高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）

高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）全文共21页，当前为第1页。高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）全文共21页，当前为第1页。第一篇：高中数学有关平面向量的公式的知识点总结定比分点定比分点公式（向量P1P=λ•向量PP2）设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数λ，使向量P1P=λ•向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）x=(x1+λx2)/(1+λ)，y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分点坐标公式）我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式三点共线定理若OC=λOA+μOB,且λ+μ=1,则A、B、C三点共线三角形重心判断式在△ABC中，若GA+GB+GC=O,则G为△ABC的重心向量共线的重要条件若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。a//b的重要条件是xy'-x'y=0。零向量0平行于任何向量。向量垂直的充要条件a⊥b的充要条件是a•b=0。a⊥b的充要条件是xx'+yy'=0。零向量0垂直于任何向量.设a=（x，y），b=(x'，y')。1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。AB+BC=AC。a+b=(x+x'，y+y')。a+0=0+a=a。向量加法的运算律：高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）全文共21页，当前为第2页。高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）全文共21页，当前为第2页。结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减”a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。3、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）全文共21页，当前为第3页。高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）全文共21页，当前为第3页。向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'。向量的数量积的运算律a•b=b•a（交换律）；(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律)；（a+b)•c=a•c+b•c（分配律）；向量的数量积的性质a•a=|a|的平方。a⊥b〈=〉a•b=0。|a•b|≤|a|•|b|。向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律，即：(a•b)•c≠a•(b•c)；例如：(a•b)^2≠a^2•b^2。2、向量的数量积不满足消去律，即：由a•b=a•c(a≠0)，推不出b=c。3、|a•b|≠|a|•|b|4、由|a|=|b|，推不出a=b或a=-b。4、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。a×a=0。a‖b〈=〉a×b=0。向量的向量积运算律a×b=-b×a；（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；（a+b）×c=a×c+b×c.注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）全文共21页，当前为第4页。高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）全文共21页，当前为第4页。向量的三角形不等式1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；①当且仅当a、b反向时，左边取等号；②当且仅当a、b同向时，右边取等号。2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。①当且仅当a、b同向时，左边取等号；②当且仅当a、b反向时，右边取等号。第二篇：高中数学平面向量的公式知识点【摘要】“高中数学平面向量的公式知识点”数学公式讲解是这门学科的要点，套用公式是最终的题解方法，希望本文可以为大家带来帮助：定比分点定比分点公式(向量P1P=λ•向量PP2)设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数λ，使向量P1P=λ•向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)x=(x1+λx2)/(1+λ),y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分点坐标公式)我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式三点共线定理若OC=λOA+μOB,且λ+μ=1,则A、B、C三点共线三角形重心判断式在△ABC中，若GA+GB+GC=O,则G为△ABC的重心[编辑本段]向量共线的重要条件若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。a//b的重要条件是xy'-x'y=0。零向量0平行于任何向量。[编辑本段]向量垂直的充要条件a⊥b的充要条件是a•b=0。高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）全文共21页，当前为第5页。高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）全文共21页，当前为第5页。零向量0垂直于任何向量.设a=(x，y)，b=(x'，y')。1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。AB+BC=AC。a+b=(x+x'，y+y')。a+0=0+a=a。向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减”a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。当λ>0时，λa与a同方向;当λ<0时，λa与a反方向;当λ=0时，λa=0，方向任意。当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣<1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。3、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）全文共21页，当前为第6页。高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）全文共21页，当前为第6页。向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'。向量的数量积的运算律a•b=b•a(交换律);(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律);(a+b)•c=a•c+b•c(分配律);向量的数量积的性质a•a=|a|的平方。a⊥b〈=〉a•b=0。|a•b|≤|a|•|b|。向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律，即：(a•b)•c≠a•(b•c);例如：(a•b)^2≠a^2•b^2。2、向量的数量积不满足消去律，即：由a•b=a•c(a≠0)，推不出b=c。3、|a•b|≠|a|•|b|4、由|a|=|b|，推不出a=b或a=-b。4、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉;a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。a×a=0。a‖b〈=〉a×b=0。向量的向量积运算律a×b=-b×a;(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);(a+b)×c=a×c+b×c.注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。向量的三角形不等式1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;①当且仅当a、b反向时，左高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）全文共21页，当前为第7页。高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）全文共21页，当前为第7页。2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。①当且仅当a、b同向时，左边取等号;②当且仅当a、b反向时，右边取等号。第三篇：平面向量、三角公式知识回顾2013.03.18：知识回顾——平面向量、三角公式一.平面向量：1.与的数量积(或内积)：ab|a||b|coscos2．平面向量的坐标运算：(1)设A(x),则ABOBOA1,y1)，B(x2,y2(x2x1,y2y1).(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则ab=x1x2y1y2.(3)设a=(x,y)，则ax2y23.两向量的夹角公式：设a=(xabx1x2y1y21,y1),b=(x2,y2)，且b0，则cosabx21y1x2y24．向量的平行与垂直：//x1y2x2y10.()ab0x1x2y1y20.二．三角函数、三角变换、解三角形：1．同角三角函数的基本关系：（1）平方关系：sin2+cos2=1。（2）商数关系：sincos=tan（k,kz）（3）asinbcosa2b2sin()（其中辅助角与点（a,b）在同一象限，且tanba）2.诱导公式：（三角函数符合分配——“一全、二正、三切、四余”）(第一组)——函数名不变，符号看象限高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）全文共21页，当前为第8页。1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）全文共21页，当前为第8页。（第一象限）2sinsin，coscos，tantan．（第三象限）3sinsin，coscos，tantan．（第四象限）4sinsin，coscos，tantan．（第二象限）(第二组)——函数名改变，符号看象限5sin2cos，cos2sin．（第一象限）6sin2cos，cos2sin．（第二象限）（7）sin（32)cos,32)sin.（第四象限）（8）sin(32)cos,3)sin（第三象限）3.三角函数和差角公式：sin()sincoscossincos()coscossinsintan()tantan1tantan变式：tantantan()（1tantan）4．二倍角公式：sin22sincos变式：1sin(sincos)22cos2cos2sin2变式：升幂公式：1+cos=2cos高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）全文共21页，当前为第9页。2cos2高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）全文共21页，当前为第9页。1-cos=2sin12sin2降幂公式：cos21cos22sin21cos22tan22tan1tan2注：sin(cossin)2cos222sin25．正弦定理：asinAbsinBcsinC2R.变形：a2RsinA,b2RsinB,c2RsinCa:b:csinA:sinB:sinC6.余弦定理：b21）求边：a2b2c22bccosA;（2）求角:cosAc2a2（2bca2bc2a22cacosB;cosBc2b222acc2a2b22abcosC;cosCa2b2c22ab7.三角形面积定理：S1112absinC2bcsinA2casinB=pr(其中p1高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）全文共21页，当前为第10页。(ab高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）全文共21页，当前为第10页。第四篇：高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结(理).平面向量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB或a。2.向量的模:向量的大小(或长度,记作:||AB或||a。3.单位向量:长度为1的向量。若e是单位向量,则||1e=。4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】5.平行向量(共线向量:方向相同或相反的向量。6.相等向量:长度和方向都相同的向量。7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。ABBA=-。8.三角形法则:ABBCAC+=;ABBCCDDEAE+++=;ABACCB-=(指向被减数9.平行四边形法则:以,ab为临边的平行四边形的两条对角线分别为ab+,ab-。10.共线定理://ababλ=⇔。当0λ>时,ab与同向;当0λ<时,ab与反向。11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。12.向量的模:若(,axy=,则2||axy=+22||aa=,2||(abab+=+13.数量积与夹角公式:||||cosababθ⋅=⋅;cos||||ababθ⋅=⋅14.平行与垂直:1221//ababxyxyλ⇔=⇔=;121200ababxxyy⊥⇔⋅=⇔+=题型1.基本概念判断正误:(1共线向量就是在同一条直线上的向量。(2若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。(3与已知向量共线的单位向量是唯一的。(4四边形ABCD是平行四边形的条件是ABCD=。(5若ABCD=,则A、B、C、D四点构成平行四边形。(6因为向量就是有向线段,所以数轴是向量。(7若a与b共线,b与c共线,则a与c共线。(8若mamb=,则ab=。(9若mana=,则mn=。(10若a与b不共线,则a与b都不是零向量。(11若||||abab⋅=⋅,则//ab。(12若||||abab+=-,则ab⊥。题型2.向量的加减运算1.设a表示“向东走8km”,b表示“向北走6km”,则||ab+=。高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）全文共21页，当前为第11页。高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）全文共21页，当前为第11页。3.已知||5OA=,||3OB=,则||AB的最大值和最小值分别为、。4.已知ACABAD为与的和向量,且,ACaBDb==,则AB=,AD=。5.已知点C在线段AB上,且35ACAB=,则AC=BC,AB=BC。题型3.向量的数乘运算1.计算:(13(2(abab+-+=(22(2533(232abcabc+---+-=2.已知(1,4,(3,8ab=-=-,则132ab-=。题型4.作图法球向量的和已知向量,ab,如下图,请做出向量132ab+和322ab-。ab题型5.根据图形由已知向量求未知向量1.已知在ABC∆中,D是BC的中点,请用向量ABAC,表示AD。2.在平行四边形ABCD中,已知,ACaBDb==,求ABAD和。题型6.向量的坐标运算1.已知(4,5AB=,(2,3A,则点B的坐标是。2.已知(3,5PQ=--,(3,7P,则点Q的坐标是。3.若物体受三个力1(1,2F=,2(2,3F=-,3(1,4F=--,则合力的坐标为。4.已知(3,4a=-,(5,2b=,求ab+,ab-,32ab-。5.已知(1,2,(3,2AB,向量(2,32axxy=+--与AB相等,求,xy的值。6.已知(2,3AB=,(,BCmn=,(1,4CD=-,则DA=。7.已知O是坐标原点,(2,1,(4,8AB--,且30ABBC+=,求OC的坐标。题型7.判断两个向量能否作为一组基底1.已知12,ee是平面内的一组基底,判断下列每组向量是否能构成一组基底:A.1212eeee+-和B.1221326eeee--和4C.122133eeee+-和D.221eee-和2.已知(3,4a=,能与a构成基底的是(A.34(,55B.43(,55C.34(,55--D.4(1,3--题型8.结合三角函数求向量坐标1.已知O是坐标原点,点A在第二象限,||2OA=,150xOA∠=,求OA的坐标。2.已知O是原点,点A在第一象限,||43OA=60xOA∠=,求OA的坐标。题型9.求数量积1.已知||3,||4ab==,且a与b的夹角为60,求(1ab⋅,(2(aab⋅高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）全文共21页，当前为第12页。+,(31(2abb-⋅,(4(2(3abab-⋅+。2.已知(2,6,(8,10ab=-=-,求(1||,||ab,(2ab⋅,(3(2aab⋅+,(4(2(3abab-⋅高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）全文共21页，当前为第12页。1.已知||8,||3ab==,12ab⋅=,求a与b的夹角。2.已知(3,1,(23,2ab==-,求a与b的夹角。3.已知(1,0A,(0,1B,(2,5C,求cosBAC∠。题型11.求向量的模1.已知||3,||4ab==,且a与b的夹角为60,求(1||ab+,(2|23|ab-。2.已知(2,6,(8,10ab=-=-,求(1||,||ab,(5||ab+,(61||2ab-。3.已知||1||2ab==，|32|3ab-=,求|3|ab+。题型12.求单位向量【与a平行的单位向量:||aea=±】1.与(12,5a=平行的单位向量是。2.与1(1,2m=-平行的单位向量是。题型13.向量的平行与垂直1.已知(6,2a=,(3,bm=-,当m为何值时,(1//ab?(2ab⊥?2.已知(1,2a=,(3,2b=-,(1k为何值时,向量kab+与3ab-垂直?(2k为何值时,向量kab+与3ab-平行?3.已知a是非零向量,abac⋅=⋅,且bc≠,求证:(abc⊥-。题型14.三点共线问题1.已知(0,2A-,(2,2B,(3,4C,求证:，ABC三点共线。2.设2(5,28,3(2ABabBCabCDab=+=-+=-,求证:ABD、、三点共线。3.已知2,56,72ABabBCabCDab=+=-+=-,则一定共线的三点是。4.已知(1,3A-,(8,1B-,若点(21,2Caa-+在直线AB上,求a的值。5.已知四个点的坐标(0,0O,(3,4A,(1,2B-,(1,1C,是否存在常数t,使OAtOBOC+=成立?题型15.判断多边形的形状1.若3ABe=,5CDe=-,且||||ADBC=,则四边形的形状是。2.已知(1,0A,(4,3B,(2,4C,(0,2D,证明四边形ABCD是梯形。3.已知(2,1A-,(6,3B-,(0,5C,求证:ABC∆是直角三角形。4.在平面直角坐标系内,(1,8,(4,1,(1,3OAOBOC=-=-=,求证:ABC∆是等腰直角三角形。题型16.平面向量的综合应用1.已知(1,0a=,(2,1b=,当k为何值时,向量kab-与3ab+平行?2.已知(3,5a=,且ab⊥,||2b=,求b的坐标。3.已知ab与同向,(1,2b=,则10ab⋅=,求a的坐标。3.已知(1,2a=,(3,1b=,(5,4c=,则c=a+高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）全文共21页，当前为第13页。高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）全文共21页，当前为第13页。4.已知(5,10a=,(3,4b=--,(5,0c=,请将用向量,ab表示向量c。5.已知(,3am=,(2,1b=-,(1若a与b的夹角为钝角,求m的范围;(2若a与b的夹角为锐角,求m的范围。6.已知(6,2a=,(3,bm=-,当m为何值时,(1a与b的夹角为钝角?(2a与b的夹角为锐角?7.已知梯形ABCD的顶点坐标分别为(1,2A-,(3,4B,(2,1D,且//ABDC,2ABCD=,求点C的坐标。8.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(2,1，B(1,3，C(3,4，求第四个顶点D的坐标。9.一航船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30角，求水流速度与船的实际速度。10.已知ABC三个顶点的坐标分别为A(3,4，B(0,0，C(c,0，（1）若ABAC0，求c的值；（2）若c5，求sinA的值。【备用】1.已知|a|3,|b|4,|ab|5，求|ab|和向量a,b的夹角。2.已知xab，y2ab，且|a||b|1，ab，求x,y的夹角的余弦。1.已知a(1,3,b(2,1，则(3a2b(2a5b。4.已知两向量a(3,4,b(2,1，求当axb与ab垂直时的x的值。5.已知两向量a(1,3,b(2,，a与b的夹角为锐角，求的范围。变式：若a(,2,b(3,5，a与b的夹角为钝角，求的取值范围。选择、填空题的特殊方法：1.代入验证法例：已知向量a(1,1,b(1,1,c(1,，则2c（13A.ab2213B.ab2231C.ab2231D.ab22）变式：已知a(1,2,b(1,3,c(1,2，请用a,b表示c。2.排除法例：已知M是ABC的重心，则下列向量与AB共线的是（A.AMMBBCB.3AMACC.ABBCAC）D.AMBMCM6广东省近八年高考试题-平面向量（理科）1.(2007年高考广东卷第10小题若向量a、b满足|a|=|b|=1，a与b的夹角为120，则aaab2.(2008年高考广东卷第3小题3.已知平面向量a=（1，2），b=（－2，m），且a∥b，则2a+3b=（A.（－5，－10）B.（－4，－8）4.(2009年高考广东卷第3小题（x,1），b=已知平面向量a=，则向量ab=（（－x,x2）．）C.（－3，－6）D.（－高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）全文共21页，当前为第14页。2，－4））A平行于x轴C.平行于y轴B.平行于第一、三象限的角平分线D.平行于第二、四象限的角平分线c=(3,x满足条件(8a－b·c=30，b=5.(2010年高考广东卷第5小题若向量a=（1,1），（2,5），则x=(A．6B．5C．4D．36.(2011年高考广东卷第3小题已知向量a高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）全文共21页，当前为第14页。(1,0,c(3,4．若为实数,(ab//c,则(B.12A．14C.1D.27.(2012年高考广东卷第3小题8．若向量BA(2,3，CA(4,7，则BC（A．(2,4B．(3,4C．(6,10）D．(6,109.(2012年高考广东卷第8小题对任意两个非零的平面向量,，定义．若平面n向量a,b满足ab0，a与b的夹角0,，且和都在集合|nZ中，则42baA．12B．1C．32D．52710.（2014广东省高考数学理科12）已知向量a1,0,1则下列向量中,与a成60夹角的是A．（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）8第五篇：高中数学竞赛讲义(八)平面向量高中数学竞赛讲义（八）──平面向量一、基础知识定义1既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a.|a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。定义2方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。定理1向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）全文共21页，当前为第15页。高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）全文共21页，当前为第15页。0，使得a=f定理3平面向量的基本定理，若平面内的向量a,b不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数x,y，使得c=xa+yb，其中a,b称为一组基底。定义3向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数x,y，使得c=xi+yi，则（x,y）叫做c坐标。定义4向量的数量积，若非零向量a,b的夹角为，则a,b的数量积记作a·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cos，也称内积，其中|b|cos叫做b在a上的投影（注：投影可能为负值）。定理4平面向量的坐标运算：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，1．a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2)，2．λa=(λx1,λy1),a·(b+c)=a·b+a·c，3．a·b=x1x2+y1y2,cos(a,b)=4.a//bx1y2=x2y1,abx1x2+y1y2=0.(a,b0)，定义5若点P是直线P1P2上异于p1，p2的一点，则存在唯一实数λ，使，λ叫P分所成的比，若O为平面内任意一点，则。由此可得若P1，P，P2的坐标分别为(x1,y1),(x,y),(x2,y2)，则讲义八/8定义6设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照向量a=(h,k)的方向，平移|a|=个单位得到图形，这一过程叫做平移。设p(x,y)是F上任意一点，平移到上对应的点为，则称为平移公式。定理5对于任意向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),|a·b|≤|a|·|b|，并且|a+b|≤|a|+|b|.【证明】因为|a|2·|b|2-|a·b|2=-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0，又|a·b|≥0,|a|·|b|≥0，所以|a|·|b|≥|a·b|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1,x2,…,xn)，高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）全文共21页，当前为第16页。高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）全文共21页，当前为第16页。(x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0，又|a·b|≥0,|a|·|b|≥0，所以|a|·|b|≥|a·b|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1,x2,…,xn),b=(y1,y2,…,yn)，同样有|a·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式：(x1y1+x2y2+…+xnyn)2。2）对于任意n个向量，a1,a2,…,an，有|a1,a2,…,an|≤|a1|+|a2|+…+|an|。二、方向与例题1．向量定义和运算法则的运用。例1设O是正n边形A1A2…An的中心，求证：【证明】记后与原正n边形重合，所以，若不变，这不可能，所以，则将正n边形绕中心O旋转例2给定△ABC，求证：G是△ABC重心的充要条件是【证明】必要性。如图所示，设各边中点分别为D，E，F，延长AD至P，使DP=GD，则又因为BC与GP互相平分，所以BPCG为平行四边形，所以BG所以PC，所以讲义八/8充分性。若因为，延长AG交BC于D，使GP=AG，连结CP，则，则，所以GBCP，所以AG平分BC。同理BG平分CA。所以G为重心。例3在凸四边形ABCD中，P和Q分别为对角线BD和AC的中点，求证：AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。【证明】如图所示，结结BQ，QD。因为所以==又因为同理，②，③高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）全文共21页，当前为第17页。高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）全文共21页，当前为第17页。。得证。2．证利用定理2证明共线。例4△ABC外心为O，垂心为H，重心为G。求证：O，G，H为共线，且OG：GH=1：2。，·①【证明】首先=其次设BO交外接圆于另一点E，则连结CE后得CE又AH又EABC，所以AH//CE。AB，CHAB，所以AHCE为平行四边形。讲义八/8所以所以所以所以与，共线，所以O，G，H共线。所以OG：GH=1：2。3．利用数量积证明垂直。例5给定非零向量a,b.求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是a【证明】|a+b|=|a-b|(a+b)2=(a-b)2b.a·b=0ab.a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2例6已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，D为AB中点，E为△ACD重心。求证：OECD。【证明】设，则，又，所以a·(b-c).（因为|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2）又因为AB=AC，OB=OC，所以OA为BC的中垂线。所以a·(b-c)=0.所以OECD。4．向量的坐标运算。例7已知四边形ABCD是正方形，BE//AC，AC=CE，EC的延长高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）全文共21页，当前为第18页。高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）全文共21页，当前为第18页。讲义八/8【证明】如图所示，以CD所在的直线为x轴，以C为原点建立直角坐标系，设正方形边长为1，则A，B坐标分别为（-1，1）和（0，1），设E点的坐标为（x,y），则y-1),又因为，因为，所以-x-(y-1)=0.=(x,，所以x2+y2=2.由①，②解得所以设所以所以，则，即F=4+。由和，共线得，所以AF=AE。三、基础训练题1．以下命题中正确的是__________.①a=b的充要条件是|a|=|b|，且a//b；②(a·b)·c=(a·c)·b；③若a·b=a·c，则b=c；④若a,b不共线，则xa+yb=ma+nb的充要条件是x=m,y=n；⑤若在b=(-3,4)上的投影为-4。2．已知正六边形ABCDEF，在下列表达式中：①③；④与，相等的有__________.；②；，且a,b共线，则A，B，C，D共线；⑥a=(8,1)3．已知a=y-x,b=2x-y,|a|=|b|=1,a·b=0，则|x|+|y|=__________.4．设s,t为非零实数，a,b为单位向量，若|sa+tb|=|ta-sb|，则a和b的夹角为__________.5．已知a,b不共线，条件.6．在△ABC中，M是AC中点，N是AB的三等分点，且于D，若7．已知__________.8．已知=b,a·b=|a-b|=2，当△AOB面积最大时，a与b的夹角为__________.讲义八/8=a+kb,=la+b，则“kl-1=0”是“M，N，P共线”的__________，BM与CN交，则λ=__________.不共线，点C分所成的比为2，则9．把函数y=2x2-4x+5的图象按向量a平移后得到y=2x2的图象，c=(1,-1),若c·b=4，则b的坐标为__________.，10．将向量a=(2,1)绕原点按逆时针方向旋转得到向量b，则b的坐标为__________.与11．在Rt△BAC中，已知BC=a，若长为2a的线段高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）全文共21页，当前为第19页。高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）全文共21页，当前为第19页。12．在四边形ABCD中，如果a·b=b·c=c·d=d·a，试判断四边形ABCD的形状。四、高考水平训练题1．点O是平面上一定点，A，B，C是此平面上不共线的三个点，动点P满足则点P的轨迹一定通过△ABC的________心。2．在△ABC中，3．非零向量=__________.4．若O为△ABC的内心，且为__________.5．设O点在△ABC内部，且__________.6．P是△ABC所在平面上一点，若__________心.7．已知，则||的取值范，则P是△ABC的，则△AOB与△AOC的面积比为，则△ABC的形状，且a·b<0，则△ABC的形状是__________.，若点B关于所在直线对称的点为B1，则围是__________.8．已知a=(2,1),b=(λ,1)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是__________.9．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则值为__________.10．已知集合M={a|a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R}，集合N={a|a=(-2,-2)+λ(4,5),λ∈R},mjMN=__________.讲义八/8的最小11．设G为△