高考不等式题型与技巧

不等式解题技巧与题型

技巧一：配凑法

对加法型，两个因式的未知数部分凑成倒数关系，配凑成符合基本不等式成立的三个条件“一正二定三相

等”。

技巧二：分离常数法

1.已知函数的表达式的特征，如分子（或分母）是二次形式且分母（或分子）是一次形式；

2.把分母或分子的一次形式当成一个整体，并将分子或分母的二次形式配凑成一次形式的二次函数形式；

3.将其化简即可得到基本不等式的形式，并运用基本不等式对其进行求解即可得出所求的结果.

技巧三：对勾函数法：用基本不等式求解时，若遇等号取不到的情况

1.运用凑项或换元法将所给的函数化简为满足基本不等式的形式；

2.结合函数/（%）=%+-的单调性，并运用其图像与性质求出其函数的最值即可；

x

例题举证

技巧1配凑法

19

【例1】（2021・广西河池市）函数/'（》）=一%+一—（%>1）的最小值为（）

4x-1

A.—B.3C.-D.-

424

【答案】A

【解析】因为x>l,所以x-l>0,所以/3)=±+2=1口一1)+2+2_开2-x-1---9--1—1=—13

4x14x144x-144

x-1913

当且仅当——=——，即x=7时等号成立，所以/(%)的最小值为一.故选：A.

4x-l4

【举一反三】

1.(2021•江苏盐城市)己知一+4歹2=4,则+的最小值为()

xy

59

A.-B.9C.1D.-

24

【答案】D

22柠舟,当旦

【解析】由题意一f=：(x~+4y2)—H5-1^212I-

Xy4rJ41fy2J

42r242

仅当」V=、，即/=—,/=一时等号成立.故选：D.

x2y233

2.(2021•浙江绍兴市•绍兴一中)若实数a,6满足2/+2〃=1，则3-4

卜--的最小值为__________.

ab~+1

【答案】6

【解析】实数a,b满足2a2+2〃=1，即/+/=L所以/+(从+1)=2

2'/2

则4+=2>32+,2+1)][3+

a2b2+l3L'〃+lJ

22

2(A6+14a)2(帜+14/1

=-x1+4+——+——>-x5+2J—―x———=二:X(5+4)=6

31a2b2+l3Va2b2+1

22\2_!

当且仅当丝土=当二，又。2+/=4，即，"=2时，

取得等号.

"力+12"

故答案为：6

3.(2021•福建三明市)若正实数。，6满足」一+」一

=-则ab+a+6的最小值为

Q+16+22f

【答案】4年+5

【解析】由」一+—L=_L,得ab=b+4,

Q+1b+22

因为a,6为正实数,

「…力+414

所以Q=----=I-I--,

hb

444

所以ab+a+b=b+4+ld---1-h=2b-1---1-5>2.12b---F5=4拒+5,

bbb

4

当且仅当26=一，即6=五时，取等号（止匕时a=l+2收），

b

所以ab+a+b的最小值为4、/，+5,

故答案为：4.72+5

技巧2分类常数法

x2—3x+3//、

【例2】（2020•安徽芜湖市•芜湖一中高一月考）已知则y=-------------有()

2x-2

A.最大值1B.最小值1C.最大值3D.最小值3

【答案】D

【解析】因为

2

X?—3x+3x~—4—3x+6+11I

y=---------x+----一1=(x—2)+41

x-2x—2x-2x—2

>2^(x-2)--^+l=3,

当且仅当X—2=」一，即x=3时，等号成立,

x-2

即y=x-3x+3有最小值3.

"x-2

故选：D.

【举一反三】

V-23Y+3

I.（2020•无锡市第三高级中学）函数歹——--（x<—l）的最大值为（）

x+l

A.3B.2C.ID.-I

【答案】D

x~+3x+3(x+1)2+(x+1)+1

【解析】Vy=

x+1x+1

-[-(x+1)+1]+1

一(x+l)

当且仅当％+1=」一=一1,即》=一2等号成立.

x+1

故选：D.

Jr2—2x+4

2.(2020•安徽六安市•六安一中高二开学考试(文))若函数/(力=^―六上。>2)在工=。处取

最小值，则。=()

A.1+亚B.2C.4D.6

【答案】C

【解析】由题意，x-2〉0,而

f(x}=x"2*+4=(x-2)+2(x-2)+4=》_2+—+2>2l(x-2)x^—+2=6,当且仅当

x—2x—2x—2vx—2

4

x-2=——，即x=4时，等号成立，

x—2

所以。=4.

故选：C.

3.(2020•阳江市第一中学)若x开g,则/(x)=土二笠■”有()

A.最大值』B.最小值*

C.最大值2D.最小值2

22

【答案】D

7

【解析】Vx>-,.-.%-3>0,

2

22

X-6x+10_(%-3)+11

"(x)=»2、(x-3)x=2,

x—3x—3x—3

当且仅当X—3=一二，即x=4时，等号成立，即/(x)有最小值2.

x—3

故选：D.

・2

4.（2021•安徽师范大学附属中学）已知函数/卜卜311■，则/（x）的最大值为（

sinx+2

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】D

【解析】令/=5皿》+2€口,3］,则sinx=f—2,则/•鼠）=一5山2上=.（'二2）=/++一4,

sinx+2tt

令g（/）=/+；-4,下面证明函数g。）在［1,2）上为减函数，在（2,3］上为增函数,

任取小与e［l,2）且4则

4][4

g&)-g(，2)=%+丁-4-Z2+--4=

,2>

（乙一，2）（，1，2-4）

他

1<^<Z2<2,则(­2<0,l<Z/2<4,Ag(^)-g(/2)>0,.,.g(^)>g(^2)，

4

所以，函数g（%）=/+7—4在区间［1,2）上为减函数,

同理可证函数8（/）=/+；-4在区间（2,3］上为增函数,

；g⑴=1，g（3）=；，'gajL

因此，函数〃x）的最大值为1.

故选：D.

技巧3对勾函数

丫，4-4Y4-q

【例3】（2例0•江苏）函数/（工）=*；的值域为—

【答案】卜8,16-66］叩6+6",+00）

..、，i/,,t+16/+6363

【解析】设x—6=x=/+6,g（/）=-----------t-\----F16，

tt

当f>0时，g（t）2+16,

当且仅当t=3J7,x=3币+6时等号成立；

同理当f<0时，g（/）<—6J7+16,

当且仅当，=-3，7"=-3近+6时等号成立；

所以函数的值域为卜816—6jT|u[16+6j7,+8）.

故答案为：（-oo,16-6V7]u[16+6V7,+a））.

【举一反三】

%2+5

1.（2020•安徽省蚌埠第三中学）函数歹=^^=的最小值为（）

&+4

A.2B.-C.1D.不存在

2

【答案】B

【解析】令&+4=（22）,

函数夕=/+；在（1,+℃）上是增函数，：.歹=/+；在[2,+00）上也是增函数.

...当/=2,即，+4=2,x=0时,ymjn——.故选：B.

2.（2020•全国高三月考）函数/（》）=①+；—,xe（l,e]的最小值为—

2Inx

【答案】-

2

【解析】令lnx=f,因为x£（l,e],所以此（0,1],

由对勾函数的性质易知，g（。在（0」]单调递减，即g（〃Nn=g（l）=g,

所以函数/（X）在（1,回上的最小值为

故答案为：一.

2

cinx2

3.（2020•上海）设xw（O,〃），则函数y=-+的最小值是___________.

2sinx

【答案】-

2

sinxI

【解析】由］£（0,左）得到OvsinxWl,即0<——<-

22

sinx1

令Aa=----，则^=。+一

2a

因为所以函数歹=〃+,为减函数

a

当Q=1时，ymin=』+2=9

2m,n22

故答案为：一

2

技巧强化

一、单选题

1.（2020•浙江高三月考）已知正实数X、N、z满足V+V+z?=i,则5-8.■的最小值是（）

z

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【解析】•：X1+y2+z2=1,:A-z2=x2+y2>2xy,/.5-8xy=5-4x2xy>5-4（l-z2）=4z2+1,

由于X、歹、z均为正数，则生过之丝H1=4Z+LN2J4Z-L=4，

zzzNz

x=y>0x=y=—

1八时，即当,4时，等号成立，

当且仅当

4z=—>01

zz=—

2

因此，U工的最小值是4.

Z

故选：C.

11m

2.（2020•全国）已知x,yeR+,若不等式——+-——+-~丁之。恒成立，则实数加的最值情况

x+y2x+y3x+2y

为（)

A.有最小值-4B.有最大值-4

C.有最小值4D.有最大值4

【答案】A

11m

【解析】由X,yeR+不等式——+-——+-~~丁NO恒成立

fx+y2x+y3x+2y

即」一+J—2-丁，恒成立，即（3x+2y）］—!—+」一］之一加恒成立.

x+y2x+y3x+2y（x+P2x+yJ

又(3x+2y)+卜[(x+#+(2x+y)]j一♦

+y2x+y)

,,2x+yx+y

=1+1+--------+------

x+y2x+y

(_2x+y_2(x+y)-y__j^=2__1_

设x+yx+yx+y

y

x八.x,,0<---<1

由一>0,则—所以x,则1</<2

yy—+i

y

所以生土上+>L=/+L在re(l,2)上单调递增，则2x+y।x+y:2

x+y2x+yt''x+y2x+y

所以[+]+2X+9+：+了〉4,即(3x+2y)；—:]>4

1

八*J-八z

所以42—加，即加之一4

故选：A

12m

3（2021•安徽宣城市）已知Q>0,b>0,若不等式上+-2-------恒成立，则实数加的最大值为（）

ab2a+b

A.10B.9C.8D.7

【答案】c

卜W（2〃+b）,

【解析】因为a>0,b>0,则加vT

所以p+|）（2a+b）=4+2+*4+2Jrr=8,

当且仅当2=色即b=2。等号成立，要使不等式恒成立，所以加W8

ab

所以实数〃?的最大值为8.

故选：C.

4.（2020•淮北师范大学附属实验中学）已知不等式（1+歹）（1+父29对任意正实数x,y恒成立，则

I》y）

正实数a的最小值为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要（x+y）-+-的最小值大于等于9即可，

（xy）

vx>0,y>0,a>0,

?.（x+y]—+—|=1+—+>l+a+2y[a,

（xyx

当且仅当吧=上即歹=时等号成立，，a+2jZ+129，

yx

:.五22或G4-4（舍去），即a24

所以正实数a的最小值为4.

故选：B.

14x+\

5.（2020•安徽宿州市）若对任意满足。+6=8的正数a,6都有——+->-一成立，则实数x的取值

a+1h\-x

范围是（）

A.[0,1）B.（1,+co）C.（^»,0]U（l,+°o）D.（^»,0）U（l,+oo）

【答案】C

14r+l

【解析】若对任意满足。+6=8的正数a,b都有——+->--成立，

a+\bl-x

14)[(a+l)+小g5+b|4(a+l)bJ(a+1)

+>15+2.=1当且仅

a+\b9la+1ba+1b9Q+1b

b_4(a+l)

a=2

1+4

当《a+\b即，,，时等号成立，所以I=1，

b=6a+\bmin

a+b=8

即当曾。，即2x(x-l)>0

所以言"〈、'，解得x>l或xWO,

x-l工0

所以实数x的取值范围是（TO,0]U（L+8）,

故选:C

6.（2020•江苏宿迁市）已知x〉0,夕>0,若殳+色土上>〃尸一8加恒成立，则实数机的取值范围是

xy

)

A.-1<w<9B.-9<w<1C.D.，〃2/或加<-9

【答案】A

【解析】因为x>0,y>0,由基本不等式可得应+竺2=型+史+122J肛+1=9,

xyxy工歹

当且仅当y=2x时，等号成立,

2y8x+yo..

由于---1-....->m2-8机怛成立，则团~一8m<9,即tn2—8m—9<0»解得一1<加v9.

xy

故选:A.

7.（2020•浙江iWi一期末）当0<x<一时，不等式—F--—〃?20恒成立，则实数机的最大值为（）

4xl-4x

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【解析】不等式工+―1-—m20恒成立化为加<2+L恒成立,

x1-4%4xl-4x

因为。-4,所以J4x〉°'

411=5+上+4(1-4x)

所以丁+•;——=(4x+l-4x)±

4xl-4x4x+l-4xl-4x4x

25+2/土-•&二®=5+4=9,当且仅当一出一二4（l—4x）,即》=],时，等号成立.

VI-4x4xl-4x4x6

所以所以加的最大值为9.

故选：C

8.（2021•浙江绍兴市•高三期末）已知x>0,y>0且丁二+」7=1,则X+V的最小值为

2x+ly+1

【答案】O

【解析】令a=2x+l,b^y+l,因为x>0,y>0,所以a>l,b>l,

rta-111

贝"=----,y=b-l

2

所以工+工=1

ab

叱，«-l,«3faY13

所以》+卜=^-+6L_]=7+6L_彳=-+bL-+---

222\2)\abJ2

1-ba3ha、-\ban-止口小生”a,2+v2

-+1+-4------=一+—>2J-x-=J2,当且仅当一=二7，即nn6=———4=0+1,

2alb2a2b\a2ba2h2

x=y=也,时取等号

2

故答案为：V2

9.（2021•江苏泰州市）已知正实数a、b满足a+2b=l,则二+々的最小值为___________.

1-a1-b

【答案】

【解析】已知正实数a、6满足a+2b=1,则

a11c

--------F丝耳+田---1-----2

\-a\-b2b1—b2b\-b

+」cb1-b1.,b1—bI

3（1叫喉-2=——+------>2*

2b\-b\-b2b2\-b2b2

当且仅当1—6=同时，即当6=及—1时，等号成立,

因此，a+”的最小值为—77.

\-a\-b2

故答案为：V2—.

2

10.(2021•福建莆田市)函数/(x)=i与+—的最小值是

sinxcosxI2)

【答案】3+2近

【解析】

2sin2x+2cos2xsin2x+cos2x,2cos2xsin2x..2,2cU

/(x)=—+cos-x=3H-------；-----1--------=3H-----；—Ftanx23+2v2

sinxcosxtan~x

当且仅当tan4x=2即tanx=M5时取最小值

故答案为：3+2起

3+r+r?

11.(2020•福建厦门市•厦门外国语学校高一月考)当%〉0时-，函数y=P+x+上.的最小值为,

1+x

【答案】273-1

【解析】因为x>0,

所以y=3+*+x=---I-x=---+—1>2J---(x+1)—1=2-\/3—1，

1Ix1+x1+xV1+x

当且仅当一二=》+1,即x=6—1时，等号成立.

1+X

故答案为：2后-L

X

12.(2020•江苏省祁江中学高二期中)函数夕=----(x>2)的最小值为

x—2

【答案】8

rir1-gx?(x-2)~+4(x—2)+4or4.

【解析】函数歹=----=-----------------——=x-2+------+4,

x—2x—2x—2

因为x>2,所以x—2>0,所以yZ2j(x-2>']+4=8,当且仅当x—2=1—即x=4时，等号成

立.

故答案为：8.

13.(2020•全国高三专题练习(文))若实数满足3/一2孙-_/=],