单自由度系统在简谐激励下的受迫振动

第二章单自由度系统在简谐激励下的受迫振动

2.1.1振动微分方程2.1.2受迫振动的振幅B、相位差的讨论2.1.3受迫振动系统力矢量的关系2.1.4受迫振动系统的能量关系2.1.5等效粘性阻尼2.1.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段

受迫振动－激励形式－系统在外界激励下产生的振动。

外界激励一般为时间的函数，可以是周期函数，也可以是非周期函数。

简谐激励是最简单的激励。一般的周期性激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的叠加。有阻尼系统在简谐激励力作用下的运动微分方程

微分方程全解：齐次方程的解加非齐次方程的特解齐次解:x1(t)特解:x2(t)有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解2.1.1振动微分方程

2.1.1振动微分方程简谐激振力以平衡位置O为坐标原点，x轴铅直向下为正，物块运动微分方程为具有粘性阻尼的单自由度受迫振动微分方程，是二阶常系数线性非齐次常微分方程。

有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解

x2(t)-有阻尼系统简谐激励响应中的特解是指不随时间衰减的稳态响应：2.1.1振动微分方程它与激励同频，但有一个相位差简谐激励下的全解、瞬态振动和稳态振动

可见，对于工程实际来说，更关心的是稳态振动，因为瞬态振动只在振动开始后的一段时间内才有意义。Bysubstitutingtheparticularsolutiontobedeterminedintothedifferentialequationofmotion

Wearriveat

Usingthetrigonometricrelations

Equatingthecoefficientsofandonbothsidesoftheresultingequation,weobtainSolutionoftheaboveequationgivestheamplitudeandphaseangleofthesteadystateresponseofthedampedmass-springsystemunderharmonicexcitation:稳态受迫振动的振幅与滞后相位差均与初始条件无关，仅仅取决于系统和激励的特性。2.1.1振动微分方程2.满1.妇2受迫进振动冰的振库幅B、相送位差税的讨叉论在低粮频区般和高倦频区见，当撇<<桑1时，吃由于愈阻尼委影响桥不大项，馋为了很简化参计算聋，猴可将订有阻塘尼系竖统简稠化为滩无阻散尼系训统。2.拆1.嗓2受迫唉振动饼的振阁幅B、相泪位差各的讨奶论幅频剧特性鸭与相狱频特旺性1、＝0

的附近区域(低频区或弹性控制区)，＝0，响应与激励同相；对于不同的值，曲线密集，阻尼影响不大。2、>>1的区域(高频区或惯性控制区)，，，响应与激励反相；阻尼影响也不大。3、＝1的附狮近区般域(共振屈区)，急剧钓增大台并在＝1略为偏左督处有昨峰值吧。通衣常将＝1，即＝pn称为稻共振列频率索。阻尼购影响棒显著洒且阻搁尼愈邀小，丙幅频犁响应荣曲线劫愈陡柳峭，毅峰值斧越大丈。4、在相谋频特档性曲伙线图茅上，有无论去阻尼帮大小摸，＝1时，萌总有董，＝/2地,这也腊是共档振的户重要悼现象钉。2.粗1.烤2受迫缺振动篇的振禁幅B、相知位差誓的讨痰论5品质紧因子苏与半篇功率哨带宽共振(仍按访考每虑)时的业放大括因子自称为涛品质因子妈。由胡前面悠的公旁式得品质狱因子陪与半急功率肯带宽在＝1两侧积，幅频克特性好曲线禁可以湾近似扭地看冰成是威对称的潮。放不大因淹子为荷的师两个史点称酸为半法功率弯点。对应桥于这浅两个掩点的喇激励裹频率明分别烤为触和毯，它蚁们的差哥称为忽半功举率带咏宽。满利用松放大亏因子的表垃达式妥，可宅以求飘得两坏个半滴功率胸点对追应的击频率比，盾即外却激励续频率所，注独意到既可得品质眼因子负反映傅了系阵统阻执尼的居强弱通和共派振峰孟的陡昌峭程帮度。搁利用和上式朽，可床以根际据试搭验估踏算品陷质因坦子或割阻尼碍比。例题.质量写为M的电延机安防装在熟弹性乳基础考上。欣由于玻转子浙不均钓衡，给产生卷偏心泽，偏房诚心距闭为e，偏漂心质裕量为m。转郑子以往匀角吃速w转动正如图押示，拔试求味电机江的运拌动。粉弹性铜基础曾的作叉用相拘当于渐弹簧肃常量跟为k的弹卵簧。占设电馅机运经动时帐受到笑粘性逃欠阻修尼的著作用鼠，阻泳尼系奶数为c。解：取电着机的挪平衡火位置蔑为坐蛮标原输点O，x轴铅朽直向热下为津正。哨作用眼在电首机上楼的力著有重苗力Mg、弹肿性力F、阻障尼力FR、虚偿加的楼惯性落力FIe、FIr，受称力图鉴如图税所示。转子任偏心去引起情的受嘴迫振颈动根据浑达朗们贝尔费原理束，有=h转子截偏心幻玉引起洪的受还迫振漫动电机作受迫振动的运动方程为当激氧振力焰的频碎率即时电机敏转子夕的角执速度朋等于史系统猜的固前有频逐率pn时，芬该振牌动系里统产粘生共阅振，片此时伸电机帝的转堤速称愚为临戒界转作速。阻尼比z较小时，在l=1附近，b值急剧增大，发生共振。由于激振力的幅值me2与2成正比。当→0时，≌0，B→0；当>>1时，→1，B→b，即电机的角速度远远大于振动系统的固有频率时，该系统受迫振动的振幅趋近于。

幅频瞧特性折曲线冻和相躬频特拢性曲皆线转子浴偏心磁引起册的受剃迫振籍动简谐翁力和型转子到偏心佛引起恭的受律迫振掩动的汉比较Th匙e钓fo旋rm些o摇f抢th盒is物e吓qu惊at促io忍n烫is迹i不de拢nt拔ic勤al耳t复o耳th姨at咸o傍f统Eq研.,外w旁he困rezre竞pl舅ac侧esxan洒d蹈re涌pl宽ac进es鸽.th会e往di序ff剃er做en绒ti令al稠e岗qu捉at授io叙n歇of肾m胀ot搬io昏n库isMa寒ki罪ng脱t傻he定s配ub暗st汁it送ut疗io捞nEq矮.控be筋co置me乘swherey=Yhasbeenassumedforthemotionofthebase.Th株us卫t天he嘴s与ol凑ut射io粗n奴ca精n苗be失i肾mm夕ed甘ia堆te朽ly货w鼻ri透tt近en嫌a揉sRe通sp呈on尿se楼o欠f竿a堂d眉am压pe瓶d京sy绘st您em申u睡nd街er怪t耕he朝h途ar壳mo例ni钓c央mo炊ti攀on征o烘f帅th环e咽ba语seIf晃t游he私a寄bs桌ol呜ut椒e巴mo杏ti裹onxof罚t描he滩m丧as系s彼is形d张es音ir黑ed勒,婚we膏c模an腔s喘ol睡ve割f缝orx限=抬z童+袜y.盐Us论in稿g迎th漆e定ex裙po罪ne贝nt慢ia备l刚fo览rm烧o泰f伯ha毛rm演on干ic掏m热ot授io肢n垦gi板ve靠sSu罪bs拦ti滨tu抽ti洗ng停i摘nt爪o度Eq钻.,胞w静e辰ob扩ta挡inan掌dRe锁sp阿on寺se巨o汉f屡a烈d侄am锤pe汗d箱sy通st垃em系u和nd模er蒜t鹿he政h狸ar铸mo膀ni麦c支mo肆ti址on射o弯f型th任e卡ba批seTh唉e学st勒ea混dy钟-s访ta织te配a骨mp被li伯tu粒de津a讨nd扣p雨ha绒se惰f往ro谣m盆th租is毕e产qu厘at牺io由n永ar参ean丧dRe盾sp骂on毛se挂o慕f都a己d储am扇pe夏d垂sy狡st姨em样u粥nd痕er雄t弦he尘h退ar件mo回ni艇c豆mo仅ti滚on牺o填f垂th辱e腾ba爱seRe娇sp侨on彩se没o告f身a蕉d全am樱pe卵d睛S.滩D.扮O.耕F.暂s辨ys海te团m见un冷de京r躬th义e辨ha棕rm雹on李ic票m猫ot甲io津n晒of载t悔he狭b樱as窝eSt睁op竹h病er望e馅af水te挨r夏10册0蚕mi元nu狮te寻s幅频开特性敏曲线霜和相站频特夸性曲哄线也可理以不尤按相洲对运毛动求堵解（肃见郑计兆昌《机械舒振动》），草而直唉接求胡解质文量块榜的绝押对运窃动。示此时完的运堡动微遵分方修程为即相惊当于箩质量屠块受看到了喷两个顷简谐熄激励顽的作皆用。情不论是芽利用想三角收函数怪关系姿还是沟利用术复指氧数函送数，租所得结蜓果与住上述概结果求相同乳。受迫驰振动交系统雾力矢孤量的舰关系已知俯简谐雁激振献力稳态博受迫讲振动疑的响游应为现将各力分别用B、的旋转矢量表示。应用决达朗蜡贝尔因原理侍，将弹簧俱质量则系统写成式不识仅反躺映了赶各力莫间的校相位灾关系巨，而姐且表学示着斩一个准力多决边形丘。惯性力阻尼力弹性力激振力（a）力栏多边告形(b菌)z＜＜1(c若)z=夏1(d裹)z＞＞1受迫谁振动粘系统皱力矢岭量的包关系受迫文振动莲系统识的能剃量关邀系从能弓量的替观点脸分析望，振粗动系拦统稳景态受亮迫振锐动的应实现得，是眼输入衫系统悼的能异量和腰消耗扯的能侄量平扰衡的浪结果步。现渴将讨顺论简健谐激也振力伐作用歪下的州系统新，在估稳态列受迫粪振动嫂中的舌能量五关系壳。受迫灯振动旁系统川的稳碎态响放应为周期1.激振授力在系统发生共振的情况下，相位差，激振力在一周期内做功为，做功最多。

对于无阻尼系统(除共振情况外)相位差。因此，每一周期内激振力做功之和为零，形成稳态振动。

或2.粘性阻尼力做的功上式摧表明益，在思一个弯周期患内，治阻尼扒做负皱功。占它消据耗系缎统的蚂能量就。而柔且做嘉的负仓功和扛振幅B的平湿方成余正比辰。由湖于受高迫振港动在溪共振疮区内布振幅贵较大寸，所拐以，言粘性你阻尼卧能明斑显地艰减小戚振幅箱、有炸效地敏控制失振幅泄的大复小。绞这种窑减小脚振动践的方传法是烫用消焰耗系笔统的票能量挤而实乳现的缝。受迫课振动焦系统围的能骆量关瓣系3.弹性力做的功能量户曲线表明持弹性灶力在扛一个摸振动烘周期摇内做忧功之烈和为里零。在一肥个振科动周寒期内补激振作力做慰功之刷和等忍于阻付尼力堪消耗栏的能漆量受迫肢振动虚系统嫌的能亩量关鸟系简谐炸激励六作用遇下受不迫振演动的涝过渡奔阶段系统殿在过速渡阶能段对毅简谐舱激励谋响应滋是瞬僻态响贪应与斑稳态抬响应率叠加羽。先考孙虑在肥给定恨初始骗条件移下无把阻尼顿系统则对简筹谐激滩励的情响应,系统鹅的运顺动微巩分方争程和沙初始从条件牌写在隶一起侨为通解滥是相笛应的趋齐次妨方程寇的通句解与晃特解筋的和,即根据睁初始贼条件末确定C1、C2。于踏是得屑到全导解为其特先点是风振动陡频率假为系绪统的本固有习频率,但振伸幅与线系统浊本身辆的性注质及摸激励达因素津都有货关。无激励时的自由振动系统对初始条件的响应对于鞋存在移阻尼拴的实腰际系粪统,自由类振动请和自破由伴塔随振粘动的酬振幅熊都将棋随时起间逐甘渐衰为减,因此绢它们斩都是摊瞬态泛响应地。稳态强迫振动伴随激励而产生自由振动,称为自由伴随振动简谐定激励皂作用奇下受霉迫振梢动的悲过渡征阶段共振猪时的庄情况假设淘初始洒条件竖为由共振的定义,时上式是型,利用洛必达法则算出共振时的响应为

简谐早激励急作用死下受企迫振弹动的池过渡烤阶段可见,当时,无阻尼系统的振幅随时间无限增大.经过短暂时间后,共振响应可以表示为此即共振时的受迫振动.反映出共振时的位移在相位上比激振力滞后,且振幅与时间成正比地增大

简谐巾激励焰作用喊下受简迫振跑动的颗过渡脾阶段图共振时的受迫振动有阻睛尼系昆统在首过渡欺阶段踩对简刺谐激织励的西响应.在给汽定初娇始条秋件下唯的运浓动微唤分方守程为全解跨为式中简谐韵激励舒作用签下受股迫振靠动的紫过渡杂阶段如果梨初始尖位移吗与初患始速厕度都拖为零肉，则件成为可见揉过渡亡阶段羞的响堵应仍愈含有裹自由罢伴随湖振动善。简谐磨激励俩作用页下受匪迫振鸡动的逃过渡蚂阶段过渡阶段的响应

在简飞谐激制励的璃作用供下，寇有阻平尼系销统的总响本应由妈三部所分组娘成无激炎励时单自由附振动改的初经始条罚件响熄应，精其振取幅与候激励芳无关失。伴随注激励袜而产践生的北自由佩振动欧－自慈由伴柳随振遣动，融其振跳幅不瓶仅与匹系统旬特性娇有关躺，而尚且与菊激励壁有关暴。以激教励频摸率作学简谐碑振动溉，其参振幅鹅不随唇时间捆衰减光－稳景态受徒迫振欲动。第一疲部分鹅和第校二部跌分振乒动的劫频率允都是云自由梢振动妙频率pd；由于旱阻尼米的作切用，窜这两刑部分庸的振萍幅都团时间军而衰牛减。简谐别激励格作用改下受滤迫振改动的其过渡挪阶段若系是统无漠阻尼链，即栏使在渗零初赏始条凑件下漫，也荒存在坏自由伴胞随振窄动项声，并伙且由睁于无赞阻尼揭，因女而振证动不华会随时间掩衰减脑。因此剧，无只阻尼洪系统牲受简丹谐激笋励产还生的渡受迫涨振动秃，一般帝总是pn和煎两既个不弃同频终率简反谐振塘动的紧叠加说。简谐政激励两作用总下受垂迫振遮动的根过渡竹阶段2.继1.疼6阻尼