八年级数学上册勾股定理练习题

八年级数学上册勾股定理练习题

（含答案解析）

学校:姓名：班级：

一、填空题

1.在R&BC中，ZC=90°,且4C：8c=1：7,48=100米，则AC=米.

2.如图，AC=BC=10cm,NB=15。，若AD_LBD于点D,则AD的长为

3.若一个直角三角形的两边长分别是4cm,3cm,则第三条边长是cm.

4.如图，在心ABC中，ZACB=90°,AB=13,BC=12,分别以点B和点C为圆心、大于的长为

半径作弧，两弧相交于E,四两点，作直线砂交48于点。，连接C。，则的周长是.

5.如图，在一43c中，NABC=60。，AB=3,BC=5,以AC为边在q/lBC外作正八轨;。，则8。的长为

1」一中根号外的因式移到根号内，结果是

6.把二次根式（x-1）

1-x

二、单选题

7.如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走

了（）m的路，却踩伤了花草.

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1

A.5B.4C.3D.2

8.如图，在AABC中，ZC=90°,AC=4,BC=2.以A8为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的

面积是（）

A.8B.12C.18D.20

9.将矩形纸片A8CZ）按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AEC/.若AD=6,则菱形AEC尸的面积为

A.2y/3B.3V3C.4D.8

10.如图，。0是AABC的外接圆，ZB=60°,。尸_LAC于点P,OP=2,则AC的长为（）

A.4B.26C.473D.6百

11.如图，已知点B、D、C、尸在同一条直线上，ABEF,AB=EF,ACDE,如果B尸=6,DC=3,那

么8。的长等于（）

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A

3

A.1B.-C.2D.3

2

12.如图，，MC中，/847=60。,/347的平分线4。与边8（：的垂直平分线用。相交于。,£>£，48交48

的延长线于E,£）F_LAC于F,现有下列结论：①DE=DF;®DE+DF=AD；③MD平分NEDF；④若

AE=3,则AB+AC=6.其中正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

三、解答题

13.如图1所示的是某超市人口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图2,双翼边缘的端点A与B之间的距

离为12cm,双翼的边缘AC=BO=62cm,且与闸机侧立面夹角NACP=NBOQ=30。.求当双翼收起时，可

以通过闸机的物体的最大宽度.

14.如图.在平面直角坐标系中.点A的坐标是（4,0）,点P在第一象限，且在直线y=-x+6上，设点P

的横坐标为&ZiF。的面积为S.

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y

(i)求s关于。的函数表达式;

(2)若20=以，求S的值.

15.已知a满足|2021-a|+Ja-2022=a.

(l)Ja-2022有意义,a的取值范围是;则在这个条件下将|2021-3去掉绝对值符号可得|2021-a|=

(2)根据(1)的分析,求a-202『的值.

参考答案：

1.1072

【分析】首先根据8C,4c的比设出BC,4C,然后利用勾股定理列式计算求得a,即可求解.

【详解】解：：AC：BC=l：7,

.,.设AC=a,则BC=7a,

•；NC=90°,

：.AB2^AC2+BC2,

1002=a2+(7iz)2,

解得：a=l0母,

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；.AC=10立米.

故答案为：100.

【点睛】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是解题的关键.

2.5cm

【分析】由题意可得NACD的度数为30。，利用含30。角的直角三角形的性质可求

【详解】AC=BC=10cm，NB=ZBAC=15°,

:.ZACD=ZB+ZBAC=150+15°=30°,

ADLBC,

AD=-AC=-xl0=5

22

故答案为：5cm

【点睛】本题考查三角形外角的性质、解含30。角的直角三角形，掌握含30°角的直角三角形的性质是解题

的关键

3.5或不

【分析】分两种情况，根据勾股定理即可求解.

【详解】解：①直角三角形的两边长分别是4cm,3cm,则

第三条边长=142+32=5(cm)；

②当直角边为3cm,斜边长为4cm时，第三条边长="二7=々(cm)

故答案为：5或五.

【点睛】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键.

4.18

【分析】由题可知，EF为线段BC的垂直平分线，则CD=B。，由勾股定理可得AC=JAB2_BC2=5,则

△ACD的周长为AC+A£>+CQ=AC+A£>+BO=AC+A8,即可得出答案.

【详解】解：由题可知，EF为线段BC的垂直平分线，

：.CD=BD,

'：ZACB=90°,A8=13,BC=12,

:，AC=d24s'—BC°=5,

AACD的周长为AC+4O+C£)=4C+AO+BO=AC+AB=5+13=18.

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故答案为：18.

【点睛】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质及勾股

定理是详解本题的关键.

5.7

【分析】方法1：求8。的长度，若能构造以2。为边的直角三角形，通过勾股定理可求得BD,于是过点。

作84延长线的垂线，垂足为E.求出BE,OE是关键.利用//归。=/〃4。以及4。=8,构造一对全等

三角形，将求。E,AE转化为求AF,CF.

方法2：利用义43。=448以及4。=8,构造“一线三等角”的全等模型，转移、集中已知条件，建立与

8。的联系，再将8。置于直角三角形中求解.

方法3：根据旋转变换的思想，在形外构造以A8为边的等边三角形，使已知条件可围绕点8与点C形成可

解的直角三角形.

方法4：根据旋转变换的思想，也可在形内构造以A8为边的等边三角形，使己知条件可围绕点8与点C形

成.BDE,将8。直接置于这个三角形中加以解决.

方法5：根据旋转变换的思想，也可在形外构造以B。为边的等边三角形，使已知条件可围绕点A与点B形

成=BCE,将BD转化为BE加以解决.

【详解】方法1：如图，过点。作QE_L胡延长线于点E,过点A作AF，BC于点F,得ZAFC=ZAED=90°.

因为“以）是等边三角形，

所以4C=AD,ZDAC=60°.

因为ABAC+ZABC+ZACB=\80°,

ABAC+ADAC+ZEAD=\SQ0,

又NA8C=ND4c=60。，

所以NACF=NZME,

所以RfAAFCRt\DEA,

所以"'MDE,CF=AE.

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在尸中，ZBAF=90°-ZABC=90°-60°=30°,

所以=AF=-43,

222

7

所以CF=3C-3F=-,

2

所以AE=CF=~,BE=AB+AE=3+-=—,DE=AF=2g.

2222

在RMDE中，由勾股定理得BD=yjBE2+DE2=J(—)2+(->/3)2=7.

V22

方法2：如图，延长8c到点E,使CE=AB=3,过点B作BE工DE于点F.

因为八48是等边三角形，

所以4C=AD,ZACD=60°.

因为ZACE=ZACD+ZDCE=ZABC+ABAC,ZABC=ZACD=6()。，

所以NDCEn/BAC.

又因为CE=4?,AC=CD,

所以AABCSACED^SAS),

所以DE=BC=5,ZE=ZABC=6O°,

所以5E=3C+CE=5+3=8.

在RfABEF中,EF=BE-cos60°=4,BF=EF-tan60=4>/3>

所以DF=DE-EF=5-4=1.

在RtABDF中，由勾股定理求得BD=yjBF2+DF2=J(4舟+『=7.

(在BDE中,也可作。尸_LBE于点片求BD.)

方法3：如图，以点A为旋转中心，将△A8O顺时针旋转60。得A4EC,连接8E,再过点E作坊_L3C交

CB的延长线于点F.

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D

由旋转的性质，可得

所以8£>=£C,AE=AB,ZEAC-ZBAD,

所以NE4B=NC4£>=60。，

所以E4B是等边三角形，

所以3£=A5=3,ZAB£=60°,

所以NEBC=ZABE+ZABC=60。+60。=120°,

所以ZEBF=180°-NEBC=60°.

在RrAEFB中EF=E8-sin60"=3x@=^^,FB=£Bxcos60=-,

222

所以在RfAEPC中EC=Jf1广+FC：=J("尸+(|+5尸=749=7，

所以BO=EC=7.

方法4：如图，以点A为旋转中心.将..ABC逆时针旋转60。得，A£L>,连接4E,再过点。作。尸_LBC的

延长线于点F.

由旋转的性质，可得△AE£>丝/XABC,

所以OE=5C=5,AE=AB,AEAD=ZBAC,ZAED=ZABC=60°,

所以NB4E=NC4D=60。，

所以ZXABE是等边三角形，

所以3E=AB=3,ZA£B=60°,

所以ZBED=ZAEB+ZAED=600+60°=120°,

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所以NDEF=180°-ABED=60°.

在RfADEF中,£>F=D£sin60°=5x—=—，EF=DEcosbtf=-,

222

所以在RrAB。尸中，BD=dDF?+BF?-J(岁了+(3+|了=749=7.

方法5：如图，以点。为旋转中心，将一A48逆时针旋转60。得.DCE,连接BE,再过点E作斯交

8c的延长线于点F.

由旋转的性质，可得,DCE丝

所以BD=DE,CE=AB=3,ZDCE=ZDAB,ZADB=ZCDE,

所以NBE>E=NA£>C=60。,

所以一是等边三角形，

所以BE=B£>,

又因为NABC+NADC+Za4Z）+N3CD=360。（四边形内角和为360。），

而NBCE+ZBAD+ZBCD=360°（周角），

所以N8CE=120。，

所以ZECF=180°-ZBED=60°.

在RfAECF中,EF=CE-sin60'=3x^=—,CF=CEcos60=,

222

所以在RfABE尸中，BE=4E尸+BF。=’（空产+（5+|了=屈=7.

所以BD=BE=7.

6.-Vkx

【分析】根据二次根式有意义的条件可以判断x-1的符号，即可化简.

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【详解】解：（x-i）\p^=（x-i）^^=（x-i）^H=—VT7.

V1-X|l-x|l-x

故答案是：X.

【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确根据二次根式有意义的条件，判断1-X>O,从而正确化简|l-x|

是解决本题的关键.

7.B

【分析】结合题意，根据勾股定理计算得花圃内一条“路”的长度，从而完成求解.

【详解】根据题意，得：长方形花圃的四个角为90°

；・花圃内的一条“路”长=V52+122=13m

,仅仅少走了5+12-13=4m

故选：B.

【点睛】本题考查了勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解.

8.D

【分析】根据勾股定理解得AB?的值，再结合正方形的面积公式解题即可.

【详解】在MBC中，ZC=90°,AC=4,BC=2,

AB2=AC2+BC2=42+22=20

•••以AB为一条边向三角形外部作的正方形的面积为=20,

故选：D.

【点睛】本题考查勾股定理的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

9.A

【分析】根据翻折的性质可得/D4尸=NOA凡OA=AD,再根据菱形的对角线平分一组对角可得/。4尸=

ZOAE,然后求出NOAE=30。，再利用勾股定理求出OE,可得AE,再根据菱形的面积公式列式计算即可

得解.

【详解】解：由翻折的性质得，ZDAF—ZOAF,OA—AD—,

在菱形AECF中，ZOAF=ZOAE,

；./OAE=1x900=30。，

3

：.AE=2OE,

...在Rf/kAOE中，由勾股定理得：O^+OE2=AE2,

2

3+0炉=4OE,

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，0E=1或。E=-1（舍去），

：.AE=2OE=2,

菱形AECF的面积=AEA£>=2百.

故选：A.

【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，菱形的性质，勾股定理，含30。角的直角三角形的性质，

熟练掌握翻折变换的性质并求出NO4E=30。是解题的关键.

10.C

【分析】由圆周角定理得出/AOC=2NB=I20。，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出NOAC=

ZOCA=30°,由垂径定理得出AP=CP,由勾股定理得出AP=2g,即可得出答案.

【详解】解：•••NB=60。,

ZAOC=2ZB=120°,

'：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA=30°,

'：OPVAC,

：.AP=CP,OA=2OP=4,

AP=力O*—。产=2百，

.,.AC—2AP=4y/3,

故选：C.

【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、直角三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理

和垂径定理是解题的关键.

11.B

【分析】由ABEF得NB=NF,由ACDE得NACB=NEDF,从而证明△ABC之得BC=F£>,即

可求得8。的长.

【详解】解：EF,

:.NB=NF,

"：ACDE,

：.NACB=NEDF,

在小EF£>中，

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ZACB=ZEDF

ZB=ZF,

AB=EF

:•△ABgXEFD(AAS),

；.BC=FD,

:・BC-DC=FD-DC,

:・BD=FC,

：.BD=^-(BF-DC)=：(6-3)=-.

222

故选：B.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形全的的判定及性质，熟练掌握三角形全的的判定方法是解

题的关键.

12.C

【分析】①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知/EAD=NFAD=30。，故止匕可知ED=g,DF=1,

从而可证明②正确；③若DM平分NADF,则/EDM=90。，从而得到/ABC为直角三角形，条件不足，不

能确定，故③错误；④连接BD、DC,然后证明△EBDgADFC,从而得至ljBE=FC,从而可证明④；

【详解】如图所示：连接BD、DC,

①：AD平分NBAC,DE±AB,DFXAC,

ED=DF,

.,.①正确；

@VZEAC=60°,AD平分NBAC,

ZEAD=ZFAD=30°,

DE±AB,

.\ZAED=9O0,

AZAED=90°,ZEAD=30°,

.".ED=yAD,

同理：DF=！AQ,

2

DE+DF=AD,

...②正确；

③由题意可知：ZEDA=ZADF=60°,

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假设MD平分/ADF,则NADM=30。，则NEDM=90。,

又,.•/E=NBMD=90°,

ZEBM=90°,

/ABC=90°,

,/ZABC是否等于90。不知道

.••不能判定MD平分NADF,

故③错误；

④；DM是BC的垂直平分线,

；.DB=DC,

在RtABED和RtACFD中

\DE^DF

[BD=DC

：.RtABED^RtACFD,

BE=FC,

AB+AC=AE-BE+AF+FC,

又：AE=AF,BE=FC,

AB+AC=2AE,

当AE=3时，AB+AC=6,

故④正确；

故选：C.

【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握本

题的辅助线的作法是解题的关键；

13.74cm

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［分析］过点A作AELC尸于点E,过点B作BFLOQ于点F,根据含30度角的直角三角形的性质可得/归=31

cm,同理可得，BF=31cm,然后结合图形即可求解.

【详解】解：如图，过点A作AELCP于点E,过点2作8FLDQ于点F,

图2

在&AACE中，NACE=30°,

AE=；AC=；x62=31(cm),

同理可得，8F=31cm,

又•.•双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm,

.*.3