高中数学人教A版必修第二册复数的三角表示式

引言：前面我们已经学习了复数a+bi及其四则运算，本节我们来研究复数的另一种重要表示形式——复数的三角表示.问题1：前面我们已经学习了复数的概念、复数的几何意义，请同学们回忆下它们分别是什么？一、温故知新奠定基础复数z＝a＋bi

复平面内的点Z(a,b)

一一对应复数z＝a＋bi

平面向量

一一对应追问1：你能在复平面内用平面向量表示z＝a＋bi吗？abZ:a＋bi追问2：已知平面向量,能唯一确定与之对应的复数z吗？为什么？一、温故知新奠定基础二、引导探究得出概念问题2：我们知道复数z＝a＋bi可以由向量的坐标唯一确定，向量既可以由它的坐标唯一确定，也可以由它的大小和方向唯一确定，观察分析图1，能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？你认为如何表示？abZ:a＋bi图1追问1：为了解决问题2，首先应研究什么？追问2：如何用文字表述角θ呢？θ追问3：你能用向量的模，以及以x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线为终边的角θ来表示复数z吗？r二、引导探究得出概念abZ:a＋bi图1θr由复数z＝a＋bi的向量表示，易得追问4：角θ的终边落在第二、三、四象限时，上式也成立吗？二、引导探究得出概念复数的三角形式一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)模辐角三角形式r是复数的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角.r(cosθ+isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式.a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式.二、引导探究得出概念问题3：一个复数的辐角的值有多少个？abZ:a＋bi图1θr追问1：这些辐角的值之间有什么关系呢？无限多个相差2π的整数倍追问2：若复数为0，它的辐角是哪个角？复数0对应零向量，零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的，而不是0.二、引导探究得出概念问题4：在研究问题时，复数辐角的多值性有时会给我们带来不便，为了使任意一个非0复数有唯一确定的“值”作为其所有辐值的代表，你认为规定这种“值”在哪个范围内比较合适？追问：一个非零复数辐角的主值有多少个？有且只有一个0≤θ<π三、概念辨析加深理解问题5：是三角表示式吗？说出你的理由.例题1：判断下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式.复数的三角形式r(cosθ+isinθ)例题2：画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式.例题3：分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应向量的，并把这些复数表示成代数形式.四、概念应用巩固新知问题6：两个用代数形式表示的非零复数相等的条件是什么？两个用三角形式表示的非零复数在什么条件下相等呢？四、概念应用巩固新知两个复数相等两个复数对应的向量相等两个向量的长度相等且方向相同两个复数的模相等且辐角主值相等五、课堂小结1、回顾并叙述得出复数三角形式的研究思路和基本过程，并说说研究方法？2、复数三角表示式的基本结构特点式什么？辐角和辐角的主值的概念和特点是什么？3、三角形式表示的两个复数相等的充要条件是什么？它是怎么得出的？六、目标检测