高等数学作业册

1.1函数的概念及基本性质

1.求函数/U)=半;2的定义域.4.设函数/(x)=l-ln(2x+1)，求其反函数

A/5-X

尸匕).

3,

2求.函数/(%)=，一।=+arcsin(1-2工)的5.设函数/(x)=£■不求其反函数/T(x).

Jlg(3-x)

定义域.

TTTT

6设.函数f(x)-3cos2x,(---<x4—),求

]—Y44

3.求函数y=arcsin——-的定义域及其反

2其反函数

函数.

7.若f(x)=ax5+bf+cx+1,(为非零10.函数y=sin—是定义域内的（）

X

A.周期函数B.单调函数

常数)，且/⑵=5,求/(—2).

C.有界函数D.无界函数

11.设/（X）是定义在［—/,/］上的任意函数，

证明：f（x）+f（-x）是偶函数；

是奇函数.

8./（x）=|sinA|在其定义域（-。。,+8）上

是（）

A.奇函数B.非奇函数又非偶函数

C.最小正周期为2兀的周期函数

D.最小正周期为7t的周期函数

设）,定义域为

9.12.证明:函数在区间【上有界的充分与必要条

件是:函数在I上既有上界又有下界.

（-00,+00）,则/（X）为（）

A.有界函数B.奇函数

C.偶函数D.周期函数

2

1.2常见函数

4.设函数g(x)=x+1,当XHO时，有

1.若，(x)=2，求/[/(幻],"3卜

।-X/W1—x1

〃g(x)]=——求生-).

X

21、

5.设/(x+—)=AH，求f(%)­

XX

2.设函数/(x)=2x+5,^/[/(x)-l].

6.设/(x)=」一=Jex-1,求

，(p(x)

1+X

/[<p-，(x)].

3.设/(x+l)=x2+2,求/(X-2)

3

4

2.1函数的极限

1.f(x)在点及)处有定义是极限lim/(%)

为偶数

5.设数列%=1〃-2，试判断该

存在的()

伫工,〃为奇数

A.必要条件B.充分条件

12〃

C.充分必要条件D.既非必要又非充分条件

数列的极限是否存在？

2.若lim/(x)=A(A为常数)，则当

XT%)

XT■沏时，函数f(x)-A().

A.无穷大量B.无界,但非无穷大量

C.无穷小量D.有界，而未必为无穷小量

3.下列极限中，不正确的是()

1

A.lim(x+1)=4B.limex=0

13xf0

「/1、；八sin(x-1)八

C.hm(-)A=0D.hm--——-=0

XfO2XTlx

4.判断对错并说明理由：

(1)若lim|a〃|=a,则lima”=a.

6.已知/(x)=3/+2/lim/(x)，且

l、i*/(x)存在，求/(%).

⑵如果|/(x)|>V(M为常数)，则/(x)为

无穷大.

(3)当X->oo时,e,为无穷大量.

5

x

e-2,x>0arctanx<0

7.设/(x)=1,x=0,求lim/(%).x,试求

.v->09.设y(x)=<

-2八

x-cos<0arccotx>0

lim./(x).imf(x)，limf(x).

x->0xt0+Jx->0」

1-X,X<—1

8.设/(x)=«COS——,-1<X<b求

210.证明题：设函数）=/（入）在（-00,+00）单

x-1,X>1

调增加，并且对任何x有/（X）Wg（x）,求证

lim/(x),lim/(x).

A->-1X-

6

2.2函数极限的性质及运算法则（一）

1.计算下列极限/八1-Jl+X—Jl—x

(4)hm--------------

⑴lim(J及-27n+2)5%

“f8

(2x+3)50

22

(6f+x)-a(5)lim-------------2(r

(2)lim-------------(2x-l)3(x+1)

X

2

--x-6x+8

(3)lim-^---------

Ix2-5x+4

⑹lim+-----!-----

""1x33x55x7(2/7-l)(2n+1)

7

3.设lim()i=J,求〃值.

l+X—x+4

⑺！*7产xtex-a

2+l

(8)limx^---(3+cosx)

…工、+x

f+1

2.若lim-----—ax-0)=l，求a,0.

58X-lL

8

2.2函数的性质及运算法则（二）

1.利用等价无穷小代换计算

(4)lim(-------—)

tanxsinx

ln(l+2tanx)

(1)hm—----------

a。sin(3x)

「arcsin3x

(5)hm^-------

…V1+x-1

(2)limUrCsinX)4

x(1-cosx)

小1•tanx-sinx

5xi(6)lim----------

e—1ktosin32x

(3)lim---------

ln(l+2x)

9

(7)l.im,—Jl4-fix)-tanx-1

3。Jl-cos2x4.已知£limy-、---------=3，

，T。e

求lim/(x).

x->0J

2.当XT0时，

J1+tanx-Vl+sinx〜'J,求攵的值.

4

5.当x—>0时，/(x)与1一cosx等价，求

l.im.--/--(-X--)-

xsinx

3.当x—>co时，若o~，求

ax+bx+cx+\

a,b,c的值。

i

6.若当xf0时,a(x)=(1+6FX2)3一1与

0(x)=cosx-l是等价无穷小，求。值.

10

2.3经济管理中的例子2.5函数的连续性

1.设本金为p元，年利率为r,若一年分

人\一\Jl+X_Jl-x

为“期，存期为/年，则本金与利息之和⑶/(x)=

X

是多少？现某人将本金p=1000元存入银

行，规定年利率为r=0.06〃=2,请按季

度、月、日以及连续复利计算本利和，并作

出评价.

[0x<l

(4)f(x)=<2x+11<x<2

1+x22<x

2.某大学生在大学四年上学期间，每年9月

初从银行借款4000元用以支付一年学费，

若按年利率为6%的连续复利计算，毕业后一

次归还全部本息需要多少钱？

fln(l+x)

----------x>0

⑸f(x)=\\

.1sinx八

xsin—H-----x<0

3.求下列函数的间断点，判断其类型.若为可{XX

去间断点，请补充使之连续.

x-2

⑴/(x)=2u/

x-5x+6

X

⑵/(x)=——

tanx

11

⑶设/(x)=lim上]+。X，求/(x)的间断

/+1,x<0

点.

4.⑴设/(公=，k,x=0是连续函

sin2x

x>0

Ix

数，求z.

1-

冗sin—+/,x<05.(1)证明方程f-2d+5/+1=0至少有

X

一个实根.

(2)设/(x)=<k+\,x=0，求:

—sinx-1,x>0

X

(a)lim/(x),limf(x)；

XTOX->0

(b)上为何值时，/(x)在定义域内连续

(2)证明方程xex=2在(0,1)内至少有一个实

根.

12

第2章综合练习

判断题5.当x->0时;InU+x?)是比1-cosx的

1.如果|/(无)|>M(M为一个常数)).

A.低阶无穷小B.高阶无穷小

C.等价无穷小D.同阶但不等价无穷小

则/(x)为无穷大.()

2.如果数列有界，则极限存在.()

3.若，则lim。.()

n->oo1।n-x®

4.如果a□p,则a-0=o(a).()6.当x-0时，下列无穷小量中与x等价的是

5.函数/(x)=L在闭区间内必取得最)._

XA.2x2-XB.yfx

大值和最小值.()C.ln(l+x)D.sin2x

二.选择题

1.如果lim=a,则数列4是()•

n—>oc

A.单增数列B.单减数列

C.有界数列D.发散数列

2.如果函数/(X)在点看的某邻域内恒有7.设〃x)='"。在x=0处

[ax=0

\f(x)\<M(M是正数)，则函数/(x)在该

连续，则。=()

邻域内().

i11

A.极限存在B.连续C.有界D.无界A.1B.—1C.—D.--

22

3.lim(」产的值为().

XT8X-1

12

A.eB.-C.€D.O

arcsin(x-l)

8.设/(X)，则x=1是f(x)的

x2-l

().

A.连续点B.可去间断点

C.跳跃间断点D.第二类间断点

4.下列等式成立的是().

i.sinxisinx

A.hm-----=1B.lim

・DXx->0x

tanxsinx

C.limD.lim1

A->()xX->00x

13

9.设二.求下列极限

2x

l+(x+l)sin—^―,x<-11.lim------

XT°tan5x

x+1

y(x)=Ji,i<x<o,

arctanx,x>0

则().

J+］、

2.---------(3+cosx)

A.f(x)在x=-1处连续，x=0处不连续X—X'+X

B./(x)在x=0处连续，x=-1处不连续

C./(x)在x=—1,0处均连续

D./(%)在x=—1,0处均不连续°X2+l.1

3.lim-----sin-

xex-1X

Jl+xsinx-l

4.lim-------------

f)1一cosX

10.下列方程在［0,1］上有实根的是().

A.sinx+X--=0

2

2

B.x~+3x+l=0

C.arcsinx+3=0

1八

D.x-smx+-=0

2

..sinx

5.lim---

'I兀X一兀

14

6.limn[\n(n+2)-Inn]yjx4-4

"T8

10.lim-/

，"我+2

7.lim(\lx-yfx-yjx^-y/x)11.limV7(Jx+2-Jx-3)

X—H<0

12.当W<1时，求极限

32

r\lx+X

8.hm--------lim(l+x)(l+¥)…(1+/‘)

1。+x+sinx

三.计算题

n-x+sinx

9.lim.—1.求人的值，使lim^——^—^=4.

A/1+X-1-3X-3

15

<x+2rY四.设/(x)在闭区间［0,1］上连续，且

2.设lim-----=e»求c的值.

•flx-\）

/(0)=/(1).证明必存在一点使

/（&+；）=/《）.

3.设函数f（x）=lim1+，（xW0），求

r—>+<»I（）

/（In2）

4.设p（x）是多项式且

lim&N2,1面^^=1,求0（力

x

16

3.1导数的概念

1.选择(5)设函数f(x)=卜3-l|q)(x),其中(p(x)在

(1)已知/'(%))=A，则

X=1处连续，则9(1)=0是f(x)在X=1处

可导的()

lim/(x0-Ax)-/(x0)=()

-AxA.必要不充分条件

B.充分不必要条件

A.-AB.2AC.AD.-2AC.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

(2)函数/(x)在点沏连续是/(X)在点X。可

导的()

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

f2xx>1

2.判断函数/(x)=\,在分段点

(3).设函数/(x)在x=0处可导，且[xX<1

/(0)=0,则吗)处是否可导，若可导，求出其导数.

A.f'(x)B.尸(0)

C.不存在D.oo

(4).设/(X)是可导函数，且满足条件

lim[⑴Td)=T,则曲线3.设/(x)=x(x-l)(尤一2)…(x-100),

XT。2x

y=/(x)在点(L/(l))处的切线斜率为求广⑴.

()

A.2B.-1C.-D.-2

2

17

「一+〃x>11

]o%=1,试问a,b,c分别xarctan=,x=0n…

4.已知〃x)=7.设/(x)=«X，则

^hx+cX<1[0,x=0

为何值时，/(X)在(一8,+00)可导？(1)f(x)在x=0处是否连续？

(2)/(x)在x=0处是否可导？

(3)求广求).

5.若/(X)满万二条件/(l+x)=4(x)，且

7(0)=b(常?取。力70),求广(1).

8.若广(。)存在，证明：

lim上伍)一山(X)=/⑷,矿⑷.

x-a

ax~+b,x>1

6.设/(X)=・兀，f(x)在

XCOS—X,X<1

2

X=1可导，求a.b.

18

3.2求导法则（一）

1.选择

（1）设y=e"*）且/（x）二阶可导，则

y〃=()

2.求下列函数的导数

A.B.

sinx

(1)y=

c.ef(x)[fXx)f"(x)]X

D-efM{[f(x)f+f\x)}

2

⑵y=xarctanx+cose

⑵设小+2）=］，则/“（）

1_1

AB

2

d)2U+l)2(3)y-cos(x-x).

1

c.----D.———

x+1x-\

=ln(x+ylx2+/)

(4)y

⑶已知y=sinx,则y"°)=()

A.sinxB.COSX

C.-sinxD.-COSX

xx

⑸y=f(e+e-),/(“)可导

/cos}XNO,其导数在

(4)设/(X)=<

0,x=0

x=0处连续，则X的取值范围是（）

A.X>1B.九<1

C.k>2D.X<2

19

3.求下列函数在给定点的导数.6设.f(sinx)=3-2cos2x,求/'(x).

⑴y=d+3，，求y⑴

2、+办

(2)y———，求—7.证明双曲线xy=/上任一点处切线与两坐

xdxX=1

标轴构成的三角形的面积等于2a2.

4.设/(x)=sin'1+cos2x,求：/<27)(TI).

8.设函数/(x)在x=2的某邻域内可导，且

5已.知/(x)=ln(x+1),求/(〃)(%).

/八)=/%/⑵=1,求广⑵.

20

3.2求导法则（二）

2f

1.设g是/的反函数，且/(4)=5和(4)arctan)=Inyjx+y2,求y

X

2

r(4)=],求g'(5).

.dy

(5)ysinx-cos(x+y)=0,求一

2.求下列隐函数的导数dx

⑴孙求y,丫］匕*）

(2)sinxy+」-=0,求y'3.

八、出ax+bt(")

孙(1)右y=-----7，求y

ex+a

(3)4x+y[y=J2,求y'

(2)右y=、，求y

x(l-x)

21

4.求下列函数的导数4.求下列参数方程确定的函数的导数

八\sinx_p.，

(1)y=x，求y2

x=ln(l+r~)4dy

⑴〈，求上

[y=r-arctantdx

曾3

(2)y=j

|(x-3)(x-4)

⑵尸=’")，广⑺存在且不为),

=07(，)

求空

dx

22

3.3微分3.4经济中的例子

1.选择(4)一元函数连续是可导的()；一元函数可

导是可微的().

⑴d(xe”)=()

A.必要条件

B.充分条件

A.exdxB.xd(ex)

C.充要条件

D.既非充分条件又非必要条件

C.xexdxD.(1+x)exdx

(5)函数/*)=(丁一x—2)k3不可微点

的个数是().

A.3B.2C.1D.0

(2)如果函数y=/(x)有/'(x0)=则当

Axr0时/(x)在x=x()处的微分dy是

()

A.与Ax等价无穷小；

B.与Ax同价无穷小但不是等价无穷小

C.比Ax高阶无穷小

D.比Ax低阶无穷小2.求下列微分

(1)y=(x-tanx)sinx求

(3)设函数/(〃)可导，y=/(J)当自变量

x在x=-1处取得增量Ax=-0.1时，相应

的函数增量Ay的线性主部为0.1,则

2

(2)y=arccosy/1-x求dy\x=\_

/⑴=()~2

A.-1B.0.1C.1D.0.5

23

(3)xy+lny=l求时日)5.某商品的需求函数为Q=75-p2(p为价

格，Q为需求量)

(1)求P=4时的边际需求；

(2)求P=4时的需求弹性，说明经济意义；

(3)尸=4时，若价格上涨1%,总收益变化百

分之几？

(4)P为多少时，总收益最大？最大总收益是

多少？

3.利用微分求arctan1.02的近似值.

4.已知测量球的直径D时有1%的相对误

差，问用公式V=3计算球的体积时，

6

相对误差有多少？

24

4.1中值定理

1.检验下列函数在给定区间上是否满足

3.对于函数/(x)=X3,求在区间［0,1］上满足

Rolle定理:

⑴y=丁-5%+6,[2,3]

拉格朗日定理的

(2)y=/,,[0,2]

W-1)-

(3)y=xe-',[0,l]

(4)y=V/,[-l,l]

4.设/(x)=(x—l)…(x—100),研究方程

/'(x)=0有几个实根？

7r

2.求函数y=lnsinx在区间(巴，把SIT)上满

66

足罗尔定理公式中的匕.

25

5.证明等式

7.设/(x)在［a,可上连续,在(a,b)内可导,

71

arctanx+arccotx=—.

2

证明在(a,b)内至少存在一个&,使得

"(.R⑷=/《)+自广心)

b-a

6.利用拉格朗日中值定理证明当x>0时有

ln(l+x)-Inx>——.8.已知/(x)在［0,1］上一阶可导，且/⑴=0,

1+X

试证：存在点&e(0,l)使/0)+?」()=0.

26

4.2洛4Z、达法则

,4.ln、，l+5x3

1.求hm---------.5.求lim——.

+8_2_

e而

ccos3x

2.求hm------.1

cos5x

26.求limx2.

Xf0.

e-4jrIn3x

3.求lim----.

fInx7.计算limlnxln(l+x).

Xf0，

tan2x-sinx

4.计算hm------------.

1。X8.计算lim(，-----—)

1。广tan-x

27

12.求lim(L)E.

9.求---------).

'x-1x-i1。'X

i

10.求lim(e"-5x)x.

XT+<3O

13.lim(sinx)v.

x->0+

1

11.ifMlim(2sinx+cosx)'..

x-»014.当a4为何值时，

..,sin3xa„

吧(3+2+加=0・

XX

28

4.3泰勒公式

1.求函数，(x)=xe'的〃阶麦克劳林公式.4.按(X+1)的乘幕展开多项式

3x3+2x2-x+2.

2.求函数f(x)=sinx2的n阶麦克劳林公式.

5.求函数/(x)=,在的=一1处的二阶泰

X

勒展开式.

3.求函数/(x)=cosx的三阶麦克劳林公

式.

29

2_____

—+1-V1+A：28.设/（X）在上具有〃阶导数，且

6.求极限lim^-------^―.

(cosx-e、)x~/（0）=/⑴=广（。）=…=/f（0）=o,

证明在（0,1）内至少存在一点虞使

/气）=0.

7.利用ln(l+x)的展开式求In1.5的近似值.

30

4.4函数的上自调性与极值

1.选择题

(1)以下说法正确的是()

A.极大值一定大于极小值；

B.最大值一定是极大值；

C.极值一定在区间内部取得；

D.极小值一定是最小值.

(2)对于函数，(x),有广(即)=(),/(为)不存

在，贝lj()

A.Xo，X1都是极值点；3.求函数y=x?Inx在［l,e］上的最值.

B.只有X。是极值点；

C.而,再都可能不是极值点；

D.Xo，X］至少有一个是极值点.

(3)已知/(x)在［。,句上连续,(。/)内可导，

f(a)<0.当xe(a,b)时有/'(x)>0,

则()

4.利用函数单调性证明不等式

2

A./(x)在［a,切上单调增加，且f(b)>0x

⑴x----<ln(l+x),xe(0,+oo)

2

B.f(x)在［a,4上单调增加,且『(b)<0

(2)当x>0时，l+Jl+x