山东省青岛市实验志成中学高三数学文上学期期末试题含解析

山东省青岛市实验志成中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，，且，则向量与的夹角为（）A.30°

B.60°

C.120°

D.150°参考答案：D2.

函数的图象必经过点（

）A、(0,1)

B、(1,1)

C、(2,0)

D、(2,2)

参考答案：D3.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值为 A.102 B.410C.614 D.1638参考答案：B4.若离散型随机变量的分布列为

则的数学期望＝(

).A．2

B．2或

C．

D．1参考答案：C

【知识点】离散型随机变量及其分布列．K6解析：由离散型随机变量ξ分布列知：,解得，所以，故选C.【思路点拨】利用离散型随机变量ξ分布列的性质求解．5.已知，则（

）A．

B．

C．或0

D．或0参考答案：D

考点：三角函数求值、平方关系.6.已知为抛物线上不同两点，且直线倾斜角为锐角，为抛物线焦点，若

则直线倾斜角为

A．

B.

C.

D.

参考答案：D7.4cos10°﹣tan80°=(

) A．﹣ B．﹣ C．﹣1 D．参考答案：A考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：利用两角和差的三角公式，把非特殊角转化成特殊角，化简原式，可得答案．解答： 解：4cos10°﹣tan80°=4cos10°﹣=4cos10°﹣=======﹣，故选：A．点评：本题主要考查了余弦函数两角的和差问题．做题的关键是把非特殊角，化为特殊角或非特殊角，互相抵消、约分求出值，属于基础题．8.将函数y=cos2x的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）?cosx的图象，则f（x）的表达式可以是（）A．f（x）=﹣2sinx B．f（x）=2sinxC．f（x）=sin2x D．f（x）=（sin2x+cos2x）参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】将函数y=cos2x的图象向左平移个单位，可得y=cos2（x+）=cos（2x+）=﹣sin2x=﹣2cosx?sinx，利用条件，可得结论．【解答】解：将函数y=cos2x的图象向左平移个单位，可得y=cos2（x+）=cos（2x+）=﹣sin2x=﹣2cosx?sinx，∵y=f（x）?cosx，∴f（x）=﹣2sinx．故选：A．9.的分数指数幂表示为(

)

A．

B．a3

C．

D．都不对参考答案：C10.设E为△ABC的边AC的中点，，则m，n的值分别为A. B. C. D.参考答案：A【分析】将向量用向量和表示出来即可找到m和n的值，得到答案．【详解】∵（）-∴mn故选：A．【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理，将向量用向量和表示出来是解题的关键，属基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象沿x轴向左平移个单位得到函数g（x）的图象，则g（x）的单调递增区间是

．参考答案：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的单调性得出结论．【解答】解：将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到的图象，再将所得图象沿x轴向左平移个单位得到g（x）=2sin[2（x+）﹣]﹣1=2sin2x﹣1的图象．令2kπ﹣≤2x≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得它的增区间是，故答案为：．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的单调性，属于基础题．12.16．已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β.其中真命题的序号是______．参考答案：②③13.已知双曲线，且双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为______________．参考答案：14.某四面体的三视图如下图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是_______.参考答案：15.已知，，则的最大值是______.参考答案：【分析】将化简、变形为，然后利用基本不等式和对勾函数，即可求解.【详解】由题意，，设，则，当且仅当，即取等号，又由在上单调递增，所以的最小值为，即，所以，所以的最大值是.故答案为：.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中对式子进行变形、化简，以及合理利用换元法，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.16.设数列{an}是等比数列，公比q=2，Sn为{an}的前n项和，记Tn=（n∈N*），则数列{Tn}最大项的值为

．参考答案：3【考点】等比数列的前n项和．【分析】由等比数列前n项和公式推导出Tn=9﹣2n﹣，由此能示出数列{Tn}最大项的值．【解答】解：∵数列{an}是等比数列，公比q=2，Sn为{an}的前n项和，Tn=（n∈N*），∴Tn==9﹣2n﹣，∵=4，当且仅当时取等号，又n∈N*，n=1或2时，Tn取最大值T1=9﹣2﹣4=3．∴数列{Tn}最大项的值为3．故答案为：3．17.已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，令，则关于函数有下列命题：1的图像关于原点对称；2为偶函数；3的最小值为0；4在上为减函数.其中正确命题的序号是_______________.（将所有正确命题的序号都填上）参考答案：23三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分）已知线段AB的两个端点A、B分别在轴、y轴上滑动，，点M满足.(I)求动点M的轨迹E的方程；(II)若曲线E的所有弦都不能被直线垂直平分,求实数k的取值范围.参考答案：解：设，则，由，得，解得

………………2分代入，化简得点M的轨迹方程为．…………5分（２）由题意知，假设存在弦AB被直线垂直平分，设直线AB的方程为，

由，消去化简得，，，

设，中点，则，

……………7分

，，又，，得，

……9分代入，得，解得，

因为所有弦都不能被直线垂直平分，所以或即实数的取值范围是。

……12分略19.本小题满分13分）已知椭圆的右焦点在圆上，直线交椭圆于、两点.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若(为坐标原点），求的值；(Ⅲ)若点的坐标是，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.参考答案：解：（I）半椭圆的离心率为，,

………………2分

设为直线上任意一点，则，即

，

……………4分

又，

………6分（II）①当P点不为（1,0）时，，得，

即

设，

……8分==

…………9分=

……10分

………………11分②当P点为（1,0）时，此时，.

…………………12分综上，由①②可得，面积的最大值为.

略20.已知函数．（1）解不等式；（2）若关于x的不等式的解集不是空集，求a的取值范围．参考答案：(1)(2)或【分析】（1）分类讨论去绝对值，分别解得每一段的解集，取并集即可.（2）直接利用绝对值三角不等式求得最小值，解得a的范围即可.【详解】（1）由题意可得，当时，，得，无解；当时，，得，即；当时，，得，即.所以不等式的解集为.（2），则由题可得，解得或.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了绝对值不等式的几何意义及应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.21.如图，点为椭圆上一定点，过点A引两直线与椭圆分别交于B，C两点．（1）求椭圆方程；（2）若直线AB，AC与x轴围成以点A为顶点的等腰三角形，求△ABC的面积最大值，并求出此时直线BC的方程．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）将A的坐标代入椭圆方程，解得n．即可得到椭圆方程；（2）设AB，AC的斜率分别为k1、k2，求出直线AB的方程，联立椭圆方程，消去y，解方程可得B的坐标，同理可得C的坐标，求得BC的斜率，设直线BC的方程为，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，求得A到直线BC的距离，由三角形的面积公式，结合配方法，即可得到所求面积的最大值和此时直线BC的方程．【解答】解：（1）把点代入得n=6，故椭圆方程为；（2）显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与x轴垂直，因此其斜率必存在，设AB，AC的斜率分别为k1、k2，由得点B的横坐标为，∴点B的纵坐标为，即．同理可得点C的坐标为，∵k1+k2=0，∴直线BC的斜率为．设直线BC的方程为，代入方程得，xB+xC=﹣m，xBxC=，|BC|=|xB﹣xC|=2，∴，又点A到直线BC的距离为，∴，∴当m2=6，即时，△ABC面积取得最大值为．此时，直线BC的方程为．22.已知函数f（x）=﹣1．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）设m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；（3）证明：?n∈N*，不等式ln（）e＜．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】计算题；综合题；分类讨论；转化思想．【分析】（1）利用商的求导法则求出所给函数的导函数是解决本题的关键，利用导函数的正负确定出函数的单调性；（2）利用导数作为工具求出函数在闭区间上的最值问题，注意分类讨论思想的运用；（3）利用导数作为工具完成该不等式的证明，注意应用函数的最值性质．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是：（0，+∞）由已知令f′（x）=0得，1﹣lnx=0，∴x=e∵当0＜x＜e时，，当x＞e时，∴函数f（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减，（2）由（1）知函数f（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减故①当0＜2m≤e即时，f（