2022-2023学年浙江省杭州市浙江传媒学院实验中学高三数学文期末试卷含解析

2022-2023学年浙江省杭州市浙江传媒学院实验中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，若则x的取值范围为(

)

A

B．

C．

D．参考答案：B2.已知集合，若，则a的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C3.设函数，若关于的方程恰有个不同的实数解，则的值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D4.已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），过双曲线右焦点F倾斜角为的直线与该双曲线的渐近线分别交于M、N．若|FM|=2|FN|，则该双曲线的离心率等于（）A． B． C．或 D．或参考答案：D【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，讨论b＞a＞0，可得N为FM的中点．当a＞b＞0时，可得=﹣2，求出直线MN的方程，联立渐近线方程可得M，N的坐标，求得b=3a或a=3b，再由离心率公式即可得到所求值．解：双曲线C：﹣=1的渐近线方程为y=±x，当b＞a＞0时，如右图．若|FM|=2|FN|，可得N为FM的中点．由直线MN：y=x﹣c，联立y=x，可得M（，），由直线MN：y=x﹣c，联立y=﹣x，可得N（，﹣），由F（c，0），可得﹣=，化简为b=3a，即有e====；当a＞b＞0时，如右图．若|FM|=2|FN|，可得=﹣2，由直线MN：y=x﹣c，联立y=x，可得M（，），由直线MN：y=x﹣c，联立y=﹣x，可得N（，﹣），由F（c，0），可得=﹣2?（﹣），化简为a=3b，即有e====．则该双曲线的离心率等于或．故选：D．5.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为CC1中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：答案：A

6.已知向量，则向量与夹角等于（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：A7.设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|?|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．3参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】不妨设右支上P点的横坐标为x，由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，结合条件可得a=b，从而c==b，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：不妨设右支上P点的横坐标为x由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，∵|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|?|PF2|=ab，∴2ex=3b，（ex）2﹣a2=ab∴b2﹣a2=ab，即9b2﹣4a2﹣9ab=0，∴（3b﹣4a）（3b+a）=0∴a=b，∴c==b，∴e==．故选：B．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于中档题．8.已知复数，（为虚数单位），则

（

）A．1

B．

C．2

D．参考答案：C9.已知向量与满足||=||=2，且⊥（2+），则向量与的夹角为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由题意可得，求得，可得向量的夹角的值．【解答】解：又，可得，即．∵||=||=2，∴2×2×2×cos＜，＞+4=0，解得cos＜，＞=﹣，∴＜，＞=，即向量的夹角为，故选：C．10.已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为

A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.观察以下等式： 参考答案：12.设，则不等式的解集为_______．参考答案：或，∴，或．13.在直角坐标系xOy中,有一定点A（2，1）。若线段OA的垂直平分线过抛物线的焦点，则该抛物线的准线方程是______;参考答案：答案：;解析：OA的垂直平分线的方程是y-，令y=0得到x=;14.函数的定义域为，若且时总有，则称为单函数．例如，函数是单函数.下列命题中是真命题有______（写出所有真命题的编号）①函数是单函数；②指数函数是单函数；③若为单函数,且，则；④在定义域是单调函数的函数一定是单函数．参考答案：②③④略15.已知直线（其中为非零实数）与圆相交于两点，为坐标原点，且为直角三角形，则的最小值为

。参考答案：4略16.已知函数，则_____________.参考答案：-2略17.设,集合则的值是

参考答案：-1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）如图，某小区有一矩形地块OABC，其中OC=2，OA=3，单位：百米．已知OEF是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边EF相切于点M的直路l（宽度不计），交线段OC于点D，交线段OA于点N．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边EF满足函数y=﹣x2+2（）的图象．若点M到y轴距离记为t．（1）当时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值时多少？参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法．【专题】数学模型法；导数的综合应用．【分析】（1）求当时，代入函数y=﹣x2+2，得M（，），利用求函数的导函数得到切线的斜率，运用点斜式写切线方程；（Ⅱ）求出x=t时的抛物线的切线方程，进一步求出切线截正方形在直线右上方的长度，利用三角形面积公式写出面积，得到的面积是关于t的函数，利用导数分析面积函数在（0＜t＜2）上的极值，进而得出地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大值．【解答】解：（1）把代入函数y=﹣x2+2，得M（，），∵y'=﹣2x，∴k=﹣，∴直线方程为y=﹣x+；（2）由（1）知，直线的方程为y=﹣2tx+t2+2，令y=0，x=（t+），令x=0，y=t2+2，∴（t+）≤2，t2+2≤3，∴2﹣≤t≤1，∴s△OND=（t+）（t2+2）=（t3+4t+），令g（t）=（t3+4t+），∴g'（t）=，当t=时，g'（t）=0，当t∈（2﹣，）时，g'（t）＜0，当t∈（，1）时，g'（t）＞0，g（t）≥g（）=，所以所求面积的最大值为6﹣．【点评】利用导数研究函数的单调性；函数模型的选择与应用．19.已知直线的参数方程为为参数，，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，射线，，分别与曲线交于三点(不包括极点)．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）当时，若两点在直线上，求与的值．参考答案：（Ⅰ）证明：依题意，，………………1分，，…………3分则．

…………5分（Ⅱ）当时，两点的极坐标分别为，，…………6分化直角坐标为，.

………………7分经过点的直线方程为，

…………8分又直线经过点，倾斜角为，故，.

………10分20.如图，四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC．（Ⅰ）证明：SE=2EB；（Ⅱ）求二面角A﹣DE﹣C的大小．参考答案：【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的性质．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）连接BD，取DC的中点G，连接BG，作BK⊥EC，K为垂足，根据线面垂直的判定定理可知DE⊥平面SBC，然后分别求出SE与EB的长，从而得到结论；（Ⅱ）根据边长的关系可知△ADE为等腰三角形，取ED中点F，连接AF，连接FG，根据二面角平面角的定义可知∠AFG是二面角A﹣DE﹣C的平面角，然后在三角形AGF中求出二面角A﹣DE﹣C的大小．【解答】解：（Ⅰ）连接BD，取DC的中点G，连接BG，由此知DG=GC=BG=1，即△DBC为直角三角形，故BC⊥BD．又SD⊥平面ABCD，故BC⊥SD，所以，BC⊥平面BDS，BC⊥DE．作BK⊥EC，K为垂足，因平面EDC⊥平面SBC，故BK⊥平面EDC，BK⊥DE，DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直，DE⊥平面SBC，DE⊥EC，DE⊥SD．SB=，DE=EB=所以SE=2EB（Ⅱ）由SA=，AB=1，SE=2EB，AB⊥SA，知AE==1，又AD=1．故△ADE为等腰三角形．取ED中点F，连接AF，则AF⊥DE，AF=．连接FG，则FG∥EC，FG⊥DE．所以，∠AFG是二面角A﹣DE﹣C的平面角．连接AG，AG=，FG=，cos∠AFG=，所以，二面角A﹣DE﹣C的大小为120°．【点评】本题主要考查了与二面角有关的立体几何综合题，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．21.集合A是由具备下列性质的函数组成的：(1）函数的定义域是；(2）函数的值域是；(3）函数在上是增函数，试分别探究下列两小题：(1）判断函数及是否属于集合A？并简要说明理由；(2）对于（1）中你认为属于集合A的函数，不等式是否对于任意的恒成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.参考答案：（1）函数不属于集合A.因为的值域是.在集合A中.因为：①函数的定义域是；②的值域是-2，4）；③函数在上是增函数.(2）不等式对任意恒成立.22.在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=asinθ．（Ⅰ）若a=2，求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（Ⅱ）设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，求a的值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直接把极坐标方程和参数方程转化成直角坐标方程．（Ⅱ）利