹣10）=