湖北武汉武昌区武汉大学附属中学2024年高二上数学期末经典模拟试题含解析

湖北武汉武昌区武汉大学附属中学2024年高二上数学期末经典模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．是椭圆的焦点，点在椭圆上，点到的距离为1，则到的距离为（）A.3 B.4C.5 D.62．中，三边长之比为，则为（）A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不存在这样的三角形3．若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（）A B.C. D.4．某口罩生产商为了检验产品质量，从总体编号为001，002，003，…，499，500的500盒口罩中，利用下面的随机数表选取10个样本进行抽检，选取方法是从下面的随机数表第1行第5列的数字开始由左向右读取，则选出的第3个样本的编号为（）160011661490844511657388059052274114862298122208075274958035696832506128473975345862A.148 B.116C.222 D.3255．直线x﹣y+3＝0的倾斜角是（）A.30° B.45°C.60° D.150°6．已知为等差数列，为公差，若成等比数列，且，则数列的前项和为（）A. B.C. D.7．抛物线的准线方程是，则实数的值为（）A. B.C.8 D.8．如图，平面四边形中，，，，为等边三角形，现将沿翻折，使点移动至点，且，则三棱锥的外接球的表面积为（）A. B.C. D.9．已知等差数列满足，则其前10项之和为（）A.140 B.280C.68 D.5610．已知为虚数单位，复数是纯虚数，则（）A B.4C.3 D.211．在四面体中，，，，且，，则等于（）A. B.C. D.12．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A.192

里 B.96

里C.48

里 D.24

里二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在数列中，若，则该数列的通项公式__________14．圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，为底面中心，为的中点，动点在圆锥底面内（包括圆周）．若，则点形成的轨迹的长度为______15．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2020>0，S2021<0，则当n=_____________时，Sn最大.16．若函数在处有极值，则的值为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数的导函数为，且满足（1）求及的值；（2）求在点处的切线方程18．（12分）如图，在直棱柱中，已知，点分别的中点.（1）求异面直线与所成的角的大小；（2）求点到平面的距离；（3）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的大小是?若存在，请指出点的位置，若不存在，请说明理由.19．（12分）已知椭圆的离心率为，且其左顶点到右焦点的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）设点、在椭圆上，以线段为直径的圆过原点，试问是否存在定点，使得到直线的距离为定值？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说理由.20．（12分）已知：，:.(1)当时，求实数的取值范围；(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.21．（12分）在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答.条件①：展开式前三项的二项式系数的和等于37；条件②：第3项与第7项的二项式系数相等；问题：在二项式的展开式中，已知__________.（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）设，求的值；（3）求的展开式中的系数.22．（10分）已知公差不为零的等差数列的前项和为，，，成等比数列且满足________.请在①；②；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并回答以下问题.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】利用椭圆的定义直接求解【题目详解】由题意得，得，因为，，所以，故选：C2、C【解题分析】利用余弦定理可求得最大角的余弦值小于零，由此可知最大角为钝角.【题目详解】设三边分别为，，，中的最大角为，，为钝角，为钝角三角形.故选：C.3、A【解题分析】求得圆心到直线的距离，根据题意列出的不等关系式，即可求得的范围.【题目详解】因为圆心到直线的距离，故要满足题意，只需，解得.故选：A.4、A【解题分析】按随机数表法逐个读取数字即可得到答案.【题目详解】根据随机数表法读取的数字分别为：116，614（舍），908（舍），445，116（舍），573（舍），880（舍），590（舍），522（舍），741（舍），148，故选出的第3个样本的编号为148.故选：A.5、C【解题分析】先求斜率，再求倾斜角即可【题目详解】解：直线的斜截式方程为，∴直线的斜率，∴倾斜角，故选：C【题目点拨】本题主要考查直线的倾斜角与斜率，属于基础题6、C【解题分析】先利用已知条件得到，解出公差，得到通项公式，再代入数列，利用裂项相消法求和即可.【题目详解】因为成等比数列，，故，即，故，解得或（舍去），故，即，故的前项和为：.故选：C.【题目点拨】方法点睛：数列求和的方法：（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些像可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列:或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.7、B【解题分析】化简方程为，求得抛物线的准线方程，列出方程，即可求解.【题目详解】由抛物线，可得，所以，所以抛物线的准线方程为，因为抛物线的准线方程为，所以，解得.故选：B.8、A【解题分析】将三棱锥补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，在中，计算半径即可.【题目详解】由，，可知平面将三棱锥补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，记的外心为，由为等边三角形，可得又，故在中，此即为外接球半径，从而外接球表面积为故选：A【题目点拨】本题考查了三棱锥外接球的表面积，考查了学生空间想象，逻辑推理，综合分析，数学运算的能力，属中档题.9、A【解题分析】根据等差数列的性质，可得，结合等差数列的求和公式，即可求解.【题目详解】由题意，等差数列满足，根据等差数列的性质，可得，所以数列的前10项和为.故选：A.10、C【解题分析】化简复数得，由其为纯虚数求参数a，进而求的模即可.【题目详解】由为纯虚数，∴，解得：，则，故选：C11、B【解题分析】根据空间向量的线性运算即可求解.【题目详解】解：由题知，故选：B.12、B【解题分析】由题可得此人每天走的步数等比数列，根据求和公式求出首项可得.【题目详解】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得，解得，第此人第二天走里.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】由已知可得数列是以为首项，3为公比的等比数列，结合等比数列通项公式即可得解.【题目详解】解：由在数列中，若，则数列是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列通项公式可得，故答案为：.【题目点拨】本题考查了等比数列通项公式的求法，重点考查了运算能力，属基础题.14、【解题分析】建立空间直角坐标系设，，，，于是，，因为，所以，从而，，此为点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为15、1010【解题分析】先由S2020>0，S2021<0，判断出，，即可得到答案.【题目详解】等差数列{an}的前n项和为，所以，因为1+2020=1010+1011，所以，所以.，所以，所以当n=1010时，Sn最大.故答案为：1010.16、2或6【解题分析】由解析式得到导函数，结合是函数极值点，即可求的值.【题目详解】由，得，因为函数在处有极值，所以，即，解得2或6.经检验，2或6满足题意.故答案为：2或6.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；；（2）.【解题分析】（1）由题可得，进而可得，然后可得，即得；（2）由题可求，，再利用点斜式即得.【小问1详解】∵，∴，，∴，，∴.【小问2详解】∵，，∴，，∴在点处的切线方程为，即.18、（1）（2）（3）不存在，理由见解析【解题分析】（1）由题意，以点A为原点，方向分别为x轴、y轴与z轴的正方向，建立空间直角坐标系.，利用向量法求解异面直线成角即可.（2）先求出平面DEF的一个法向量，然后利用向量法求解点面距离.（3）设（），由可得关于的方程，从而得出答案.【小问1详解】由题意，以点A为原点，方向分别为x轴、y轴与z轴的正方向，建立空间直角坐标系.则，，，，故，，从而，所以异面直线AE与DF所成角的大小为.小问2详解】，设平面DEF的法向量为，则，即，取，得到平面DEF的一个法向量为.点A到平面DEF的距离为.【小问3详解】假设存在满足条件的点M，设（），则，从而.即，即，此方程无实数解，故不存在满足条件的点M.19、（1）；（2）存在，.【解题分析】（1）由题设可知求出，再结合，从而可求出椭圆的方程，（2）①若直线与轴垂直，由对称性可知，代入椭圆方程可求得结果，②若直线不与轴垂直，设直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，然后利用根与系数的关系，设，，再由条件，得，从而得，再利用点到直线的距离公式可求得结果【题目详解】（1）由题设可知解得，，，所以椭圆的方程为：；（2）设，，①若直线与轴垂直，由对称性可知，将点代入椭圆方程，解得，原点到该直线的距离；②若直线不与轴垂直，设直线的方程为，由消去得，则由条件，即，由韦达定理得，整理得，则原点到该直线的距离；故存在定点，使得到直线的距离为定值.20、(1)；(2).【解题分析】(1)将代入即可求解；(2)首先结合已知条件分别求出命题和的解，写出，然后利用充分不必要的特征即可求解.【题目详解】(1)由题意可知，，解得，故实数的取值范围为；(2)由，解得或，由，解得，故命题：或；命题：，从而：或，因为是的充分不必要条件，所以或或，从而，解得，故实数的取值范围为.21、（1）答案见解析（2）0（3）560【解题分析】（1）选择①，由，得，选择②，由，得；（2）利用赋值法可求解；（3）分两个部分求解后再求和即可.【小问1详解】选择①，因为，解得，所以展开式中二项式系数最大的项为选择②，因为，解得，所以展开式中二项式