内蒙古呼伦贝尔市莫力达瓦旗尼尔基一中2024届数学高二上期末质量检测模拟试题含解析

内蒙古呼伦贝尔市莫力达瓦旗尼尔基一中2024届数学高二上期末质量检测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知直线与直线平行，且直线在轴上的截距比在轴上的截距大，则直线的方程为（）A. B.C. D.2．函数的递增区间是（）A. B.和C. D.和3．已知直线l1：y＝x+2与l2：2ax+y﹣1＝0垂直，则a＝（）A. B.C.﹣1 D.14．设，则A.2 B.3C.4 D.55．下列结论中正确的有（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则6．已知圆柱的表面积为定值，当圆柱的容积最大时，圆柱的高的值为（）A.1 B.C. D.27．下列函数求导运算正确的个数为（）①；②；③；④.A.1 B.2C.3 D.48．若函数在区间内存在最大值，则实数的取值范围是()A. B.C. D.9．过点且平行于直线的直线的方程为（）A. B.C. D.10．过点且垂直于的直线方程为（）A. B.C. D.11．函数在（0，e]上的最大值为（）A.－1 B.1C.0 D.e12．双曲线的焦点坐标是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在长方体中，设，，则异面直线与所成角的大小为______14．已知直线与双曲线无公共点，则双曲线离心率的取值范围是____15．已知椭圆的左、右焦点分别为、，关于原点对称的点A、B在椭圆上，且满足，若令且，则该椭圆离心率的取值范围为___________16．某中学高三（2）班甲，乙两名同学自高中以来每次考试成绩的茎叶图如图所示，则甲的中位数与乙的极差的和为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，三棱锥中，，，，，，点是PA的中点，点D是AC的中点，点N在PB上，且.（1）证明：平面CMN；（2）求平面MNC与平面ABC所成角的余弦值.18．（12分）已知集合，．若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围19．（12分）已知函数.（1）求的单调区间；（2）求在区间上的最值.20．（12分）已知函数.（Ⅰ）求的单调递减区间；（Ⅱ）若当时，恒成立，求实数a的取值范围.21．（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，求函数在内的零点个数.22．（10分）2021年7月29日，中国游泳队获得了女子米自由泳接力决赛冠军并打破世界纪录.受奥运精神的鼓舞，某游泳俱乐部组织100名游泳爱好者进行自由泳1500米测试，并记录他们的时间（单位：分钟），将所得数据分成5组：，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）求出直方图中m的值；（2）利用样本估计总体的思想，估计这100位游泳爱好者1500米自由泳测试时间的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】分析可知直线不过原点，可设直线的方程为，其中且，利用斜率关系可求得实数的值，化简可得直线的方程.【题目详解】若直线过原点，则直线在两坐标轴上的截距相等，不合乎题意，设直线的方程为，其中且，则直线的斜率为，解得，所以，直线的方程为，即.故选：A.2、C【解题分析】求导后，由可解得结果.【题目详解】因为的定义域为，，由，得，解得，所以的递增区间为.故选：C.【题目点拨】本题考查了利用导数求函数的增区间，属于基础题.3、A【解题分析】利用两直线垂直斜率关系，即可求解.【题目详解】直线l1：y＝x+2与l2：2ax+y﹣1＝0垂直，.故选:A【题目点拨】本题考查两直线垂直间的关系，属于基础题.4、B【解题分析】利用复数的除法运算求出，进而可得到.【题目详解】，则，故，选B.【题目点拨】本题考查了复数的四则运算，考查了复数的模，属于基础题5、D【解题分析】根据基本初等函数的导数和运算法则分别计算函数的导数，即可判断选项.【题目详解】A.若，则，故A错误；B.若，则，故B错误；C.若，则，故C错误；D.若，则，故D正确.故选：D6、B【解题分析】设圆柱的底面半径为，则圆柱底，圆柱侧，则可得，则圆柱的体积为，利用导数求出最大值，确定值.【题目详解】设圆柱的底面半径为，则圆柱底，圆柱侧，∴，∴，则圆柱的体积，∴，由得，由得，∴当时，取极大值，也是最大值，即故选：B【题目点拨】本题主要考查了圆柱表面积和体积的计算，考查了导数的实际应用，考查了学生的应用意识.7、A【解题分析】根据导数的运算法则和导数的基本公式计算后即可判断【题目详解】解：①，故错误；②，故正确；③，故错误；④，故错误.所以求导运算正确的个数为1.故选：A.8、A【解题分析】利用函数的导数，求解函数的极值，推出最大值，然后转化列出不等式组求解的范围即可【题目详解】，或，∴在单调递减，在单调递增，在单调递减，∴f(x)有极大值，要使f(x)在上有最大值，则极大值3即为该最大值，则，又或，∴，综上，.故选：A.9、B【解题分析】根据平行设直线方程，代入点计算得到答案.【题目详解】设直线方程为，将点代入直线方程得到，解得.故直线方程为：.故选：B.10、B【解题分析】求出直线l的斜率，再借助垂直关系的条件即可求解作答.【题目详解】直线的斜率为，而所求直线垂直于直线l，则所求直线斜率为，于是有：，即，所以所求直线方程为.故选：B11、A【解题分析】对函数求导，然后求出函数的单调区间，从而可求出函数的最大值【题目详解】由，得，当时，，当，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，故选：A12、B【解题分析】根据双曲线的方程，求得，结合双曲线的几何性质，即可求解.【题目详解】由题意，双曲线，可得，所以，且双曲线的焦点再轴上，所以双曲线的焦点坐标为.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解题分析】建立空间直角坐标系，用向量法即可求出异面直线与所成的角.【题目详解】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则,所以，因为，所以，即，所以异面直线与所成的角为.故答案为：90°.14、【解题分析】联立直线得，由无公共点得，进而得，即可求出离心率的取值范围.【题目详解】联立直线与双曲线可得，整理得，显然，由方程无解可得，即，则，，又离心率大于1，故离心率的取值范围是.故答案为：.15、【解题分析】由得为矩形，则，故，结合正弦函数即可求得范围【题目详解】由已知可得，且四边形为矩形所以，又因为，所以得离心率因为，所以，可得，从而故答案为：16、111【解题分析】求出甲的中位数和乙的极差即得解.【题目详解】解：由题得甲的中位数为，乙的极差为，所以它们的和为.故答案为：111三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解题分析】建立如图所示空间直角坐标系，得到相关点和相关向量的坐标,（1）求出平面的法向量，利用证明即可；（2）由（1）知平面的法向量，再求平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解.【小问1详解】证明：三棱锥中，，，∴分别以，，，，轴建立如图所示空间直角坐标系∵，，点M是PA的中点，点D是AC的中点，点N在PB上且∴，，，，，设平面的法向量，，，，由得令得∴∵∴又平面∴平面；【小问2详解】，，∴平面∴为平面的法向量则与的夹角的补角是平面与平面所成二面角的平面角.∴平面与平面所成角的余弦值为.18、【解题分析】由题设A是的真子集，结合已知集合的描述列不等式求a的范围.【题目详解】由“”是“”的充分不必要条件，即A是的真子集，又，，所以，可得，则实数a的取值范围为19、（1）在、上是增函数，在上是减函数；（2）在区间，上的最大值为2，最小值为【解题分析】（1）求导，根据导数和函数的单调性的关系即可求出单调区间；（2）根据（1）可知，函数在，、上为增函数，在上为减函数，求出端点值和极值，比较即可求出最值【小问1详解】根据题意，由于，，得到，，在、上是增函数，当时，在上是减函数；【小问2详解】由（1）可知，函数在，，上为增函数，在上为减函数，，（1），，，在区间，上的最大值为2，最小值为20、（Ⅰ）单调递减区间为；（Ⅱ）.【解题分析】（Ⅰ）求函数的导函数，求的区间即为所求减区间；（Ⅱ）化简不等式，变形为，即求，令，求的导函数判断的单调性求出最小值，可求出的范围.【题目详解】（Ⅰ）由题可知.令，得，从而，∴的单调递减区间为.（Ⅱ）由可得，即当时，恒成立.设，则.令，则当时，.∴当时，单调递增，，则当时，，单调递减；当时，，单调递增.∴，∴.【题目点拨】思路点睛：在函数中，恒成立问题，可选择参变分离的方法，分离出参数转化为或，转化为求函数的最值求出的范围.21、（1）当，在单调递增；当，在单调递增,在单调递减.（2）0.【解题分析】（1）求得，对参数分类讨论，即可由每种情况下的正负确定函数的单调性；（2）根据题意求得，利用进行放缩，只需证即，再利用导数通过证明从而得到恒成立，则问题得解.【小问1详解】以为，其定义域为，又，故当时，，在单调递增；当时，令，可得，且令，解得，令，解得，故在单调递增，在单调递减.综上所述：当，在单调递增；当，在单调递增，在单调递减.【小问2详解】因为，故可得，则，；下证恒成立，令，则，故在单调递减，又当时，，故在恒成立，即；因为，故，令，下证在恒成立，要证恒成立，即证，又，故即证，令，则，令，解得，此时该函数单调递增，令，解得，此时该函数单调递减，又当时，，也即；令，则，令，解得，此时该函数单调递减，令，解得，此时该函数单调